初高中數(shù)學思想的銜接性研究

楊文+李毅

【摘 要】 隨著數(shù)學課程標準和教材對數(shù)學思想滲透的重視，初高中數(shù)學思想教學銜接性問題進一步加劇.影響初高中數(shù)學思想教學銜接性的因素有：教師對初高中數(shù)學課標內容要求重視和理解不夠；初高中數(shù)學教師間交流不夠；初高中數(shù)學教師在教學中對數(shù)學思想挖掘不夠；初高中數(shù)學教師對教育本質認識不夠.改善初高中數(shù)學思想教學銜接性的建議是：加強對初高中數(shù)學課標的認識；加強初高中數(shù)學教師間的交流；加強對教材知識、習題的深入挖掘；轉變教育教學觀念.

【關鍵詞】 初高中；數(shù)學課程標準；教材；數(shù)學思想；銜接性

1 問題的提出

數(shù)學思想是數(shù)學知識的精髓、靈魂，它是對數(shù)學本質的理解和認識，是數(shù)學學習的根本目的.重視數(shù)學思想的教學，在數(shù)學教學中注重數(shù)學思想的滲透，是提高個體思維品質和數(shù)學素養(yǎng)、發(fā)展智力的關鍵所在，也是現(xiàn)代社會對人才培養(yǎng)的基本要求[1].正因為如此，高中數(shù)學課程標準一再強調高中學生必須在九年義務教育數(shù)學課程標準的基礎上，做到具有必要的數(shù)學基礎知識、基本技能以及基本數(shù)學思想.在此，對初高中數(shù)學教材中數(shù)學思想的銜接性問題進行梳理顯得很有必要，對進一步提高教師對數(shù)學思想教學的重視程度也有積極意義.（以調研區(qū)北師大版初中數(shù)學教材和人教版高中（必修）為例）

2 初高中課程標準中數(shù)學思想的銜接性

《全日制義務教育數(shù)學課程標準（修改稿）》（以下簡稱義務教育標準）和《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱高中標準）在總體目標中都指出讓學生“獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識（包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經驗）以及基本的數(shù)學思想和必要的應用技能.”這說明了數(shù)學思想在基礎教育階段的重要性.表1就兩種課標中提到的數(shù)學思想加以列舉比較[2].

從表1中，可以看出對初高中數(shù)學教學中數(shù)學思想滲透的重視，而且在數(shù)學思想的銜接上呈現(xiàn)出基本一致的整體性和螺旋上升的延續(xù)性.這就為教師在教學過程中對數(shù)學思想的滲透提供了理論基礎和規(guī)范性.

3 初高中教材中部分主要數(shù)學思想的銜接性

3.1 初高中教材中字母代替數(shù)思想的銜接性

用字母代替數(shù)思想是初高中數(shù)學中最基本的數(shù)學思想之一，也是代數(shù)的基本特征，它可以把數(shù)或數(shù)量關系簡明而普遍地表現(xiàn)出來，也可以使一些復雜的運算變得簡單，這是發(fā)展符號意識，進行量化刻畫地基礎，也是從常量研究過渡到變量研究的基礎[3].

初中案例1 （七年級上冊第99頁）你在心里想好一個兩位數(shù)，將十位數(shù)字乘以2，然后加3，再將所得新數(shù)乘以5，最后得到的數(shù)加個位數(shù).把你的結果告訴我，我就知道你心里想的兩位數(shù).你知道其中的道理嗎？

解 設你心里想好的兩位數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字分別是a和b，按照運算步驟，最后結果為10b+15+a，因此只要把計算結果減15，得到的數(shù)就是你心中想好的兩位數(shù).以上例題，運用字母代替數(shù)的數(shù)學思想，用字母把數(shù)量關系表示出來，簡化了題目的解答，揭示了題目的本質.

高中案例2 （《中學數(shù)學解題》第134頁）

求證：2549>49！.

解析 要證2549>49！可證n+12n>n！（n∈N）.

因為n+12=n（n+1）2n=1+2+3+…nn

>n1×2×3×…×n

1+2+3+…nnn>1×2×3×…×n=n！

n+12n>n！，

n=49，得49+1249>49！.

以上例題，用字母n代替數(shù)字，即可證得2549>49！.

3.2 初高中教材中方程與函數(shù)思想的銜接性

函數(shù)思想一般就是指構造函數(shù)繼而利用函數(shù)的性質去處理問題，整理出函數(shù)解析式和靈活運用函數(shù)的特點是把握函數(shù)思想的關鍵.方程思想就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想方法.二者是密不可分的.

初中案例3 （九年級下冊48頁例2）某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元時，每天都客滿.經市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每間客房的日租金增加10元，那么客房每天出租數(shù)會減少6間.不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高到多少時，客房日租金的總收入最高[4]？

解 由題意，設每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數(shù)會減少6x間.設客房日租金總收入為W，得： W=（160+10x）（120-6x）=-60（x-2）2+19440，當x=2時，這時每間客房的日租金為160+10×2=180（元）.

答：當每間客房的日租金提高到180元時，客房收入最高，最高為19440元.以上例題，將得到的數(shù)量關系看作二次函數(shù)，進而配方求值.

高中案例4 （高三某復習資料）橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為2，離心率為22，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B，且AP=3PB.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求m的取值范圍.

解 （1）略.（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），l與橢圓C的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m，

2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，Δ=4（k2-2m2+2）>0，x1+x2=-2kmk2+2，x1·x2=m2-1k2+2. 因為AP=3PB.所以-x1=3x2，3（x1+x2）2+4x1·x2=0代入整理得k2（4m2-1）+2m-2=0，所以k2=2-2m24m2-1>0，

解得-1 3.3 初高中教材中轉化與化歸思想的銜接性

轉化與化歸思想就是將原問題進行變形，使之轉化為熟悉的或已解決的或易于解決的問題，即可獲得原有問題的解決，解題過程就是不斷轉化的過程：化繁為簡，化難為易，化生為熟，從而使問題得以解決.

初中案例5

解方程組：x+y+z=23， （1）

x-y=1，（2）

2x+y-z=20.（3）

解 由方程（2）得x=y+1， （4）

把（4）代入（1）（3），得2y+z=22， （5）

3y-z=18.（6）

解由（5）（6）組成的二元一次方程組，得y=8，

z=6.

把y=8代入（4），得x=9.（摘自北師大版八年級上冊130頁例）以上例題，將三元一次方程組轉化成二元一次方程組，再轉化成一元一次方程，進而求得解.

高中案例6 （高中數(shù)學第二冊（上）第27頁例1）已知a、b、c、d都是實數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

證明 設b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ；則ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1.

以上例題，運用轉化思想，將其轉化成三角函數(shù)，進而證明.

3.4 初高中教材中數(shù)形結合思想的銜接性

數(shù)形結合就是以“形”直觀地表達數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形.它包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.兩方面有機結合才是完整的數(shù)形結合.數(shù)學大師華羅庚曾經說過，數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時難入微.

初中案例7 （八年級上冊第7頁數(shù)學理解第2題）1876年，美國總統(tǒng)加菲爾德利用如圖1驗證了勾股定理.你能利用它驗證勾股定理嗎[4]？