徐慶娟+楊彬彬

【摘要】本文以2009年1月5日至2017年1月3日期間上海黃金交易所的Au99.95的黃金現(xiàn)貨收盤價(jià)為研究對(duì)象，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析、平穩(wěn)性檢驗(yàn)和相關(guān)性檢驗(yàn)。建立ARMA（2，1）模型，對(duì)其殘差序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，并通過建立GARCH模型消除其條件異方差性，從而建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型。比較t分布下和GED分布下的擬合模型，發(fā)現(xiàn)t分布下的更優(yōu)。最后，預(yù)測(cè)在95%置信區(qū)間內(nèi)黃金現(xiàn)貨日收益率序列在未來100天內(nèi)走勢(shì)區(qū)間與條件標(biāo)準(zhǔn)差變化趨勢(shì)，并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

【關(guān)鍵詞】黃金現(xiàn)貨價(jià)格 日收益率 ARMA-GARCH模型

一、引言

黃金作為一種具有金融屬性的產(chǎn)品，其價(jià)格變化直接決定了黃金投資者和生產(chǎn)者的價(jià)值行為。而國際政治局勢(shì)、利率政策、美元走勢(shì)、原油價(jià)格、通貨膨脹等因素相互交錯(cuò)作用對(duì)黃金價(jià)格產(chǎn)生影響。由于人們對(duì)黃金價(jià)格的關(guān)注度不斷提高，對(duì)黃金價(jià)格的預(yù)測(cè)也成為眾多學(xué)者的研究熱點(diǎn)。如潘貴豪等利用ARMA-GARCH模型對(duì)黃金價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)；許立平等利用ARIMA模型對(duì)黃金價(jià)格進(jìn)行短期預(yù)測(cè)；羅禎利用ARIMA-ARCH模型對(duì)黃金價(jià)格動(dòng)態(tài)走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)；李瑩等基于相空間重構(gòu)處理的數(shù)據(jù)集，利用支持向量回歸機(jī)對(duì)黃金價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。本文以2009年1月5日至2017年1月3日期間上海黃金交易所的Au99.95的黃金現(xiàn)貨收盤價(jià)為研究對(duì)象，利用時(shí)間序列分析相關(guān)理論建立了學(xué)生t分布下的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，并進(jìn)行實(shí)證分析。

二、ARMA—GARCH模型

ARMA-GARCH模型的結(jié)構(gòu)如下：

其中，（2.1）式表示自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型，m是自回歸（AR）的階數(shù)，n是滑動(dòng)平均（MA）模型的階數(shù)，εt是殘差項(xiàng)，符合異方差的特征；（2.2）-（2.3）是階數(shù)為p和q的廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，et～N（0，1）。

三、實(shí)證分析

（一）描述性統(tǒng)計(jì)

本文選取的樣本數(shù)據(jù)為2009年1月5日至2017年1月3日期間上海黃金交易所的Au99.95的黃金現(xiàn)貨收盤價(jià)（用p表示，單位為美元/盎司），共計(jì)1946個(gè)樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于銳思金融數(shù)據(jù)庫。通過對(duì)數(shù)差分r=lnpt-lnpt-1，其中pt表示黃金現(xiàn)貨在t時(shí)刻的收盤價(jià)，得到黃金現(xiàn)貨的日收益率。收益率的時(shí)間序列走勢(shì)圖如下：

從圖1可以看出，黃金現(xiàn)貨收益率序列的走勢(shì)是平穩(wěn)的，波動(dòng)呈現(xiàn)明顯的集聚特征，即每一次大的波動(dòng)后會(huì)緊跟著另一次大的波動(dòng)，可能存在條件異方差。

由圖2可知，黃金現(xiàn)貨收益率序列的偏度（Skewness）小于0，呈左偏分布；峰度（Kutosis）大于3，具有尖峰的特征；Jarp-Bera統(tǒng)計(jì)量顯著大于11，且對(duì)應(yīng)的P值趨于0，說明該序列顯著地不服從正態(tài)分布。

（二）平穩(wěn)性檢驗(yàn)與相關(guān)性檢驗(yàn)

采用單位根ADF檢驗(yàn)黃金現(xiàn)貨收益率序列的平穩(wěn)性。調(diào)用MATLAB的adftest函數(shù)可得，ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-46.64546，均明顯小于顯著性水平1%，5%和10%下的臨界值，且對(duì)應(yīng)的P值為0，故拒絕存在單位根的假設(shè)，即該序列是平穩(wěn)的。

調(diào)用MATLAB中autocorr和parcorr函數(shù)繪制黃金現(xiàn)貨收益率序列滯后20期的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖，見圖3所示：

從圖3（上）可看出，該序列除了在滯后1、16階具有較小的相關(guān)性之外，沒有顯著的前后相關(guān)性。而由圖3（下）可看出該序列沒有顯著的偏相關(guān)性.而這些相關(guān)函數(shù)都證實(shí)了黃金現(xiàn)貨收益率序列是弱平穩(wěn)的。同理，通過黃金現(xiàn)貨收益率的平方序列的樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)圖可知，平方序列具有顯著的序列相關(guān)性，而收益率平方序列的相關(guān)性恰好反映的是序列波動(dòng)的集聚特征，故可認(rèn)為該序列存在ARCH效應(yīng)。

此外，調(diào)用MATLAB中的lbqtest函數(shù)進(jìn)行黃金現(xiàn)貨收益率序列的LBQ檢驗(yàn)，結(jié)果見表1所示。

表1 黃金現(xiàn)貨收益率序列LBQ統(tǒng)計(jì)量

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由表1可知，收益率序列的Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量延遲16、80期的P值都小于顯著性水平0.05，且h為1，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列具有序列相關(guān)性。因此，需要對(duì)該序列進(jìn)行自回歸擬合以充分提取序列中的水平相關(guān)信息。另一方面，收益率序列平方的Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量在延遲8、16、20期的P值均為0，且h為1，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該平方序列具有序列相關(guān)性。綜上，黃金現(xiàn)貨日收益率序列既具有水平相關(guān)信息又具有波動(dòng)相關(guān)信息，該序列的時(shí)序圖具有顯著的趨勢(shì)。于是，本文可建立ARMA模型，且需對(duì)其殘差進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)。

（三）ARMA-GARCH模型

1.ARMA模型定階與殘差分析。本文ARMA模型的定階從兩個(gè)方面考慮：一是模型的數(shù)據(jù)特征，即自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)；二是模型的定階準(zhǔn)則AIC和SIC.本文通過結(jié)合這兩方面來確定ARMA模型的階數(shù)。比較發(fā)現(xiàn)ARMA（2，1）模型AIC值-9.0655較小，具有較優(yōu)的擬合效果。

通過運(yùn)用ARMA（2，1）模型擬合黃金現(xiàn)貨日收益率序列后進(jìn)行殘差分析，繪制其殘差序列波動(dòng)圖，發(fā)現(xiàn)該波動(dòng)具有集群特征。再對(duì)收益率序列自相關(guān)和偏相關(guān)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在滯后6階以內(nèi)，殘差項(xiàng)基本呈現(xiàn)白噪聲，即收益率差序列不存在自相關(guān)。

2.ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)與ARMA-GARCH模型建立。利用Matlab的arc htest函數(shù)檢驗(yàn)上述模型殘差序列的ARCH效應(yīng)，得到的結(jié)果為h=1，因此該日收益率殘差序列具有很強(qiáng)的ARCH效應(yīng)，可通過建立GARCH模型來消除該ARCH效應(yīng)。

在上述ARMA（2，1）模型的基礎(chǔ)上構(gòu)造GARCH模型?？紤]常見的GARCH（1，0），GARCH（0，1）和GARCH（1，1）等，經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)GARCH（1，1）較為合適，從而建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型。

3.ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型估計(jì)與檢驗(yàn)。利用Eviews8.0軟件來估計(jì)該序列的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，結(jié)果見表2。

由輸出結(jié)果，可得ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型方程如下：

模型參數(shù)在95%置信水平下都是顯著的，系數(shù)ARCH（1）和GARCH（1）均為正值，相加小于1且接近于1，說明過去的波動(dòng)對(duì)未來的波動(dòng)有正向長期的影響。

圖4 ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的條件標(biāo)準(zhǔn)差與殘差圖

圖4中ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型條件標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)化后的殘差時(shí)序圖，說明該序列的波動(dòng)很小，趨勢(shì)平穩(wěn)。通過ARMA（2，1）-GARCH（1，1）標(biāo)準(zhǔn)化殘差的ACF圖和標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方的PACF圖，對(duì)模型的殘差模型平方相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化的殘差不具有序列相關(guān)性。

此外，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列和其殘差平方序列的LBQ統(tǒng)計(jì)量結(jié)果可知，表明標(biāo)準(zhǔn)化的殘差為純隨機(jī)白噪聲序列。通過ARCH-LM檢驗(yàn)知p值為0.8417明顯大于0.05，則接受原假設(shè)，表示標(biāo)準(zhǔn)化的殘差序列不具有ARCH效應(yīng)。由此可認(rèn)為建立ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型可充分描述日收益率序列的水平相關(guān)信息與條件異方差性。

4.t分布與GED分布下的模型比較。更進(jìn)一步，利用AIC和SC準(zhǔn)則來比較t分布與GED分布下擬合的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型，并作出選擇.由Eviews軟件分析結(jié)果可知，t分布擬合的模型的AIC與SC值分別為-6.446257和-6.420437；GED分布擬合的模型的AIC與SC值分別為-6.442684和-6.416863。相比之下，t分布對(duì)應(yīng)的AIC和SC值都較小，因此可以說明t分布擬合的ARMA（2，1）-GARCH（1，1）比GED分布擬合的模型更好一些。

5.ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的波動(dòng)率預(yù)測(cè)與水平相關(guān)信息預(yù)測(cè)。最后，本文通過MATLAB中的GARCH工具箱中的garchset和garchfit函數(shù)，并用MMSE預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)在95%置信區(qū)間內(nèi)日收益率序列在未來100天內(nèi)走勢(shì)區(qū)間與條件標(biāo)準(zhǔn)差變化趨勢(shì)如圖5，為黃金投資者或生產(chǎn)者做經(jīng)濟(jì)決策提供依據(jù)。

圖5 ARMA（2，1）-GARCH（1，1）模型的波動(dòng)率信息與水平相關(guān)信息的預(yù)測(cè)

為驗(yàn)證模型預(yù)測(cè)的有效性，本文選取2017年1月4日至2017年4月10日的數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試。利用上述模型預(yù)測(cè)黃金現(xiàn)貨日收益率的95%的置信區(qū)間和實(shí)際日收益率如表5所示。

從表5可知，2017年1月4日至4月10日黃金現(xiàn)貨實(shí)際日收益率走勢(shì)平穩(wěn)，本文預(yù)測(cè)的95%置信區(qū)間變動(dòng)幅度較小，以及圖9中的條件標(biāo)準(zhǔn)差小幅度的遞增趨勢(shì)與實(shí)際均基本吻合。

參考文獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：混合與缺失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析廣西高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室科學(xué)基金開放項(xiàng)目（GXMMSL201407）。

作者簡(jiǎn)介：徐慶娟（1979-），女，山東成武人，廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，研究方向：最優(yōu)化方法與統(tǒng)計(jì)計(jì)算；楊彬彬（1991-），女，廣西玉林人，廣西師范學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)在讀研究生，研究方向：統(tǒng)計(jì)建模與優(yōu)化。