淺議經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟貿(mào)易中的應(yīng)用

馬睿

摘 要：當(dāng)今社會，經(jīng)濟發(fā)展多元化，經(jīng)濟現(xiàn)象錯綜復(fù)雜。經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟貿(mào)易領(lǐng)域中的應(yīng)用，為我們解釋了許多經(jīng)濟現(xiàn)象，為探討經(jīng)濟發(fā)展提供了一種科學(xué)方法。數(shù)學(xué)模型可以將有關(guān)信息量化，根據(jù)已經(jīng)證明過的科學(xué)計算公式對經(jīng)濟現(xiàn)象進行分析和計算，從而對經(jīng)濟現(xiàn)象可以進行科學(xué)控制、科學(xué)預(yù)測和科學(xué)決策。同時，經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展也對數(shù)學(xué)建模的發(fā)展提出了更多新的要求，從而促使我們?nèi)ソ⑿碌臄?shù)學(xué)模型，促進應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型；模型建立；應(yīng)用

中圖分類號：F224 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2017）29-0159-03

一、經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型

（一）經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的概念

數(shù)學(xué)模型是對實際問題的一種數(shù)學(xué)表述，是基于數(shù)學(xué)理論和方法對實際問題的一種抽象和簡化，對于特定的對象為了特定目標(biāo)根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。將現(xiàn)實世界中的實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該模型所提供的方法來解決現(xiàn)實問題，這一數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模。當(dāng)數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟研究問題有機地結(jié)合在一起時，就產(chǎn)生了經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型。

經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型是為了研究經(jīng)濟規(guī)律或具體的經(jīng)濟貿(mào)易問題，把實際經(jīng)濟現(xiàn)象內(nèi)部各因素之間的關(guān)系歸納為數(shù)量關(guān)系，建立其數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)算法，計算出其經(jīng)濟規(guī)律并加以檢驗應(yīng)用。經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型是客觀地描述經(jīng)濟現(xiàn)象及經(jīng)濟貿(mào)易問題中各因素間的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是經(jīng)濟理論和經(jīng)濟現(xiàn)實的中間環(huán)節(jié)，它在經(jīng)濟理論的指導(dǎo)下對經(jīng)濟現(xiàn)實進行簡化，但在主要的本質(zhì)方面又近似地反映了經(jīng)濟現(xiàn)實，即是經(jīng)濟現(xiàn)實的抽象。

（二）經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型特點

1.真實可靠。數(shù)學(xué)模型能真實、客觀地顯示出對象之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2.適用性強。數(shù)學(xué)模型是抽象化的數(shù)學(xué)關(guān)系，因而在約束條件或參數(shù)相近的情況下，通過改變參數(shù)數(shù)值等就可用于其他類似情況。

3.簡潔明了，舍棄冗余因素，這是數(shù)學(xué)模型的簡潔性特點。

4.精確性。模型的建立成功，有著精確性要求；不能滿足精度的模型經(jīng)過反復(fù)修正，可以達到計算精確。

5.有效性。在建模過程正確無誤的前提下，模型內(nèi)的數(shù)學(xué)關(guān)系都是經(jīng)過原型問題而來，從而是有效的。

（三）經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的分類

1.按數(shù)學(xué)形式的不同，經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型一般分為線性和非線性兩種。線性模型是指模型中包含的方程都是一次方程。非線性模型是指模型中有兩次以上的高次方程。

2.按時間狀態(tài)，模型有靜態(tài)與動態(tài)兩種。靜態(tài)模型反映某一時點的經(jīng)濟數(shù)量關(guān)系。動態(tài)模型反映一個時期的經(jīng)濟發(fā)展過程，含有時間延滯因素。

3.按應(yīng)用的目的，有理論模型與應(yīng)用模型之分。是否利用具體的統(tǒng)計資料，是這兩種模型的差別所在。

4.按模型的用途，可分為結(jié)構(gòu)分析模型、預(yù)測模型、政策模型、計劃模型。此外，還有隨機模型（含有隨機誤差的項目）與確定性模型（不考慮隨機因素）等分類。這些分類互有聯(lián)系，有時還可結(jié)合起來進行考察，如動態(tài)非線性模型、隨機動態(tài)模型等等。

二、建立經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的過程

經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的建立，大體上可以分為三個階段。第一階段是抽象化。從現(xiàn)實的經(jīng)濟貿(mào)易問題中，抽象為數(shù)學(xué)問題，將對象替換為變量。第二階段是邏輯化。對變量進行處理，留下關(guān)鍵變量，建立數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，并對模型進行改進。第三階段是具象化。即將完善的模型放入到真實情境之中進行應(yīng)用，同時再作出相應(yīng)改進。

對于模型的建立，可以分為以下6個步驟。

1.模型準(zhǔn)備。透徹了解認識現(xiàn)實問題，包括問題的背景、問題要研究的對象、問題的目標(biāo)是什么，從中分析出核心要素，即抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，過濾一部分次要信息，簡化問題。

2.模型假設(shè)。根據(jù)上一步已經(jīng)精確好了的信息，抓住主要對象，將主要對象抽象成數(shù)學(xué)符號，并通過一些特殊工具，如統(tǒng)計學(xué)知識，確定變量之間的相關(guān)性，對相關(guān)性高的變量進行合并處理，留下相關(guān)性低的變量并且使用精煉的數(shù)學(xué)語言描述。

3.模型建立。根據(jù)條件提取主要變量，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，用數(shù)學(xué)關(guān)系刻畫實際關(guān)系，形成精煉明了的數(shù)學(xué)關(guān)系，最終目標(biāo)是形成簡潔精練的數(shù)學(xué)關(guān)系式。這部分步驟需要特殊的技巧，需要經(jīng)過專門的學(xué)習(xí)訓(xùn)練掌握一定的數(shù)學(xué)知識。

4.模型求解。通過運用微分方程、微積分、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)方法，通過圖形分析、邏輯運算、邏輯推導(dǎo)等步驟，借助數(shù)學(xué)軟件，比如Matlab、Mathematics等將模型解出來。

5.模型分析。將所求得的結(jié)果與實際問題相結(jié)合。根據(jù)抽象化的過程，反之，用相應(yīng)的實際對象以及實際的情景解釋說明數(shù)學(xué)模型，并且?guī)肱c已知情況不同的情況進入模型之中，對模型的準(zhǔn)確性進行評估分析。

6.模型檢驗。即驗證模型的有效性。上述步驟中不同情況帶入得到的數(shù)值與真實值進行對比，如果出入很大的話，說明模型存在比較大的問題，如果誤差在允許范圍內(nèi)，說明模型是成功的。模型存在問題，就繼續(xù)回歸前面的步驟進行檢查，進行1—6步的循環(huán)，直到檢查的結(jié)果顯示模型完備滿足條件，則循環(huán)終止，模型符合條件。

經(jīng)過上述步驟，得出的數(shù)學(xué)模型就是符合條件的模型。這些過程需要一定的經(jīng)驗，更需要一定的數(shù)學(xué)和經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)相關(guān)知識。

三、經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

（一）經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟貿(mào)易中的應(yīng)用

西方經(jīng)濟學(xué)發(fā)展史告訴我們，在經(jīng)濟問題中數(shù)學(xué)模型應(yīng)用得越多，經(jīng)濟學(xué)就越完備，學(xué)科發(fā)展就越扎實。在我國也越來越重視經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的重要性。在社會的數(shù)字化管理方面，在證券市場、債券市場、股票市場的管理、交易方面，在政府的決策方面，在企業(yè)安排采購、生產(chǎn)、銷售、各種貿(mào)易關(guān)系方面，各相關(guān)人士越來越感受到經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的神奇作用。endprint

數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟貿(mào)易中的應(yīng)用十分廣泛，這里簡單舉3個例子說明。

其一，極限理論的應(yīng)用。極限是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根基，正是極限理論的完備化帶動了近代以來數(shù)學(xué)的大發(fā)展。極限理論可以為解決商家的生產(chǎn)、庫存分配提供思路，也可以應(yīng)用于發(fā)展經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)中產(chǎn)生極限增長等理論。

其二，數(shù)學(xué)圖表的應(yīng)用。數(shù)學(xué)圖表可以直觀地顯示對象之間的數(shù)量關(guān)系，在經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)內(nèi)有很好的應(yīng)用。生產(chǎn)可能性邊界、需求曲線、供給曲線等都是良好的應(yīng)用。可以說，如果沒有數(shù)學(xué)圖表，經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)的研究將會停頓。

其三，微積分的應(yīng)用。彈性理論的建立就是使用的微積分的思想。微積分也可以用來明確某個企業(yè)的庫存與采購費用之間的數(shù)量關(guān)系，并且通過求解就可以得到二者之間最優(yōu)化的狀態(tài)。

除了上面三個例子，運籌學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、納什均衡理論等均是在經(jīng)濟學(xué)內(nèi)有著很大應(yīng)用范圍的數(shù)學(xué)理論，甚至很多經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)門類的創(chuàng)立就是因為在某些數(shù)學(xué)理論應(yīng)用上取得了突破?？梢?，現(xiàn)代經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)理論的基石之一就是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。

（二）經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型應(yīng)用舉例

1.蒙特卡洛模擬

基本思想：蒙特卡羅方法是通過抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗。當(dāng)我們要求解某種情況出現(xiàn)的概率，或者某個隨機變量的數(shù)學(xué)期望，就可以使用某種試驗的方法去求解這種情況或者隨機事件出現(xiàn)的概率，或運用平均值作為問題的解。這種方法是以某種概率模型為基礎(chǔ)，按模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結(jié)果，作為問題的近似解，這就是蒙特卡洛模擬。

模型建立過程：（1）描述問題，構(gòu)造模型。正確描述實驗過程、概率過程，抽象化具體變量，人為構(gòu)造實驗過程，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)概率論上的隨機概率問題。（2）實現(xiàn)從已知概率分布抽樣。常用的概率分布有二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布，將問題轉(zhuǎn)化為這幾種分布，并且借著這些分布的數(shù)學(xué)性質(zhì)，作出合理的估計預(yù)測。（3）建立各種估計量。即帶入不同與已知的其他實際情況，驗證模型正確與否、精確度能否滿足要求等指標(biāo)，并根據(jù)具體情況進行修改。

2.線性規(guī)劃模型。決策變量之間一般有一些原假設(shè)中已經(jīng)給出的數(shù)量關(guān)系，這些數(shù)量關(guān)系被稱為約束條件。而后要求解的線性關(guān)系被稱為目標(biāo)函數(shù)，將這些約束條件列成線性方程組，根據(jù)約束條件，利用運籌學(xué)的方法就可以求解。若能求出解，就是最優(yōu)解，否則就沒有最優(yōu)解。線性規(guī)劃模型的使用具有明顯特征，一般用于最優(yōu)化生產(chǎn)或者最小化成本。

簡單的例子：

某公司有甲乙丙三地倉庫，每個倉庫貨物均不一致，三個倉庫的貨物需要在一起合成體量為100的商品。現(xiàn)需要向AB兩地運輸貨物，運輸距離以及每公里運輸成本如上圖。A地需要至少56 000單位的貨物，B地需要至少63 000單位的貨物，求出運費最低的方案。

易得，設(shè)甲地運出x單位，乙地y單位，丙地z單位，可以得到的目標(biāo)函數(shù)為：

C=11x+9y+4z，約束條件為：600x+700y+400z≥56 000800x+400y+500z≥63 000x+y+z=100

代入計算機中求解得到x=50，y=30，z=20時，成本C最低，為850。

除此之外，還包含風(fēng)險決策模型。風(fēng)險決策模型是博弈論與概率論的交叉應(yīng)用。把事情可能的情況全部列出，形成決策數(shù)，而后根據(jù)決策數(shù)求出各種情況下的數(shù)學(xué)期望，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望，求出最優(yōu)化的方案，即根據(jù)具體情況，將期望值最大或者最小的情況作為最優(yōu)方案。

結(jié)語

新形勢下，我國經(jīng)濟貿(mào)易工作日趨復(fù)雜，企業(yè)要合理分配生產(chǎn)、銷售、倉儲、物流，達到投資效益最大化；個體要科學(xué)決策，實現(xiàn)個人資產(chǎn)最有效配置。這種情況下，無論是國家、企業(yè)還是個人，都更加需要優(yōu)秀的量化管理能力，這種能力離不開經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的幫助。經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟貿(mào)易領(lǐng)域成果顯著、應(yīng)用前景廣闊，這種工具可以切實有效地提供科學(xué)依據(jù)，指導(dǎo)經(jīng)濟貿(mào)易社會的各種活動，并已經(jīng)產(chǎn)生了深遠的影響。我們要在實踐中總結(jié)經(jīng)驗，更好利用數(shù)學(xué)工具，重視數(shù)學(xué)與經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)理論知識的結(jié)合，指導(dǎo)經(jīng)濟貿(mào)易工作，促進國家、企業(yè)、個人經(jīng)濟水平的長足發(fā)展。

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[責(zé)任編輯 王燕文]endprint