石瑛瑩

摘要：在教學(xué)中如何培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是對(duì)一線教師提出的新要求，本文通過(guò)拓展課程的兩個(gè)不同設(shè)計(jì)--知識(shí)拓展課程設(shè)計(jì)和技能拓展課程設(shè)計(jì)的對(duì)比詳細(xì)介紹了如何做到拓展課程教學(xué)形式的多元化、內(nèi)容設(shè)計(jì)的合理性及課堂的高效性，對(duì)通過(guò)拓展課程發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效性做了深入的研究。

關(guān)鍵詞：拓展課程；知識(shí)拓展；技能拓展；發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2017）12-0129-03

1.背景介紹

筆者所在學(xué)校是區(qū)教育局直屬公辦初中，現(xiàn)有班級(jí)45個(gè)，在校學(xué)生2500余人。"讓每個(gè)學(xué)生有夢(mèng)想有希望"是我校的辦學(xué)理念，作為公辦初中辦學(xué)行為必須規(guī)范，在私立學(xué)校狠抓成績(jī)的對(duì)比下，公辦學(xué)校既要出成績(jī)又要兼顧學(xué)生的特長(zhǎng)發(fā)展，讓每個(gè)學(xué)生有夢(mèng)想有希望，對(duì)學(xué)校管理者和一線教師就提出了挑戰(zhàn)。為了貫徹黨的教育方針，落地立德樹人，更好地幫助每一位初中生實(shí)現(xiàn)全面且有個(gè)性的發(fā)展，根據(jù)《教育部關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》和《浙江省深化義務(wù)教育課程改革指導(dǎo)意見》等相關(guān)文件精神，校領(lǐng)導(dǎo)帶領(lǐng)一線教師著力進(jìn)行深化課程改革的探索與實(shí)踐。

從培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)出發(fā)，對(duì)基礎(chǔ)性課程進(jìn)行銜接、整合和拓展，架構(gòu)起我校課程的6大領(lǐng)域、11門基礎(chǔ)學(xué)科、11大MX拓展課程群。

"MX拓展課程"之名取自"讓每個(gè)學(xué)生有夢(mèng)想有希望"中的"夢(mèng)想"與"希望"的第一個(gè)字的大寫字母"M"和"X"。"M"代表興趣特長(zhǎng)和社會(huì)實(shí)踐拓展課，"X"代表知識(shí)拓展課。

作為數(shù)學(xué)老師，面對(duì)的課題是開發(fā)X拓展課程中的數(shù)學(xué)與思維拓展課，經(jīng)過(guò)反復(fù)思考論證后按學(xué)生的學(xué)情開展了數(shù)學(xué)知識(shí)拓展與數(shù)學(xué)技能拓展兩部分拓展課。分階段實(shí)施，每周2節(jié)課，時(shí)間安排在周五下午第五節(jié)和第六節(jié)課，由學(xué)生自主報(bào)名選擇參加知識(shí)拓展課或技能拓展課，教師審核，學(xué)生自主選擇適合自己課程的前提是教師在學(xué)生的自我評(píng)價(jià)的銀行里存儲(chǔ)了足夠的資本，為學(xué)生能夠正確的選擇適合自己的拓展課做好了準(zhǔn)備，以增加教師審核的通過(guò)率。實(shí)行年級(jí)組內(nèi)走班。老師根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)、發(fā)掘教學(xué)資源依托備課組的集體合作對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)，進(jìn)行學(xué)科知識(shí)拓展與學(xué)科技能拓展以期望對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較大提升。

2.《乘法公式》的知識(shí)拓展課與技能拓展課教學(xué)研究對(duì)比

2.1對(duì)于知識(shí)拓展課的教學(xué)研究。教學(xué)內(nèi)容分析：本文是依據(jù)浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)3.4乘法公式第1課時(shí)"平方差公式"設(shè)計(jì)的拓展課程，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)教材乘法公式第1節(jié)新課后設(shè)計(jì)的拓展課程，探索平方差公式的八種變化形式。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、總結(jié)歸納規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)：本節(jié)拓展課的學(xué)習(xí)主體是選報(bào)知識(shí)拓展課程的同學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)平方差公式的基礎(chǔ)上已經(jīng)掌握了基本的使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算和應(yīng)用公式的能力，為本節(jié)探索公式的變化做好準(zhǔn)備。

教學(xué)目標(biāo)：（1）在學(xué)生進(jìn)行知識(shí)拓展的同時(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（2）發(fā)展數(shù)學(xué)建模意識(shí)。（3）發(fā)展觀察的細(xì)致性，歸納的條理性。（4）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式的八種變化形式。

教學(xué)難點(diǎn)：增因式變化及增項(xiàng)變化。

教學(xué)過(guò)程：

（一）復(fù)習(xí)引入新課

請(qǐng)同學(xué)們寫出平方差公式：___________。

（二）知識(shí)拓展：

（1）請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算下列題組。

①（b+a）（-b+a）②（-a-b）（a-b）

③（2a+3b）（2a-3b）④（a2+b2）（a2-b2）

⑤（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）

⑥（a-b-c）（a-b+c）⑦（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）

⑧a2-b2

學(xué)生練習(xí)后到黑板板演。教師帶領(lǐng)學(xué)生校對(duì)批改后，請(qǐng)學(xué)生總結(jié)歸納規(guī)律。

平方差公式的8種變化形式

①位置變化：（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2

②符號(hào)變化：（-a-b）（a-b）=？（a+b）（a-b）=-（a2-b2）

③系數(shù)變化：（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2

④指數(shù)變化：（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2

⑤增因式變化：（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）=（a2-b2）[（-a）2-b2 ]

⑥增項(xiàng)變化：（a-b-c）（a-b+c）= （a-b）2-c2

⑦連用公式變化：（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8

⑧逆用公式變化：a2-b2=（a+b）（a-b）

（三）拓展習(xí)題

（1）下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤的是（ ）。

A.（b+a）（a﹣b）=a2﹣b2

B.（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4

C.（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1

D.（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4

（2）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是9m2﹣16n2的是（ ）。

A.（3m+2n）（3m﹣8n）

B.（﹣4n+3m）（﹣4n﹣3m）

C.（﹣3m+4n）（﹣3m﹣4n）

D.（4n+3m）（4n﹣3m）

（3）（﹣3x2+2y2）（_______）=9x4﹣4y4.

（4）定義運(yùn)算a？b=a2﹣b2，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：endprint

①2？（﹣2）=0；②a？b=b？a；③若a？b=0，則a=b；④（a+b）？（a﹣b）=4ab，

其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）。

（5）（x+2）（x﹣2）（x2+4）的計(jì)算結(jié)果是（ ）。

A.x4+16 B.﹣x4﹣16 C.x4﹣16 D.16﹣x4

6.王紅同學(xué)在計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）時(shí)，將積式乘以（2﹣1）得：

解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）

=（24﹣1）（24+1）

=28﹣1

根據(jù)上題求：①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的個(gè)位數(shù)字。

② （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（332+1）的值。

有效教學(xué)意圖：作為知識(shí)拓展課，重點(diǎn)知識(shí)回顧和基本技能的強(qiáng)化成為必不可少的環(huán)節(jié)，是防止學(xué)生知識(shí)遺忘和內(nèi)化知識(shí)逐步系統(tǒng)化的過(guò)程，但學(xué)生對(duì)于某些公式、定理的記憶經(jīng)常是機(jī)械的、枯燥的，在回顧公式的過(guò)程中，如果只是單純的采取展示概念或一味地練習(xí)題目都會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生心理疲勞，繼而產(chǎn)生厭倦感，體會(huì)不到學(xué)習(xí)和探索知識(shí)的樂趣，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)采用將知識(shí)點(diǎn)"小題化"的教學(xué)策略，利用變式題組對(duì)拓展知識(shí)加以探索、鞏固和歸納。題組的設(shè)計(jì)認(rèn)知源于教學(xué)起點(diǎn)的選擇是先從學(xué)生的熟悉的平方差公式出發(fā)，再到由課本習(xí)題改編加深的拓展題，符合學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，更能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)與探索的主動(dòng)性，在學(xué)生的活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.2對(duì)于技能拓展課的教學(xué)研究。教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)3.4乘法公式第2課時(shí)"完全平方公式"后設(shè)計(jì)的技能拓展課程，探索對(duì)完全平方公式的變形所得到的二階衍生等式。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過(guò)本節(jié)內(nèi)容對(duì)完全平方公式有新的更全面的認(rèn)識(shí)并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)：本節(jié)拓展課的學(xué)習(xí)主體是選報(bào)技能拓展課程的同學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)平方差公式、完全平方公式的基礎(chǔ)上已經(jīng)掌握了使用公式進(jìn)行計(jì)算和應(yīng)用公式的能力，為本節(jié)探索公式的二階衍生等式做好準(zhǔn)備。

教學(xué)目標(biāo)：（1）在學(xué)生深入探索數(shù)學(xué)問題的技能拓展課程中培養(yǎng)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（2）構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識(shí)。（3）提高化繁為簡(jiǎn)的能力，發(fā)展思考的條理性。（4）解決復(fù)雜計(jì)算問題時(shí)，經(jīng)歷猜測(cè)、探索、計(jì)算、驗(yàn)證等主動(dòng)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：二階衍生等式的探索。

教學(xué)難點(diǎn)：二階衍生等式所對(duì)應(yīng)的練習(xí)題。

教學(xué)過(guò)程：

（一）復(fù)習(xí)引入新課

兩數(shù)和的完全平方公_______，即兩數(shù)和的平方于_______。

兩數(shù)差的完全平方公_______，即兩數(shù)差的平方于_______。

（二）技能拓展：

（1）請(qǐng)同學(xué)們把兩個(gè)公式豎著對(duì)齊寫，并在公式后面標(biāo)好①②，按如下三個(gè)指令探索。

（a+b）2=a2+2ab+b2①

（a-b）2=a2-2ab+b2②

指令1：①②兩式分別移項(xiàng)可得哪些式子；指令2：①-②可得什么式子；

指令3：①+②可得什么式子。

學(xué)生活動(dòng)后得到如下結(jié)果：

①②兩式分別移項(xiàng)可得a2+b2=（a+b）2-2ab；a2+b2=（a-b）2+2ab

①-②可得（a+b）2=（a-b）2+4ab；

①+②可得（a-b）2=（a+b）2-4ab

學(xué)生小結(jié)：由（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2變形可得a+b，a-b，ab，a2+b2四者之間的相互關(guān)系。

（2）教師出示完全平方公式的一些其他常用的等式關(guān)系。請(qǐng)學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位每組選擇兩個(gè)等式進(jìn)行證明，并板演。

①（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）

②（a+b）2-（a-b）2=4ab

③ab=（a+b2）2-（a-b2）2

④a2+1a2=（a+1a2）2-2

⑤a2+b2+c2+ab+bc+ac=12[（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2]

⑥a2+b2+c2-ab-bc-ac=1a2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]

3.拓展習(xí)題

（1）已知a+b=4，a﹣b=3，則求a2-b2。

（2）若a﹣b=1，則求代數(shù)式a2﹣b2﹣2b的值。

（3）若a+b=5，ab=2，則求a2+b2的值。

（4）若a+b=3，a﹣b=7，求ab。

（5）若a-b=5，ab=2，則分別求（a-b）2，（a+b）2，a+b， a2+b2，a2﹣b2的值。

（6）己知實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=5，ab=3，則求a﹣b。

（7）若a+1a=4，分別求a2+1a的值和a-1a的值。

有效教學(xué)意圖：作為技能拓展課，在使用公式的過(guò)程中應(yīng)該充分體公式應(yīng)用的靈活性，根據(jù)學(xué)生對(duì)公式的掌握情況，以及具體的熟練程度在課堂中及時(shí)微調(diào)內(nèi)容安排。在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式總體把握與應(yīng)用的同時(shí)，還要注重帶領(lǐng)學(xué)生把公式各種變形的來(lái)源和相互之間的聯(lián)系通過(guò)探索和體會(huì)等課堂活動(dòng)生成自己的數(shù)學(xué)技能，比如探索求解過(guò)程中書寫的嚴(yán)密性、規(guī)范性，條件使用的完整性都必須落實(shí)到位，通過(guò)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4.收獲與反思

以上僅是我們開展數(shù)學(xué)拓展課程中的一例。通過(guò)一學(xué)年數(shù)學(xué)拓展課程的開發(fā)和教學(xué)，有效彌補(bǔ)了學(xué)生學(xué)業(yè)水平參差不齊導(dǎo)致的課堂效率不高、抽測(cè)成績(jī)不理想的情況。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性都很活躍，對(duì)于不同程度學(xué)生都有個(gè)性化發(fā)展目標(biāo)和課程內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生在參與數(shù)學(xué)拓展課程活動(dòng)的過(guò)程中培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

綜上，不論是知識(shí)拓展課還是技能拓展課，作為教師在拓展課程的設(shè)計(jì)中，要學(xué)會(huì)給學(xué)生幾個(gè)問題，讓他們自己去探索、解決；給學(xué)生幾個(gè)條件，讓他們自己去思考、添加；給學(xué)生一個(gè)舞臺(tái)，讓他們?nèi)フ故咀约鹤蠲赖奈枳恕＝處熞首瞿缓髮?dǎo)演，設(shè)計(jì)有效的拓展課程，成為學(xué)生起航數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之路的護(hù)航者。

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[3]王絢主編.初中新學(xué)案優(yōu)化與提高[Z].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，2017：57.endprint