劉小君

課后作業(yè)是以鞏固學(xué)習(xí)效果而安排的作業(yè)，是課堂教學(xué)過(guò)程中非常重要的組成部分，是鞏固新學(xué)知識(shí)、形成技能技巧、培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生智力的重要途徑，是課堂教學(xué)過(guò)程中不可缺少的一環(huán).

學(xué)生的規(guī)范解題可以彰顯其數(shù)學(xué)素養(yǎng)，或者對(duì)其數(shù)學(xué)成績(jī)的提高也會(huì)有一定的作用，然而學(xué)生的規(guī)范解題來(lái)自于數(shù)學(xué)教師的規(guī)范教學(xué)，具體包含言行規(guī)范、板書規(guī)范、教材使用規(guī)范、推理論證規(guī)范、教法規(guī)范、運(yùn)算求解規(guī)范、解題格式規(guī)范以及創(chuàng)新教學(xué)規(guī)范等.

案例（普陀中學(xué)高二第二次?？寄M卷第20題）

已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax.

（1）若x=2為f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)a=-12時(shí)，方程f（1-x）=（1-x）33+bx有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值.

一、作業(yè)說(shuō)明

本題對(duì)學(xué)生的要求比較高，考查對(duì)導(dǎo)函數(shù)、命題的等價(jià)條件等知識(shí)的綜合應(yīng)用，學(xué)生雖然感覺很困難，但還是盡其所能.雖然結(jié)果不是很讓人滿意，但呈現(xiàn)出的問(wèn)題值得學(xué)生以及教師思考、反思.

二、作業(yè)批改情況

（一）常見問(wèn)題

第（1）小題：

① 部分學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則不清楚；

② 由f′（x）=0得出a=0，沒有驗(yàn)證是不是極值點(diǎn).

第（2）小題：

① 不能正確理解“y=f（x）在[3，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)”，找不到其等價(jià)命題；

② 忽略了y=f（x）的定義域?qū)的范圍的限制；

③ 不能正確解答不等式；

④ 最后未總結(jié)得出a的取值范圍.

問(wèn)題解法：f′（x）=x[2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）]2ax+1，由題意知f′（x）=0在[3，+∞）內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

令G（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），則G（x）=0在[3，+∞）內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

a=0，不符舍去；

a>0，G（3）<0，解得a∈3+134，+∞；

a<0，G（3）>0，解得a∈3-134，0；

綜上，a∈3-134，0∪3+134，+∞.

問(wèn)題原因：題中[3，+∞）決定了函數(shù)的定義域的范圍，學(xué)生忽略了這一條件對(duì)a的取值范圍的影響.這也是學(xué)生在平時(shí)作業(yè)、考試中經(jīng)常犯錯(cuò)的地方，因?yàn)楹雎院瘮?shù)的定義域而導(dǎo)致求解錯(cuò)誤，這一問(wèn)題常見于對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、正切函數(shù)及復(fù)合函數(shù)中，學(xué)生需引起注意，否則，“成千古恨”.

第（3）小題：

① 不能得出原命題的等價(jià)命題；

② 此題對(duì)學(xué)生構(gòu)造函數(shù)的能力要求較高；

③ 忽略了構(gòu)造后的函數(shù)的定義域.

問(wèn)題解法1：當(dāng)a=-12時(shí)，方程f（1-x）=（1-x）33+bx可化為lnx-（1-x）2+（1-x）=bx，

令h（x）=lnx+x-x2（x>0）則h′（x）=1x+1-2x=（2x+1）（1-x）x，所以當(dāng)00，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；

當(dāng)x>1時(shí)，h′（x）<0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù).

因此，h（x）≤h（1）=0.∴bx≤0，又x>0，∴b≤0，即b的最大值為0.

問(wèn)題原因：忽略了在lnx-（1-x）2+（1-x）=bx中，左右兩邊的x是同時(shí)存在的，而不是獨(dú)立存在的，這樣做題，就曲解了題目的意思，雖然結(jié)果是一樣的，但過(guò)程所體現(xiàn)的思想、邏輯完全不同，可以說(shuō)，學(xué)生的這種邏輯是錯(cuò)誤的.

問(wèn)題解法2：當(dāng)a=-12時(shí)，方程f（1-x）=（1-x）33+bx可化為b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，令g（x）=xlnx+x2-x3，則g′（x）=lnx-3x2+2x+1.

注意到，當(dāng)x=1時(shí)，有g(shù)′（x）=0，∴當(dāng)x=1時(shí)，b取得最大值0.

問(wèn)題原因：學(xué)生猜測(cè)b的最大值在g′（x）=0時(shí)取得，邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)，這也是因?yàn)閷W(xué)生沒有繼續(xù)研究y=g′（x）的導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)所致.

接下去進(jìn)一步完善學(xué)生的解法得到b的最大值為0.

三、教學(xué)建議

1.注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)中常見詞“極值點(diǎn)”“單調(diào)函數(shù)”“有實(shí)根”的理解；

2.注重學(xué)生讀題、審題能力的培養(yǎng)，首先要分清已知、未知條件，再尋求題目的等價(jià)命題；

3.在平時(shí)的訓(xùn)練解題中，應(yīng)重視學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力的提高培養(yǎng)；

4.教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)應(yīng)用類題型及相應(yīng)解題策略的歸納與總結(jié)，幫助學(xué)生歸納總結(jié)；

5.教師應(yīng)加強(qiáng)創(chuàng)新教學(xué)的探索與研究，努力形成學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—提出問(wèn)題”的學(xué)習(xí)模式.

師者，傳道授業(yè)解惑也.為學(xué)之道，貴在多疑，對(duì)于習(xí)題、試題中的疑問(wèn)，教師應(yīng)立足“道而弗牽”“授人以漁”，不僅讓學(xué)生了解解題過(guò)程、掌握答題方法和技巧，更要注重對(duì)答題規(guī)范素養(yǎng)的提高.教學(xué)的規(guī)范化有助于學(xué)生在高考中發(fā)揮出自己的真實(shí)水平，也有利于培養(yǎng)規(guī)范有序、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.這對(duì)學(xué)生將來(lái)在社會(huì)上從事任何工作都是十分重要的.