淺談逆向思維在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

冉瑞海

摘要：逆向思維是初中數(shù)學(xué)中的一種重要思維，當(dāng)正面解題無(wú)法突破數(shù)學(xué)試題時(shí)就需要考慮逆向思維，這也是學(xué)生發(fā)散思維、提升創(chuàng)新能力的一種手段，因此，教師必須重視學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；逆向思維；應(yīng)用

進(jìn)入初中階段后，學(xué)生需要進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的鍛煉，養(yǎng)成解題的思路，逆向思維作為一種解題思維，逐漸受到廣大數(shù)學(xué)教師的關(guān)注。有鑒于此，如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地應(yīng)用逆向思維，如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，就成為數(shù)學(xué)教師所關(guān)注的話題，本文對(duì)此進(jìn)行了相應(yīng)的探討，希望和大家共同進(jìn)步。

一、在概念教學(xué)中滲透逆向思維

概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，沒(méi)有概念就沒(méi)有數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成具有非常重要的影響。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生總是習(xí)慣于從左到右，這就會(huì)形成一種定勢(shì)思維，如果反過(guò)來(lái)用的話就會(huì)感覺(jué)很不習(xí)慣。在此背景下，教師在授課過(guò)程中除了為學(xué)生講授定義的基本內(nèi)容及其拓展應(yīng)用之外，還應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，加深對(duì)定義的印象，全面掌握定義的內(nèi)容。

如，在講授“同類項(xiàng)”時(shí)，筆者為了讓學(xué)生對(duì)同類項(xiàng)的概念加深理解，提出了以下兩道問(wèn)題：①當(dāng)k=時(shí)，2xky與﹣3x2y是同類項(xiàng)；②已知4xmy4與﹣x2yn是同類項(xiàng)，則2m-n=。一開(kāi)始，學(xué)生在課堂上無(wú)從下手，于是，筆者就引導(dǎo)他們進(jìn)行逆向思考，從而得出k=2，2m-n=0的結(jié)論。在一些幾何知識(shí)中，有的概念是能夠互相進(jìn)行正反推理的，即，平行四邊形定義通過(guò)它的性質(zhì)推導(dǎo)也可以得到。需要注意的是，有的時(shí)候，學(xué)生會(huì)因?yàn)閷?duì)一些原命題的逆命題不能把握，從而導(dǎo)致出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，在“同角的余角相同”時(shí)，有的人則會(huì)認(rèn)為它的逆命題是“如果是同角，那么就相等”，這樣的思路錯(cuò)誤，因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有判斷內(nèi)在的條件和結(jié)論，只是單純地取反。因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行深入剖析，然后著進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練。

二、注重公式和法則的逆向思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)的運(yùn)算公式和法則是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，需要學(xué)生掌握并且能夠熟練應(yīng)用。在講課過(guò)程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生熟記并且講述運(yùn)用的相關(guān)法則，逆向思維能夠幫助他們加深對(duì)公式和法則的印象，同時(shí)也能夠掌握逆向思維的解題思路。學(xué)生只有同時(shí)熟悉之后，才算掌握該公式和法則。對(duì)于公式的從左到右和從右到左，教師都應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，使他們習(xí)慣于逆向思考數(shù)學(xué)問(wèn)題。

在教材中，有許多的公式是可以進(jìn)行逆向運(yùn)算的，因此，教師可以指導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)行逆向訓(xùn)練。需要注意的是，學(xué)生要先進(jìn)行完公式的推導(dǎo)后，再與原公式進(jìn)行對(duì)比，探索能否進(jìn)行逆向運(yùn)用，從而形成應(yīng)用逆向思維的能力。如，（m-n）（m+n）= m2-n2是一個(gè)乘法的公式，但是反過(guò)來(lái)則是因式分解m2-n2=（m-n）（m+n）（3+2）2011（3-2）2010，學(xué)生遇到這樣的問(wèn)題會(huì)很難下手，無(wú)從求解，如果知道逆用乘方的公式，即，（mn）a=mana

那么式子（3+2）2011（3-2）2010=[（3+2）（3-2）] 2010（3+2），這樣問(wèn)題就可以順利地進(jìn)行求解了。通過(guò)對(duì)公式和法則進(jìn)行推導(dǎo)后再逆向運(yùn)算，學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，從而做到熟練地運(yùn)用相應(yīng)的公式和法則。

三、訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維解題能力

逆向思維解題可以從題干材料的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行思考，通過(guò)推導(dǎo)一直到現(xiàn)有的已知條件，從而解出試題的答案。在數(shù)學(xué)解法中，很多試題都是可以進(jìn)行互逆訓(xùn)練，因此，教師在教學(xué)中要加大訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，引導(dǎo)他們及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，發(fā)現(xiàn)其中存在的內(nèi)在規(guī)律。通過(guò)逆向思維的解題訓(xùn)練，學(xué)生能夠一方面對(duì)教材內(nèi)容加深印象，另一方面也可以捋順數(shù)學(xué)教材中的順序，從而發(fā)散自己的思維，提升解題的綜合能力。

例，若化簡(jiǎn)|1-x|-x2-8x+16的結(jié)果為2x-5，求x的取值范圍。

分析1：根據(jù)x的取值來(lái)化簡(jiǎn)絕對(duì)值與二次根式的性質(zhì)，原式=|1-x|-（x-4）2=|1-x|-|x-4|=2x-5，則，|1-x|-（x-4）2=1-x-x-4，即，1- x≤0，x-4≤0，解得1≤x≤4。

分析2：原式=|1-x|-|x-4|，根據(jù)題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5，從絕對(duì)值概念的反方向考慮，推出其條件是：1-x≤0，且x-4≤0，∴x的取值范圍是：1≤x≤4。本題的難點(diǎn)不是根據(jù)x的取值來(lái)化簡(jiǎn)絕對(duì)值和二次根式，而是由絕對(duì)值與二次根式化簡(jiǎn)得到x的取值范圍。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在正面解答此題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行反面求解，從而提升數(shù)學(xué)綜合能力。

四、運(yùn)用逆性思維來(lái)編制新試題

在訓(xùn)練完逆向思維解題之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生再深入進(jìn)行編制題目的訓(xùn)練，通過(guò)改變題干材料的某項(xiàng)條件，再進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，這就有利于提升他們數(shù)學(xué)思維的活躍性，激發(fā)其對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。通過(guò)編制試題，學(xué)生可以開(kāi)發(fā)自己的思維，發(fā)散自身的數(shù)學(xué)思路，還能夠提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性。通過(guò)逆向思維的方式編制試題，教師能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的奧秘，幫助他們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密之處。

如右圖所示，在△ABC中，AB=AC，其中P，Q點(diǎn)為邊AC、AB上的兩點(diǎn)，且∠PBA=∠QCA，求證：AQ=AP。在學(xué)生做完練習(xí)后，筆者引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論視為題干，題干視為結(jié)論，進(jìn)行兩者從而得到：①在△ABC中，AB=AC，其中P，Q點(diǎn)為邊AC、AB上的兩點(diǎn)，且AQ=AP。求證：∠PBA=∠QCA。②在△ABC中，∠PBA=∠QCA，其中P，Q點(diǎn)為邊AC、AB上的兩點(diǎn)，且AQ=AP。求證：AB=AC。我們分析可以知道，其中的三個(gè)關(guān)鍵因素，即，AB=AC、AQ=AP、∠PBA=∠QCA，只要其中的三個(gè)條件中有兩項(xiàng)成立，那么第三項(xiàng)也會(huì)成立。通過(guò)這樣的互逆推導(dǎo)來(lái)編制新題的方式，學(xué)生能夠更加了解到這類題目的變化情況，提升試題的解題能力，體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

總之，逆向思維在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此，范圍十分廣泛。廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)開(kāi)闊思路，抓住學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵期，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維以提升整體的水平，發(fā)散其解題思路，最終將學(xué)生培養(yǎng)成為創(chuàng)新型的高素質(zhì)人才。

參考文獻(xiàn)：

[1]姚紅偉.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2016（12）

[2]胡祥澤.淺談在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力[J].數(shù)理化解題研究，2017（02）

（作者單位：貴州省銅仁市德江縣沙溪鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué) 565215）