線性規(guī)劃在利潤最大化和成本最小化問題中的應用

滕莉

摘要：利潤最大化和成本最小化是高中數(shù)學中的常見問題，需要使用線性規(guī)劃方法進行求解。本文結合筆者自身的學習經歷，對線性規(guī)劃知識進行簡單介紹，并分析其學習方法。在此基礎上，集中探討其在求解利潤最大化問題和成本最小化問題中的應用，以期提高此類問題的求解速度和準確率。

關鍵詞：線性規(guī)劃；利潤最大化；成本最小化

前言：線性規(guī)劃知識具有較強的實用性。在經濟社會中，企業(yè)的資源分配、市場策略制定等都需要利用線性規(guī)劃知識。隨著新課改的不斷深入，教材和考試題目與生活實際的聯(lián)系性越來越密切，我們在考試中經常會遇到求解利潤最大化或成本最小化的問題，線性規(guī)劃是求解此類問題的關鍵方法。因此，我們在平時的學習過程中，應對線性規(guī)劃知識進行深入理解，并掌握此類題目的求解規(guī)律，從而在考試中從容應對，快速、準確的求解出答案，提高數(shù)學成績。

一、高中數(shù)學中的線性規(guī)劃知識及學習方法

1.線性規(guī)劃知識概述

線性規(guī)劃知識是一種求解優(yōu)化問題的計算工具，在特定的資源約束條件限制下，通過線性規(guī)劃計算，以最小的投入換取最大的回報，從而實現(xiàn)經濟效益最大化。線性規(guī)劃是我們求解此類問題的重要方法，其包含了許多重要思想，包括數(shù)形結合思想、轉化思想等。學好線性規(guī)劃知識可以提升我們的邏輯思維能力，使我們在解決實際生活中的問題時能夠快速理清思路，采用正確的方法進行分析和計算。在高中數(shù)學中利用線性規(guī)劃求解的問題主要包括不等式問題、函數(shù)轉化問題、目標函數(shù)求解問題、整點問題等。其中，利潤最大化和成本最小化問題屬于在線性約束條件下求取目標函數(shù)最大值、最小值的問題，在約束條線下的解叫做函數(shù)的可行解，由其組成的域叫做可行域。在求解過程中，一般要列出約束條件，畫出可行域，進而求出最優(yōu)解[1]。

2.線性規(guī)劃學習方法

鑒于線性規(guī)劃知識的重要性，我們在學習過程中，必須扎實掌握線性規(guī)劃的相關概念公式，采用靈活的學習方法，提高此部分知識內容的應用能力。筆者根據老師指導和自己平時的學習經驗，總結出以下幾點學習方法：（1）根據教材和提綱進行自學，以教材中的不等式為例，通過自行閱讀，了解解集的求解過程，深刻認識解集代表的意義，并找到相關題目進行鞏固練習，如果遇到難以理解的題目，要及時向老師請教；（2）與同學進行集體學習，分享在課堂和自學過程中遇到的問題，通過互測互評等方式，相互督促，共同進步，提高此類問題的解題能力；（3）充分利用各種學習資源，包括網絡學習資源等，參加實踐調查活動，提高線性規(guī)劃知識的實際應用能力，從而在求解此類應用題時能夠得心應手，結合實際情況進行分析和求解[2]。

二、應用線性規(guī)劃求解利潤最大化和成本最小化問題

1.求解線性規(guī)劃問題的一般形式

最大利潤和最小成本，是在經濟活動中最常見的研究課題，是同一研究領域的兩個不同數(shù)學模型，且都屬于最優(yōu)化模型。其中，最優(yōu)化模型可以表示為Z=c1x1+c2x2+…+cnxn的形式，其中，x1到xn是決策變量，即探討實際經濟問題的未知變量，在決策系統(tǒng)中屬于可控因素，Z是目標函數(shù)，c1到cn是價值系數(shù)。采用ax≥b表示一個約束條件，在經濟管理問題中，限制因素可能是原材料供應、市場銷售狀態(tài)和產品質量等。在線性規(guī)劃問題中，決策變量、目標函數(shù)和約束條件是其三要素。通常將線性規(guī)劃問題用以下標準形式進行表示：

2.企業(yè)利潤最大化問題的求解方法

在實際生產中，企業(yè)開展生產和銷售活動的主要目的就是賺取利潤，因此實現(xiàn)利潤最大化是企業(yè)管理的核心目標。利潤等于總收入減去總成本得到的計算值，如果總收入大于總成本，企業(yè)就會獲得利潤，反之企業(yè)則會虧損。利益最大化不僅是企業(yè)積極爭取的目標，也是推動社會財富增長的重要動力，但要實現(xiàn)這一目標較為困難。采用線性規(guī)劃方法可以幫助企業(yè)做出合理的統(tǒng)籌規(guī)劃。

比如在實際問題中，企業(yè)采用A和B兩種原料生產甲乙丙丁四種產品，其中A原料有18kg，B原料有3kg，生產1萬件甲產品要消耗3kgA材料，生產1萬件乙產品要消耗2kgA材料，生產1萬件丙產品要消耗10kgA材料和2kgB材料，生產1萬件丁產品要消耗4kgA材料和0.5kgB材料。甲乙丙丁四種產品的利潤分別為9元/件、8元/件、50元/件、19元/件。

3.成本最小化問題的求解方法

最小成本求解問題的基本思路與最大利潤類似，比如三種食物的維生素A含量分別為600單位/kg、700單位/kg，400單位/kg，維生素B含量分別為800單位/kg、400單位/kg和500單位/kg。其成本價分別為11元/kg、9元/kg和4元/kg?，F(xiàn)要配置100kg混合事物，要求維生素A含量最少為56000單位，維生素B含量最少為63000單位，求最低成本。在求解時可以列出目標函數(shù)為C=11x + 9y + 4z，約束條件為600x+700y+400z≥56000800x+400y+500z≥63000 ，通過求解目標函數(shù)，可以得出x=50，y=20，z=30時，目標函數(shù)取得最小值，從而求出最小成本為850元。

結束語：綜上所述，線性規(guī)劃是求解最大利潤和最小成本問題的關鍵方法，通過掌握線性規(guī)劃知識的重點內容和學習方法，可以幫助我們找到解決此類問題的方法。在此基礎上，掌握求解兩種問題的一般解題形式，并結合實際問題進行具體分析，可以提高我們的實際解題能力。

參考文獻：

[1]董悠.高中數(shù)學線性規(guī)劃問題分析[J].科技創(chuàng)新導報，2017，14（04）：193-194.

[2]涂小琴.淺析高中數(shù)學《簡單的線性規(guī)劃問題》[J].快樂閱讀，2012（22）：79.

（作者單位：湖南省常寧市第一中學 421500）endprint