龐雅麗

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職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK的比較研究

龐雅麗1，2

（1．上海師范大學(xué) 教育學(xué)院，上海 200234；2．Texas A & M University 教育學(xué)院，美國(guó) 德克薩斯州）

從知識(shí)的起源、知識(shí)的橫向聯(lián)系、知識(shí)的縱向聯(lián)系、知識(shí)的本質(zhì)4個(gè)維度考查職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK（橫縱向內(nèi)容知識(shí)）這類學(xué)科知識(shí)的掌握情況．研究發(fā)現(xiàn)，被試的HCK不夠豐富；不同教齡的教師的HCK水平無(wú)顯著差異；修過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)理論類課程的職前教師的HCK水平顯著高于10年內(nèi)教齡的在職教師．基于研究結(jié)果，對(duì)職前和在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師教育提出一些建議．

MKT；HCK；小學(xué)數(shù)學(xué)教師

1 問(wèn)題提出

從20世紀(jì)80年代起，不斷有研究表明，數(shù)學(xué)教師的知識(shí)和技能影響著教師的備課、反思、評(píng)價(jià)等課外教學(xué)實(shí)踐以及課堂上的師生互動(dòng)，進(jìn)而影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程及其學(xué)習(xí)結(jié)果[1-5]．同時(shí)，數(shù)學(xué)教師的知識(shí)還影響著數(shù)學(xué)教育改革的實(shí)施情況，如何促進(jìn)數(shù)學(xué)教師知識(shí)的發(fā)展成為一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)[6-7]．有中美比較研究表明，中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師具有較強(qiáng)的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)，其學(xué)科教學(xué)知識(shí)的提高主要得益于教學(xué)與在職專業(yè)發(fā)展[8-9]．

然而，隨著研究方法的更新和研究的更精致化，研究者們逐漸發(fā)現(xiàn)，中國(guó)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)并不如想象中的樂(lè)觀，存在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)不夠完善、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)不夠清楚、在一些概念表征和數(shù)學(xué)思維的認(rèn)識(shí)上存在偏差等問(wèn)題[10-12]．那么，在當(dāng)前師范教育改革的形勢(shì)下，數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的學(xué)科知識(shí)是否可以通過(guò)職前教育獲得？在研究如何提高在職數(shù)學(xué)教師知識(shí)的同時(shí)，研究者們也日益關(guān)注職前數(shù)學(xué)教師的知識(shí)儲(chǔ)備．近年來(lái)，關(guān)于職前教師應(yīng)該具備怎樣的學(xué)科知識(shí)以便為入職做準(zhǔn)備也逐漸成為教師教育工作者討論的焦點(diǎn)[13-16]．

在關(guān)于“數(shù)學(xué)教師需要怎樣的數(shù)學(xué)知識(shí)”的研究中，美國(guó)密西根大學(xué)的Ball研究團(tuán)隊(duì)提出的MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）模型獲得了較為廣泛的關(guān)注[17]．中國(guó)亦有研究者采用這一框架對(duì)數(shù)學(xué)教師知識(shí)進(jìn)行探索和研究[18-22]．但已有研究中，絕大部分關(guān)注的是初中或高中數(shù)學(xué)教學(xué)所需的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的研究較為缺乏．實(shí)際上，Ball研究團(tuán)隊(duì)提出MKT模型的初衷正是為了理清小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)，這一模型對(duì)MKT的兩大子成分SMK（學(xué)科內(nèi)容知識(shí)）和PCK（學(xué)科教學(xué)知識(shí)）進(jìn)行了更為細(xì)致的刻畫，其中，將SMK細(xì)化為CCK（一般內(nèi)容知識(shí)）、SCK（專門內(nèi)容知識(shí)）、HCK（橫縱向內(nèi)容知識(shí)）．

教師首先要懂得要教給學(xué)生的知識(shí)（CCK），這毋庸置疑．Ball團(tuán)隊(duì)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)需要的學(xué)科知識(shí)還有兩大特點(diǎn)，拆解性和聯(lián)系性[23]．?dāng)?shù)學(xué)的重要特點(diǎn)之一是它能夠?qū)⑿畔嚎s成抽象的形式，以抽象的符號(hào)形式表征概念，也正是由于這種壓縮和抽象帶來(lái)的簡(jiǎn)化性，才有可能對(duì)概念進(jìn)行進(jìn)一步的操作．然而，教師需要能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行拆解，即，要知其所以然，這正是SCK的范疇．聯(lián)系性是指，教師不僅要建立數(shù)學(xué)不同分支不同內(nèi)容間的橫向聯(lián)系，而且要建立同一主題在不同階段的縱向聯(lián)系，了解隨著時(shí)間的推移數(shù)學(xué)是如何發(fā)生發(fā)展變化的．這屬于HCK的范疇．

較為遺憾的是，Ball團(tuán)隊(duì)后來(lái)進(jìn)行的實(shí)證研究中并沒(méi)有涉及HCK．事實(shí)上，縱覽近年來(lái)關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的研究，大多關(guān)注的也是CCK和SCK．那么，一個(gè)自然的問(wèn)題就是，在職與職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)HCK這類學(xué)科知識(shí)的掌握情況是怎樣的？這類學(xué)科知識(shí)會(huì)隨著教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的豐富而增長(zhǎng)么？這類學(xué)科知識(shí)有可能通過(guò)職前教育獲得么？因此，具體研究問(wèn)題如下：

（1）在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK水平如何？不同教齡教師的HCK水平是否存在差異？

（2）職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK水平如何？哪些方面有待提高？

（3）職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK水平是否存在差異？

2 研究設(shè)計(jì)與方法

采用測(cè)試調(diào)查的方法，測(cè)試卷的編制借鑒了Ball研究團(tuán)隊(duì)深入一線的方法．研究者利用兩年來(lái)數(shù)十次到上海多所小學(xué)聽課、評(píng)課、參與教學(xué)設(shè)計(jì)等機(jī)會(huì)，收集了小學(xué)數(shù)學(xué)教師在學(xué)科知識(shí)方面犯的錯(cuò)誤、模糊的認(rèn)識(shí)、存在的疑問(wèn)，從中提取了屬于HCK范疇的學(xué)科知識(shí)問(wèn)題，編制了“小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK測(cè)試卷”，共17題．基于HCK的內(nèi)涵，將其細(xì)化為知識(shí)的起源、知識(shí)的橫向聯(lián)系、知識(shí)的縱向聯(lián)系、知識(shí)的本質(zhì)4個(gè)子維度．測(cè)試題在各子維度的分布見表1．

在測(cè)試題編制過(guò)程中，考慮到就小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)而言，HCK難于CCK和SCK，若采用開放式主觀測(cè)試題，在職被試可能存在抗拒作答的心理，從而導(dǎo)致回收到大量無(wú)效數(shù)據(jù)，故研究全部采用客觀題對(duì)被試進(jìn)行測(cè)試．研究者與另兩位數(shù)學(xué)教育工作者就各題目所考察的知識(shí)點(diǎn)和所屬類別先獨(dú)立編碼，后集中商討，最終一致性達(dá)到100%．

表1 測(cè)試卷在HCK各子類別的題目分布

研究者選取上海某高校小學(xué)教育專業(yè)理科班2013級(jí)與2014級(jí)共122名師范生作為職前教師的樣本，隨機(jī)選取上海J區(qū)和F區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教師共98名作為在職教師的樣本，其中J區(qū)位于上海市區(qū)，F(xiàn)區(qū)位于上海郊區(qū)，J區(qū)的教學(xué)質(zhì)量和師資水平均高于F區(qū)．在測(cè)試前，職前被試已修過(guò)高等數(shù)學(xué)類課程和一般教育類課程，2013級(jí)修過(guò)一門小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)理論類課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》，2014級(jí)則未修過(guò)這門課，此外職前被試沒(méi)有修過(guò)任何其它的數(shù)學(xué)教育類課程．測(cè)試于2016年春季學(xué)期初完成，收回有效答卷220份，回收率100%．

3 研究結(jié)果與討論

3.1 在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK測(cè)試結(jié)果

3.1.1 在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK整體測(cè)試結(jié)果

在職教師的HCK測(cè)試結(jié)果見表2．各子維度及總的平均得分率均不超過(guò)60%，表現(xiàn)尚可的是H4（知識(shí)的本質(zhì)），表現(xiàn)最弱的是H3（知識(shí)的縱向聯(lián)系）．

表2 在職教師在HCK測(cè)試中的得分情況

進(jìn)一步考查H3維度的測(cè)試題，其涉及的知識(shí)主要是在數(shù)概念發(fā)展的不同階段，其命數(shù)法和記數(shù)法、運(yùn)算法則、運(yùn)算的封閉性、運(yùn)算的互逆性是如何發(fā)展變化的．其中第6題和第9題的正確率均不足30%．?dāng)?shù)與運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基本、所占比例最大的內(nèi)容，教師需要了解數(shù)集擴(kuò)充的歷史順序和邏輯順序，才能對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的起源、數(shù)概念的發(fā)展、不同數(shù)集中運(yùn)算的不斷發(fā)展變化有更豐富的認(rèn)識(shí)．顯然，在職被試在這方面的知識(shí)儲(chǔ)備還不足以高屋建瓴地看待小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)與運(yùn)算，從而更好地組織教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)．

3.1.2 不同教齡的教師HCK水平的差異性

將在職被試按照教齡分為兩組，教齡不足10年的為組1，教齡滿10年及以上的為組2，兩組在職教師在HCK各維度的表現(xiàn)見表3．組2的整體HCK水平高于組1，尤其表現(xiàn)在H1（知識(shí)的起源）和H2（知識(shí)的橫向聯(lián)系）兩個(gè)子維度上．而在H3維度，組2反而低于組1．

表3 不同教齡的教師在HCK測(cè)試中的平均得分情況

對(duì)兩個(gè)教齡組別的被試的平均得分進(jìn)行單因素方差分析，結(jié)果見表4和表5．

表4 不同教齡組別教師測(cè)試成績(jī)的方差齊性檢驗(yàn)結(jié)果

Levene’s Test for Equality of Variance的各顯著性值均大于0.05，說(shuō)明各組數(shù)據(jù)的方差是齊性的．組1的HCK測(cè)試成績(jī)（=8.85，=1.76）與組2（=9.37，=1.77）之間無(wú)統(tǒng)計(jì)意義上的顯著差異（=2.143，=0.146 > 0.05）．但就各子維度而言，組2的H1和H2得分均顯著高于組1（H1:=4.341，=0.04 < 0.05；H2:=4.323，=0.04 < 0.05），在H3和H4維度上兩者無(wú)統(tǒng)計(jì)意義上的顯著差異．

表5 不同教齡教師的測(cè)試均值成績(jī)的ANOVA結(jié)果

隨著教齡的增長(zhǎng)，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)日益豐富，教師可能會(huì)更加關(guān)注“知識(shí)的起源”和“知識(shí)間的橫向聯(lián)系”，以便更合理地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，這兩個(gè)維度上的知識(shí)會(huì)有較明顯的增長(zhǎng)．但教齡增長(zhǎng)并不會(huì)導(dǎo)致教師獲得更多的“知識(shí)的縱向聯(lián)系”，從研究結(jié)果看，甚至出現(xiàn)了教齡越長(zhǎng)，這類知識(shí)越弱的情形．這一方面可能是由于10年以上教齡的教師大多是中師畢業(yè)，即便后來(lái)進(jìn)修本科，但在學(xué)科知識(shí)的儲(chǔ)備上較為不足；另一方面也說(shuō)明這類學(xué)科知識(shí)很難通過(guò)在職教學(xué)經(jīng)歷自然獲得．教齡對(duì)教師關(guān)于“知識(shí)的本質(zhì)”的認(rèn)識(shí)，則基本沒(méi)有影響．從整體上來(lái)看，隨著教齡的增長(zhǎng)，教師的HCK整體水平會(huì)有所提高，但并不顯著．

3.2 職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK測(cè)試結(jié)果

職前教師的HCK測(cè)試結(jié)果見表6．平均得分率最高的是H1維度（知識(shí)的起源），其余子維度及總的平均得分率均不超過(guò)60%，其中得分最低的是H2（知識(shí)的橫向聯(lián)系）．

表6 職前教師在HCK測(cè)試中的得分情況

進(jìn)一步考查H2維度的測(cè)試題，其涉及的知識(shí)主要有自然數(shù)與集合之間、不同運(yùn)算之間、不同幾何體的度量之間的聯(lián)系．其中，第4題的正確率僅為12%，將近九成的職前被試認(rèn)為“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，而忽略了這僅僅在自然數(shù)范圍內(nèi)成立．H2維度的低得分率表明，職前被試頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系是非常薄弱的、片面的、亟待提高的．

3.3 職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK水平的差異性

對(duì)職前和在職被試的HCK測(cè)試平均成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立樣本檢驗(yàn)，表7顯示，兩組數(shù)據(jù)無(wú)顯著差異．

考慮到職前被試分別來(lái)自2013級(jí)與2014級(jí)，在測(cè)試之前，2014級(jí)尚未修過(guò)任何數(shù)學(xué)教育類的課程，而2013級(jí)則已修過(guò)一門．對(duì)2013級(jí)職前被試和教齡在10年以內(nèi)的在職被試進(jìn)行獨(dú)立樣本檢驗(yàn)，表8的輸出結(jié)果顯示，2013級(jí)職前被試的HCK平均分（=9.50，=1.75）顯著高于10年內(nèi)教齡的在職教師（=8.83，=1.75）（=-2.043，=0.043 < 0.05），尤其表現(xiàn)在H1（2013級(jí)：=3.45；10年內(nèi)教齡教師：=2.6）和H3（2013級(jí)：=2.19；10年內(nèi)教齡教師：=1.91）兩個(gè)子維度．在其余兩個(gè)子維度，職前2013級(jí)被試略低于10年內(nèi)教齡在職被試．

表7 職前與在職教師HCK平均成績(jī)的獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)結(jié)果

表8 職前2013級(jí)與在職10年內(nèi)教師測(cè)試成績(jī)的獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)結(jié)果

2013級(jí)職前被試在“知識(shí)的起源”和“知識(shí)的縱向聯(lián)系”兩個(gè)維度上的較好表現(xiàn)，可能與所修過(guò)的一門小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)理論類課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》有關(guān)．該課程系統(tǒng)地講述了小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的主要的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)公式等的來(lái)龍去脈．在一名教師從教的前10年是其職業(yè)生涯中的重要成長(zhǎng)期，HCK的缺失會(huì)影響教師對(duì)數(shù)學(xué)的整體把握，進(jìn)而影響教師的數(shù)學(xué)教學(xué)以至其專業(yè)發(fā)展．而研究表明，這類學(xué)科知識(shí)是有可能通過(guò)職前教育獲得的．

4 研究結(jié)論及啟示

4.1 職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK均不夠豐富

職前教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的起源有較清晰的認(rèn)識(shí)，但對(duì)知識(shí)間的橫向聯(lián)系的理解極為欠缺．在職教師能較好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，但對(duì)知識(shí)的縱向聯(lián)系的認(rèn)識(shí)比較欠缺．

因此，在職前小學(xué)教師教育課程中，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)間的橫向聯(lián)系，將看似孤立的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)成一張彼此關(guān)聯(lián)的知識(shí)網(wǎng)，提高職前教師的學(xué)科素養(yǎng)．在職培訓(xùn)則需加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的縱向聯(lián)系，特別是某些重要概念的起源、發(fā)生、發(fā)展及變化，了解一定的數(shù)學(xué)史可幫助提升教師這方面的學(xué)科知識(shí)．有研究者曾以中學(xué)階段無(wú)理數(shù)為例，研究了數(shù)學(xué)史對(duì)提升HCK的作用[24]．開展基于數(shù)學(xué)史提升小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK類學(xué)科知識(shí)的行動(dòng)研究將非常有意義．

4.2 不同教齡教師的整體HCK水平?jīng)]有顯著差異

10年以內(nèi)教齡的教師與10年以上教齡的教師在整體HCK水平上沒(méi)有統(tǒng)計(jì)意義上的顯著差異．但具體到各子維度，研究發(fā)現(xiàn)，隨著教齡增長(zhǎng)，教師關(guān)于知識(shí)的起源和知識(shí)間的橫向聯(lián)系這兩類學(xué)科知識(shí)會(huì)有顯著增長(zhǎng)，但對(duì)知識(shí)間的縱向聯(lián)系的理解反而呈下降態(tài)勢(shì)．這一結(jié)果再次佐證了在職培訓(xùn)中需加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系的必要性．

隨著教齡增長(zhǎng)，教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)日益豐富，有研究表明，對(duì)教學(xué)實(shí)踐的反思可提升教師的PCK[25]，但其SMK未必會(huì)隨著教學(xué)實(shí)踐而自然增長(zhǎng)．研究顯示，教師的HCK中的某些子成分（知識(shí)的本質(zhì)、知識(shí)間的縱向聯(lián)系）并不會(huì)隨著教齡的增長(zhǎng)而自然增長(zhǎng)，因此，在職培訓(xùn)應(yīng)避免一把抓，而應(yīng)聚焦教師的薄弱環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的培訓(xùn)方案，有針對(duì)性地提升教師的HCK．

4.3 修過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)理論類課程的職前教師HCK水平顯著高于10年內(nèi)教齡的教師

職前被試與在職被試的HCK水平無(wú)顯著差異．但當(dāng)考查修過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)理論類課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》的2013級(jí)被試這一群體時(shí)，研究發(fā)現(xiàn)，這些職前教師的HCK水平顯著高于10年內(nèi)教齡的在職教師．在職教師或許從在職培訓(xùn)中也可零星獲得一些小學(xué)數(shù)學(xué)理論知識(shí)，但缺乏系統(tǒng)性，效果并不佳．

這從一定程度上表明，HCK可以通過(guò)職前獲得，從而為師范生入職后的專業(yè)發(fā)展提供深厚的學(xué)科基礎(chǔ)．有學(xué)者提出，基于MKT視角，構(gòu)建小學(xué)教育專業(yè)面向HCK的課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》和《數(shù)學(xué)史》[26]，這里的研究為這一設(shè)想實(shí)施的可行性提供了證據(jù)．如何更好地將提升HCK水平與現(xiàn)有職前數(shù)學(xué)教育類課程進(jìn)行整合，是值得數(shù)學(xué)教師教育工作者當(dāng)下思考的問(wèn)題．

致謝：感謝美國(guó)Texas A&M University李業(yè)平教授對(duì)本文寫作的指導(dǎo)．

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Comparative Study of Horizon Content Knowledge between Pre-Service and In-Service Elementary Mathematics Teachers

PANG Ya-li1, 2

(1. Shanghai Normal University College of Education, Shanghai 200234, China; 2. Texas A & M University College of Education, Texas, U. S. A.)

Horizon content knowledge (HCK) of pre-service and in-service elementary mathematics teachers was investigated according to four dimensions as follows: the origin of knowledge, the horizontal connection of knowledge, the longitudinal connection of knowledge, and the essence of knowledge. The findings suggested that participants’ HCK was not rich enough. There was no significant difference in HCK among teachers of different teaching ages. The HCK level of pre-service teachers who had learned elementary mathematics theory course was significantly higher than that of in-service teachers who had been teaching for no more than ten years. Some suggestions about pre-service and in-service elementary mathematics teacher education were provided based on this study.

MKT; HCK; elementary mathematics teachers

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2017–11–01

上海市高校青年教師培養(yǎng)資助計(jì)劃項(xiàng)目——職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師MKT的發(fā)展研究（B913113001017）

龐雅麗（1980—），女，山西孝義人，講師，博士，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)、數(shù)學(xué)教師教育研究．

G622

A

1004–9894（2018）01–0058–04

龐雅麗．職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：58-61．