胡玉璽

摘要：實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課。本文主要探討實(shí)變函數(shù)這門課程的學(xué)習(xí)方法以及教學(xué)方式，通過梳理實(shí)變函數(shù)的主要內(nèi)容，能夠理清其基本脈絡(luò)，掌握其基本思想。另外，對(duì)于如何教授實(shí)變函數(shù)這門課程，我們給出了自己的一些意見和建議，供同行參考。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù)；學(xué)習(xí)方法；教學(xué)方式

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）06-0142-02

一、引言

實(shí)變函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系的核心必修課之一，實(shí)變函數(shù)在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中，如測(cè)度論、分形幾何、泛函分析、調(diào)和分析、偏微分方程中都產(chǎn)生了極大的影響。然而《實(shí)變函數(shù)》課程因其自身的特點(diǎn)，該課程的高度抽象性以及較強(qiáng)的邏輯推理性，課程展開的方式需要經(jīng)過漫長(zhǎng)的準(zhǔn)備、集合論與分析相結(jié)合的處理方法、所討論的函數(shù)類范圍的擴(kuò)大以及習(xí)題量大而且難做等，都使得學(xué)生認(rèn)為其深?yuàn)W晦澀、枯燥無味。進(jìn)入這門課程學(xué)習(xí)時(shí)間不長(zhǎng)，不少學(xué)生便對(duì)這門課程喪失了信心，猶如霧里看花，水中望月，完全不清楚它的內(nèi)容和意義，更談不上興趣；后期的學(xué)習(xí)情況更糟，甚至對(duì)一些基本概念的理解都出現(xiàn)困難。為了更好地實(shí)施教學(xué)，筆者從多年的教學(xué)實(shí)踐中，從實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的點(diǎn)滴體會(huì)出發(fā)，就《實(shí)變函數(shù)》這門課程的教學(xué)方法與教學(xué)方式進(jìn)行探討。

Lebesgue積分是實(shí)變函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，要掌握Lebesgue積分的內(nèi)容首先要知道引入這種積分的動(dòng)機(jī)。因此，總結(jié)Riemann積分并指出它的局限性是首堂課應(yīng)該教給學(xué)生的。Riemann積分的局限性有如下幾點(diǎn)：（1）可積的函數(shù)種類較少，比較著名的是Dirichlet函數(shù)不可積。（2）函數(shù)列極限和積分交換順序的條件太強(qiáng)，而且只有充分條件，例如需要函數(shù)列一致收斂的條件。（3）從微積分基本定理來看，求導(dǎo)和積分運(yùn)算并非算是真正的逆運(yùn)算，需要函數(shù)的連續(xù)性條件。Lebesgue積分非常完美地解決了上述三個(gè)問題，奠定了現(xiàn)代分析學(xué)的基礎(chǔ)，并為物理學(xué)、偏微分方程等學(xué)科的發(fā)展鋪好了基石。

本文首先從整體上敘述清楚實(shí)變函數(shù)的主要內(nèi)容、主要思想以及它的主要意義，這對(duì)學(xué)生了解和學(xué)習(xí)這門課程是非常有幫助的。其次，在教學(xué)方式和方法上，我們闡述一些合理有效的教學(xué)方式，并且提出完整完善的教學(xué)方法，以此提高課堂的教學(xué)效率以及學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。最后，我們對(duì)這門課程的考查方式提出一些建議和創(chuàng)新。

二、實(shí)變函數(shù)的主要內(nèi)容

基本的實(shí)變函數(shù)內(nèi)容主要有三部分，分別是集合論、測(cè)度論以及Lebesgue積分論。這三者是環(huán)環(huán)相扣、相互聯(lián)系的，而并非是相關(guān)獨(dú)立的三個(gè)部分。

實(shí)變函數(shù)的核心內(nèi)容是Lebesgue積分論，而它恰是數(shù)學(xué)分析中Riemann積分的推廣。兩者都蘊(yùn)含著積分的思想，只是出發(fā)點(diǎn)不同。一個(gè)是對(duì)定義域進(jìn)行分割取極限（Riemann積分），一個(gè)是對(duì)值域分割取極限（Lebesgue積分）。Lebesgue本人用比較通俗、生動(dòng)的語言闡述了他所創(chuàng)立的積分與Riemann積分的區(qū)別，Lebesgue這樣描述他的積分：“我需要付一筆錢給別人，有兩張付款方式。第一種是從口袋里隨機(jī)的一張一張地掏出來，直到籌夠了總的款項(xiàng)，這就是黎曼積分。第二種是把口袋里的錢按照幣值的大小做一個(gè)分類，再按照幣值大小付錢直到籌夠總的款項(xiàng)，這就是我的積分”。明白上述這段話對(duì)理解Lebesgue積分是非常有幫助的。

Lebesgue積分可以說是現(xiàn)代分析學(xué)與古典分析學(xué)的分水嶺。既然是對(duì)值域進(jìn)行分割，就必要涉及到求對(duì)應(yīng)定義域（一般點(diǎn)集）的“長(zhǎng)度”問題，而這就是測(cè)度論的內(nèi)容，即測(cè)度本質(zhì)上是長(zhǎng)度，面積或者體積的推廣。這種推廣是具有劃時(shí)代意義的。測(cè)度論不僅僅應(yīng)用于實(shí)變函數(shù)這門學(xué)科，在其他很多領(lǐng)域都發(fā)揮著重要的作用，如偏微分方程、調(diào)和分析等，與此同時(shí)，作為研究對(duì)象，點(diǎn)集的概念和性質(zhì)便應(yīng)運(yùn)而生，因此第一章講集合論便順理成章。事實(shí)上，從歷史的發(fā)展角度上看，是德國(guó)數(shù)學(xué)家Cantor首先發(fā)展了集合論，進(jìn)而才有了Lebesgue積分論。對(duì)學(xué)生而言，集合論是一個(gè)高度抽象的事物，很難理解和掌握，這其實(shí)是一種正常的表現(xiàn)。在Cantor本人研究發(fā)展集合論的時(shí)代也是遭到了很多當(dāng)代數(shù)學(xué)家的反對(duì)，包括他的導(dǎo)師克羅內(nèi)克，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊等。這在課堂上可以給學(xué)生講授，不讓他們失去學(xué)習(xí)的信心。

三、實(shí)變函數(shù)的教學(xué)方式

實(shí)變函數(shù)課程的內(nèi)容大多是定理的推導(dǎo)和證明，單一的授課方式會(huì)讓學(xué)生覺得枯燥無聊，甚至?xí)a(chǎn)生厭惡感。為此，針對(duì)本門課程的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為可以靈活地選擇如下的授課形式：

1.著重把握實(shí)變函數(shù)的整體框架，尤其是第一節(jié)課，應(yīng)向?qū)W生闡明本課程的歷史現(xiàn)狀與已學(xué)過的課程，如數(shù)學(xué)分析之間的區(qū)別和聯(lián)系，特別地，講述Lebesgue積分和Riemann積分的區(qū)別是重點(diǎn)。這樣做會(huì)讓學(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)課程有個(gè)直觀、整體上的把握，不至于迷失于細(xì)節(jié)的證明推導(dǎo)過程中。

2.在具體內(nèi)容的講述中，穿插一些名人軼事，一方面讓學(xué)生了解實(shí)變函數(shù)課程的發(fā)展歷史，同時(shí)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如在講集合論時(shí)，可以講述一下Cantor本人的遭遇；在講測(cè)度論時(shí)講述不同數(shù)學(xué)家提出的不同測(cè)度并比較其優(yōu)缺點(diǎn)，以便學(xué)生更加清楚Lebesgue測(cè)度的重要性。

3.要去粗存精。由于課時(shí)較少，實(shí)變函數(shù)課程很難完全系統(tǒng)地講完，所以有必要省去一些內(nèi)容，同時(shí)花大力氣講述重要的、經(jīng)典的內(nèi)容。具體的，可以適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)短關(guān)于集合論的內(nèi)容，多把時(shí)間花在Lebesgue積分論上。

4.采取板書和PPT相結(jié)合的方式。如果只是板書，學(xué)生學(xué)起來會(huì)比較枯燥，如果在一些內(nèi)容上采用PPT教學(xué)，則會(huì)相得益彰。特別是在講Cantor集的時(shí)候，可以放一些關(guān)于分形的圖片和動(dòng)畫，讓學(xué)生了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些概念并體會(huì)數(shù)學(xué)的美。

四、實(shí)變函數(shù)的考查方式

從教學(xué)考核上看，應(yīng)該增設(shè)期中考試。其中考試能夠很好地檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)程度，從而有效調(diào)整講課的方式和速度，提高學(xué)習(xí)效率。同時(shí)，也讓學(xué)生不至于期末考試的時(shí)候一團(tuán)糟，茫然不知所措。另外，結(jié)合國(guó)外教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，口試環(huán)節(jié)可以比較清楚了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，有時(shí)比簡(jiǎn)單的筆試效果更佳。所以嘗試口試與筆試相結(jié)合的方式是可取的。

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