陳一梅

【摘 要】APOS理論是由美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基等人提出的一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。該理論展現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念形成過程需經(jīng)過四個(gè)階段：活動(dòng)（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Scheme）?；贏POS理論的指導(dǎo)下，以“等差數(shù)列”的概念教學(xué)為例來探究APOS理論在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，并進(jìn)行思考。

【關(guān)鍵詞】APOS理論；高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；等差數(shù)列

1.引言

APOS理論模型是在美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基等人共同努力下創(chuàng)立的一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論模型，該理論模型強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)，提出數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程是一種自身的心理構(gòu)造且必經(jīng)思維的活動(dòng)（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Scheme）四個(gè)階段。概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)中的瓶頸，又是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，主張概念是不可直接學(xué)習(xí)。在傳統(tǒng)模式下的概念教學(xué)中，教師一以貫之的盛行做法是：一個(gè)概念→幾點(diǎn)注意→例題講解→海量刷題，讓學(xué)生在概念教學(xué)時(shí)“吃快餐”，且在對(duì)概念的認(rèn)識(shí)還處于蒙昧無知的情形下就把學(xué)生當(dāng)成解題的奴隸，以此來加深學(xué)生對(duì)概念的記憶與理解。然而，該做法常常欲速不達(dá)，最終學(xué)生還是對(duì)概念一知半解。因此，探索高效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法已是大勢所趨，同時(shí)是高中數(shù)學(xué)教師的急切需求。本文基于APOS理論下，以“等差數(shù)列”的概念教學(xué)為例探究高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，以期拋磚引玉。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1教材分析

等差數(shù)列的概念是人教版A版必修五第二章第二節(jié)的內(nèi)容。首先，等差數(shù)列是一種特殊的數(shù)列，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。然而學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)習(xí)得一次函數(shù)概念和數(shù)列基本知識(shí)。并且在必修二的學(xué)習(xí)中學(xué)生已獲悉直線的方程是二元一次方程，如果任取直線上不同的兩點(diǎn)（x■，y■），（x■，y■），可得直線斜率k=■（x■≠x■）。在等差數(shù)列中任取不同的兩項(xiàng)a■與a■（m≠n，且m，n∈N■），得等差數(shù)列的公差d=■，可知等差數(shù)列的公差求法與直線斜率求法相似；其次，教材起初由實(shí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)生切實(shí)感受生活中的數(shù)學(xué)價(jià)值。緊隨其后的是“觀察”和“思考”欄目，旨在給予學(xué)生自主探究、學(xué)習(xí)的空間，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力。通過等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí)可為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念和數(shù)列極限夯實(shí)基礎(chǔ)；最后，教材有意編排諸多等差數(shù)列的實(shí)例，力促讓學(xué)生由實(shí)際生活出發(fā)構(gòu)建等差數(shù)列的模型，運(yùn)用等差數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際生活當(dāng)中的簡單問題，在此過程中促進(jìn)學(xué)生牢固掌握和深入理解等差數(shù)列的概念。

2.2教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解等差數(shù)列的概念、公差、等差中項(xiàng)，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決實(shí)際生活中的簡單問題。

過程與方法：通過對(duì)等差數(shù)列概念的歸納概括且經(jīng)歷通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、推理、分析能力，滲透歸納與化歸思想。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過從實(shí)際生活的例子出發(fā)，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值，提高學(xué)生的自主探索能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)探究習(xí)慣。

2.3教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)與靈活應(yīng)用。

2.4基于APOS理論下的教學(xué)過程

（1）活動(dòng)（Action）階段——情境引入，激發(fā)興趣

APOS理論的活動(dòng)階段，目的在于讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)活動(dòng)過程，構(gòu)建概念框架。概念教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上一節(jié)課所學(xué)的數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、遞推公式，隨后導(dǎo)入情境，激發(fā)興趣，引發(fā)學(xué)生自主探索思考。

情境1：在日歷中任意框選n×n的n■個(gè)數(shù)字，如圖1所示，并橫看，豎看，斜看，觀察框選的數(shù)字，歸納總結(jié)這些數(shù)字的特點(diǎn)。

情境2：一長方形桌子剛好坐下6人，現(xiàn)將桌子按圖2所示拼在一起，試計(jì)算第n張可坐幾人？

情境3：玩“數(shù)字接龍”游戲，具體為教師提供一個(gè)數(shù)字，例如數(shù)字3，學(xué)生從該數(shù)字說起，但每逢這個(gè)數(shù)的倍數(shù)要用拍掌代替。

情境1旨在通過生活事物（日歷），引發(fā)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律；情境2讓學(xué)生自主探索規(guī)律，并利用規(guī)律計(jì)算所求；情景3由游戲活動(dòng)出發(fā)，促使學(xué)生在玩中意識(shí)到游戲特征（每隔3位同學(xué)就要拍掌）?？傊瑢W(xué)生通過情境活動(dòng)環(huán)節(jié)的體驗(yàn)，可深入了解等差數(shù)列特點(diǎn)，為概念的形成做好鋪墊。

（2）過程（Process）階段——探索規(guī)律，形成概念

APOS理論的過程階段，目的在于讓學(xué)生自主探索規(guī)律，并進(jìn)行概括總結(jié)，形成概念。概念教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上3例情景進(jìn)行探究歸納，概括共同特征，最后總結(jié)且表述概念。教師要強(qiáng)調(diào)概念中“從第2項(xiàng)起”“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”“同一常數(shù)”字眼，并舉反例說明，加深學(xué)生印象，促使學(xué)生深入理解概念。對(duì)于等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，教師提示學(xué)生從等差數(shù)列的定義入手，由學(xué)生自主嘗試證明。最終教師巡視學(xué)生的證明情況，給予輔助，選取學(xué)生中典型證明方法并在班級(jí)上展現(xiàn)出來。

學(xué)生1（累加法）：

∵{a■}是等差數(shù)列

∴a■-a■=d，a■-a■=d，a■-a■=d…a■-a■=d

對(duì)上面各式等號(hào)兩邊進(jìn)行相加，得結(jié)果a■-a■=（n-1）d，則a■=a■+（n-1）d。

（下轉(zhuǎn)第7頁）（上接第5頁）

學(xué)生1（迭代法）：

∵{a■}是等差數(shù)列

∴a■=a■+d=a■+d+d=a■+2d=a■+d+2d=a■+3d=…=a■+（n-1）d，

∴a■=a■+（n-1）d

……

由此可知，已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a■與公差d，則可求其通項(xiàng)公式。

（3）對(duì)象（Object）階段——概念鞏固，內(nèi)化提升

APOS理論的對(duì)象階段，是對(duì)概念進(jìn)行“加工”，促使能夠深入理解概念本質(zhì)。概念教學(xué)中可選取典型習(xí)題，讓學(xué)生通過習(xí)題演練，鞏固概念并內(nèi)化概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例1：{a■}為等差數(shù)列，下列數(shù)列還是等差數(shù)列的是__

A.{a■+3} B.{a■■} C.{a■-a■} D.{2a■} E.{2a■+n}

本題考察學(xué)生對(duì)等差數(shù)列概念的理解，解題的關(guān)鍵在于判斷變形后的數(shù)列是否還為含有n的一次函數(shù)或常數(shù)列，故答案為A、C、D、E。

例2：兩等差數(shù)列a，x■，x■，b和a，y■，y■，y■，b，其中a≠b，公差分別為d■和d■，則■為____。

本題考察學(xué)生對(duì)公差的理解與應(yīng)用能力，解題的突破口要抓住兩數(shù)列都含有a，b，所以把d■和d■都用含a，b的式子表示出來，算出■=■（d■=■，d■=■）。

例3：數(shù)列{a■}和{b■}都為等差數(shù)列，其中a■為25，b■為75，a■+b■為100，則數(shù)列{a■+b■}的第10000項(xiàng)是__。

本題重在考察學(xué)生的觀察與知識(shí)綜合運(yùn)用能力，首先要意識(shí)到數(shù)列{a■+b■}仍為等差數(shù)列，且a■+b■=100，a■+b■=100，得知數(shù)列是常數(shù)列，則a■+b■=100。

（4）圖式（Scheme）階段——?dú)w納總結(jié)，構(gòu)建圖式

APOS理論的圖式階段，是對(duì)四個(gè)階段的概括整合，圖式的構(gòu)建有助于完善概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)。概念教學(xué)中教師可以以提問方式，讓學(xué)生在解決問題中歸納總結(jié)。

提問1：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列有哪幾種方法？

[歸納總結(jié)]①定義法：a■-a■=d（常數(shù)），其中n≥2且n∈N■；②等差中項(xiàng)法：2a■=a■+a■，其中n≥2且n∈N■。

提問2：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是否還可以變形？

[歸納總結(jié)]任取m，k∈N■，由等差數(shù)列{a■}，得a■=a■+（m-1）d，a■=a■+（k-1）d，兩式等號(hào)兩邊相減，可得a■-a■=（m-k）d，則a■=a■+（m-k）d。

提問3：等差數(shù)列與一次函數(shù)有何異同點(diǎn)？

[歸納總結(jié)]等差數(shù)列{a■}中，a■=a■+（n-1）d，變形得a■=nd+（a■-d），n∈N■。當(dāng)d=0時(shí)，a■=a■，數(shù)列{a■}是常數(shù)列，即是常函數(shù)；當(dāng)d≠0時(shí)，a■是關(guān)于n的一次函數(shù)，圖象為一列孤立點(diǎn)，即為直線y=dx+（a■-d）的橫坐標(biāo)是正整數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合。而一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），其圖象是一條連續(xù)的直線。觀察圖象可得，等差數(shù)列{a■}的公差d就是直線y=dx+（a■-d）的斜率，于是d=■，即為斜率公式。

3.教學(xué)反思

APOS理論下的概念教學(xué)必需經(jīng)歷活動(dòng)（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Scheme）四個(gè)階段，缺一不可。該四個(gè)階段不是在一節(jié)課或每一課都要體現(xiàn)出來，是要經(jīng)過一定時(shí)間的“洗禮”，讓數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的頭腦中進(jìn)行“沉淀”：經(jīng)歷一些探究等活動(dòng)，逐漸由“過程”過渡到“對(duì)象”的理解，后再由“對(duì)象”鍛造“圖式”的構(gòu)成。這樣環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)，促進(jìn)概念的形成。另外，在教學(xué)過程中教師要充分考慮概念的不同特點(diǎn)、學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，再科學(xué)合理地針對(duì)每一階段進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。課堂上在四個(gè)階段中應(yīng)該大力挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛能，激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，最大化地發(fā)揮出APOS理論的作用，促進(jìn)概念教學(xué)的效果達(dá)到最佳。

【參考文獻(xiàn)】

[1]角碧波，張湘君.基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以“直線的傾斜角與斜率”的概念教學(xué)為例[J].新課程教學(xué)（電子版），2015（02）：7-10

[2] 王靜，段有強(qiáng).APOS理論指導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以“二次函數(shù)”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（14）：7-9