周平

【摘要】行列式是高等代數(shù)學(xué)習(xí)的一個重點內(nèi)容，而抽象行列式的計算是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大重難點.本文基于行列式和方陣的一些性質(zhì)，介紹計算抽象行列式的幾種方法.這些方法對學(xué)生掌握抽象行列式的計算與方陣的相關(guān)知識具有指導(dǎo)作用.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；抽象行列式；伴隨矩陣；特征根

【基金項目】四川省高校科研項目（17ZB0464）；重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院自然科學(xué)重點項目（KY2017003）.

一、引言

行列式是高等代數(shù)課程中的一個重點內(nèi)容.同時，行列式在計算機、物理和工程技術(shù)中也扮演著重要的角色.因此，行列式的計算是理工科學(xué)生必學(xué)的一個知識.行列式有：數(shù)字行列式、字母行列式、抽象行列式.對于數(shù)字行列式和字母行列式的計算方法很多，比如，遞推法、拆項法、加邊法等[1-4].但對于抽象行列式的計算鮮有文獻進行研究.本文主要利用行列式與方陣的性質(zhì)，介紹幾種計算抽象行列式的方法.

二、理論基礎(chǔ)

定義1設(shè)矩陣A∈Cn×n，若對λ0∈C，存在非零向量α∈Cn，使

Aα=λ0α，

則稱λ0是A的一個特征值，非零向量α稱為矩陣A的屬于特征值λ0的一個特征向量.

性質(zhì)1設(shè)A是n階方陣，A是A的伴隨矩陣，則

AA=AA=|A|E，|A|=|A|n-1（n≥2）.

性質(zhì)2設(shè)A是n階方陣，使A的特征多項式|λE-A|=0的λ稱為A的特征值.

性質(zhì)3設(shè)f（x）=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0∈C[x]，A∈Cn×n，若λ0是A的特征值，則f（λ0）是矩陣多項式f（A）的特征值.

性質(zhì)4若A∈Cn×n，則A的特征多項式|λE-A|的各根之積等于|A|.

性質(zhì)5設(shè)A，B是n階方陣，若A與B相似，則|λE-A|=|λE-B|，從而|A|=|B|.

三、計算方法

主要利用上述5個性質(zhì)去計算一些抽象的行列式，這對學(xué)生的初期學(xué)習(xí)以及考研和參加全國數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生具有一定的指導(dǎo)作用.

（一）伴隨矩陣法

主要采用方陣A與伴隨矩陣A的關(guān)系，即性質(zhì)1求行列式.

例1設(shè)A是一個三階方陣，已知A+E，A+2E，A+3E都不可逆，試計算12A.

解因為A+E，A+2E，A+3E都不可逆，所以|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0.從而，A的全部特征值是-1，-2，-3.于是，有|A|=（-1）×（-2）×（-3）=-6.

又A是一個三階方陣，根據(jù)性質(zhì)1，有

12A=12A3-1=12A2=1232|A|2

=126×（-6）2=916.

此類問題主要應(yīng)用方陣A與伴隨矩陣A的關(guān)系，同時也注意，遇到題中有方陣A也有伴隨矩陣A時，一般會應(yīng)用這兩者的關(guān)系解題.

（二）相似關(guān)系法

本節(jié)主要考慮例2，在本小節(jié)中，本文介紹三種方法求解例2的抽象矩陣.

例2設(shè)四階方陣A與B相似，且A的特征值為12，13，14，15，求行列式|B-1-E|.

1.矩陣相似法

利用性質(zhì)5，要求|B-1-E|，只需找出與B-1-E相似的矩陣即可，當然這個矩陣如果是對角矩陣就好了.因此，目的是去找B-1-E與一個對角矩陣相似.

解由題設(shè)A與B相似，根據(jù)性質(zhì)5可知，A與B的特征值相同.于是，B的特征值是12，13，14，15.說明B可逆，且B-1的特征值是2，3，4，5.

由于四階方陣B-1有4個不同特征值，所以，B-1相似于對角矩陣D，

D=2345 .

即存在四階可逆矩陣X，使B-1=X-1DX.

于是，有

B-1-E=X-1DX-E=X-1（D-E）X.

從而，B-1-E與D-E相似.

故，

|B-1-E|=|D-E|

=2345-1111

=1234=24.

2.特征值定義法

要求|B-1-E|，由于B-1-E為四階方陣，故只需找出B-1-E的四個特征值即可.可根據(jù)矩陣特征值的定義去找.

解已知A與B相似，由性質(zhì)5，有A與B的特征值相同.于是，B的特征值是12，13，14，15.說明B可逆，且B-1的特征值是2，3，4，5.

由于B-1為四階方陣，則B-1有且僅有4個特征值.因此，2，3，4，5是B-1的全部特征值.設(shè)λ0是B-1的特征值，α是屬于λ0的特征向量，則B-1α=λ0α.

于是，有

（B-1-E）α=B-1α-Eα=λ0α-α=（λ0-1）α.

即λ0-1是B-1-E的特征值.從而，B-1-E的特征值是1，2，3，4.

故，|B-1-E|=1×2×3×4=24.

3.特征值的性質(zhì)（矩陣多項式）法

要求|B-1-E|，由于B-1-E為四階方陣，故只需找出B-1-E的四個特征值即可.可根據(jù)特征值關(guān)于特征多項式的性質(zhì)去找，即利用性質(zhì)3.

解由題設(shè)A與B相似，則A與B有相同的特征值.于是，B的特征值是12，13，14，15.從而B-1的特征值是2，3，4，5.

由于B-1為四階方陣，則B-1有且只有4個特征值.因此，2，3，4，5是B-1的全部特征值.

又，關(guān)于B-1的矩陣多項式B-1-E對應(yīng)的多項式為f（x）=x-1.由性質(zhì)3，有B-1-E的全部特征值為f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，f（5）=4.

故，|B-1-E|=1×2×3×4=24.

對于抽象行列式的計算，不僅是學(xué)生初學(xué)時的一個難點，也是學(xué)生參加考研時需要注意的一個重難點.抽象行列式的計算涉及的知識多且廣，需要學(xué)生對相關(guān)知識有一定的熟悉，學(xué)會從已知條件中尋找關(guān)鍵的信息.

四、總結(jié)

抽象行列式的計算是學(xué)生學(xué)習(xí)時的一個難點，由于題目給的已知條件有限，也無法得知矩陣的每個元素，因此，需要學(xué)生掌握行列式與方陣的相關(guān)性質(zhì)和聯(lián)系.對于抽象行列式的計算方法與技巧還有很多，比如，利用方陣的跡、特征多項式、若爾當標準型等.本文主要介紹了計算抽象行列式的幾種方法，對于學(xué)生掌握方陣相似、方陣特征值、行列式的性質(zhì)等知識有很大的幫助，不僅提高了他們的學(xué)習(xí)興趣，也改善了教學(xué)效果.

【參考文獻】

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[4]段煉，方賢文.線性代數(shù)教學(xué)中高階行列式若干計算方法探究[J].教育教學(xué)論壇，2017（36）：195-196.