郭培昌

【摘要】問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法是一個(gè)強(qiáng)調(diào)啟發(fā)性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)方法.本文以數(shù)學(xué)課程教學(xué)中兩個(gè)案例說明該教學(xué)法的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)；高等代數(shù)；數(shù)值分析；教學(xué)方法

【基金項(xiàng)目】中國地質(zhì)大學(xué)（北京）中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目（2652017140）.

問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，是一種以學(xué)生為主體，以專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的一些特定問題作為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，順應(yīng)問題本身發(fā)展的邏輯線，合理地圍繞問題擴(kuò)展學(xué)習(xí)內(nèi)容的一種教學(xué)方法[1].教師在這種教學(xué)模式中的角色是問題的提出者、過程的設(shè)計(jì)者和結(jié)果的評價(jià)者.這種教學(xué)方法使得任課教師更好地把科研和教學(xué)結(jié)合在一起，強(qiáng)調(diào)啟發(fā)性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，重視學(xué)生能力的培養(yǎng).

在歷史上，數(shù)學(xué)學(xué)科的經(jīng)典內(nèi)容是在其內(nèi)部動(dòng)力和外部動(dòng)力的共同推動(dòng)下發(fā)展起來的.所謂內(nèi)部動(dòng)力，就是從數(shù)學(xué)自身規(guī)律出發(fā)，在邏輯上提出的純數(shù)學(xué)問題.而外部動(dòng)力是指將實(shí)際應(yīng)用中的需求經(jīng)過抽象化、模型化的數(shù)學(xué)問題.所以其內(nèi)容的展開本身就有著極強(qiáng)的邏輯性.圍繞一些合適的問題，就能將整個(gè)課程的主要內(nèi)容自然順暢地串聯(lián)起來.因此，問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中大有可為.

另一方面，對于高等學(xué)校教師來說，研究和教學(xué)是互相聯(lián)系的一個(gè)有機(jī)整體.科研是教學(xué)的源頭活水，如果沒有科研做支撐，大學(xué)課堂教學(xué)就會(huì)失去靈魂.已故的著名科學(xué)家和教育家錢偉長曾指出，“沒有科研做底蘊(yùn)的教學(xué)，就是一種沒有觀點(diǎn)的教育”.在專業(yè)領(lǐng)域具有較高科研水平的教師，必然對相關(guān)課程的教學(xué)內(nèi)容有更為深刻透徹的思考，對課程知識有更為準(zhǔn)確的把握，在教學(xué)中更易做到“深入淺出”，幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)與理解.此外，教師能夠及時(shí)將最前沿的學(xué)術(shù)成果不斷充實(shí)補(bǔ)充到自己的課堂中，彌補(bǔ)原有的較陳舊的課程知識與最新前沿研究之間的“斷層”，這將極大地吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在每年的國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目申報(bào)中，對于應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)項(xiàng)目的資助，基金委越來越鼓勵(lì)和支持問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)研究.進(jìn)入21世紀(jì)以來，伴隨著我們國家從“數(shù)學(xué)大國”到“數(shù)學(xué)強(qiáng)國”的轉(zhuǎn)變過程，基金委越來越重視更具實(shí)際背景和應(yīng)用前景的基礎(chǔ)理論和新方法研究.國家到地方的各級研究項(xiàng)目主管部門，鼓勵(lì)面向?qū)嶋H問題的數(shù)學(xué)建模、分析與計(jì)算等的應(yīng)用研究.為了加強(qiáng)對實(shí)際問題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的支持，科學(xué)部以宏觀調(diào)控方式給予傾斜資助，旨在為數(shù)學(xué)工作者構(gòu)建一個(gè)平臺，鼓勵(lì)、促進(jìn)并資助他們與應(yīng)用研究人員緊密合作，從事與其他領(lǐng)域密切結(jié)合的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)對科技發(fā)展、經(jīng)濟(jì)建設(shè)及社會(huì)進(jìn)步的重要作用.

因此，問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)是一種順應(yīng)學(xué)科發(fā)展趨勢的教學(xué)方法.此外，問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法的另一個(gè)優(yōu)勢是，在學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)課程時(shí)，更容易讓學(xué)生了解與把握該課程的基本思想，掌握最核心、最有用、最生動(dòng)的部分.

眾所周知，抽象難懂是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)顯著特點(diǎn).在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程時(shí)，學(xué)生可以體會(huì)到抽象的優(yōu)勢，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，以及如何用數(shù)學(xué)的思維方式準(zhǔn)確、科學(xué)地理解數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并將這種思維方式帶到將來的學(xué)習(xí)和研究工作中去.但是，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類課程的時(shí)候，學(xué)生普遍反映課程難學(xué).正是由于高等代數(shù)抽象的特性以及內(nèi)容與知識體系的豐富性，再加上近年來的課程改革縮減了課時(shí)，使得數(shù)學(xué)學(xué)科課程的教學(xué)面臨一些問題.

在教法與學(xué)法上，對于大學(xué)數(shù)學(xué)特別是數(shù)學(xué)類本科專業(yè)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)理論知識和精確的數(shù)學(xué)思維以及數(shù)學(xué)表達(dá)（包括文字和數(shù)學(xué)表達(dá)式）要求很高.中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，大多不需要知道知識的來龍去脈，只要會(huì)做相應(yīng)的計(jì)算和簡單推理，不講究邏輯性、系統(tǒng)性和嚴(yán)密性.在進(jìn)入高等教育階段后，數(shù)學(xué)專業(yè)課程中所強(qiáng)調(diào)的概念、符號、邏輯以及整個(gè)體系的嚴(yán)密性與學(xué)生們在中學(xué)養(yǎng)成的習(xí)慣產(chǎn)生了激烈的沖突.經(jīng)常在學(xué)習(xí)某個(gè)定理的時(shí)候，有學(xué)生覺得定理結(jié)論是顯然的，發(fā)出“這也需要證明？”的感嘆.這種現(xiàn)象的本質(zhì)原因是數(shù)學(xué)課程所注重的學(xué)習(xí)及表達(dá)方式在中學(xué)沒有源頭.因此，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的初期遇到了極大的障礙，掉隊(duì)現(xiàn)象嚴(yán)重，有一部分學(xué)生最后直接完全放棄.數(shù)學(xué)學(xué)科的眾多分支，他們原始的核心思想與形式是樸素的、自然的，容易被人理解與接受的.只是隨著歷史的發(fā)展，邏輯基礎(chǔ)的加固和各種研究的深化，他們變成了一個(gè)龐然大物，讓初學(xué)者望而生畏.對于初學(xué)者來說，問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)更能吸引學(xué)生的注意力.

我們以線性代數(shù)和數(shù)值分析課程中的兩個(gè)教學(xué)案例來拋磚引玉，說明怎么樣給出問題，簡單演示如何進(jìn)行問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué).

線性代數(shù)處理的是有限維線性空間的理論.如果嚴(yán)格一點(diǎn)，關(guān)于線性空間的理論應(yīng)該叫線性代數(shù)，再加上一點(diǎn)多項(xiàng)式理論，就叫高等代數(shù)了.在線性代數(shù)課中，引入介紹逆矩陣相關(guān)知識時(shí)，我們可以向?qū)W生介紹逆矩陣的實(shí)際用處，提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣和積極性[2].比如，逆矩陣可應(yīng)用于通信中的信息編碼和解碼.編碼是指采用某種算法將明文數(shù)據(jù)加密后轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)發(fā)送出去，而解碼是指采用對應(yīng)的算法將密文解密后轉(zhuǎn)換成明文.矩陣的求逆運(yùn)算正好能很好地解釋這一相反的過程.

在數(shù)值分析課中，在描述插值知識的時(shí)候，我們可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考.函數(shù)是描述自然界客觀規(guī)律的重要工具，實(shí)際應(yīng)用中許多函數(shù)是通過實(shí)驗(yàn)或者觀測得到的，其形式是一張函數(shù)表，作一條曲線，其類型（代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)……）是事先人為給定的，該曲線經(jīng)過所有點(diǎn)，這就是所謂的插值問題[3].通過讓學(xué)生查找資料，分組討論，了解插值法的產(chǎn)生背景，中外數(shù)學(xué)家在此問題上研究的進(jìn)程，這種古老的分析問題數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在哪些課題中？分析關(guān)于多項(xiàng)式插值的理論依據(jù)是什么？通過這些簡單的問題，我們即思考，對于函數(shù)f（x）是否存在這樣的多項(xiàng)式函數(shù)P（x）能精確地逼近它呢？

這種問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式下，教師給出數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用背景，引導(dǎo)學(xué)生自主探究.它有很多顯著的優(yōu)點(diǎn)：

1.通過事先設(shè)定的一系列和課程知識緊密聯(lián)系的問題，任課教師可以直接快速地激發(fā)學(xué)生的求知欲望和主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣.

2.完整展現(xiàn)了問題從提出、推進(jìn)到最后解決的全過程.在這個(gè)過程中，學(xué)生一方面，可以利用一些具體問題了解體會(huì)所學(xué)學(xué)科中科研工作是怎么展開的，另一方面，可以通過尋求問題的解決方案活躍思維并提升自身的創(chuàng)新能力.

3.以問題為中軸線，將很多看似零散的知識點(diǎn)自然地聯(lián)系在一起，形成一個(gè)框架式的知識體系.學(xué)生們不容易遺忘，還能靈活使用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫紹榮.高等教育方法概論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2010.

[2]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[3]李慶揚(yáng)，王超能，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.