以形助陣 巧解高考離心率問題

刁金杰

東莞市電子科技學(xué)校 廣東東莞 523710

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，因此在高考中常以小題的形式出現(xiàn)。這類問題有著濃厚的幾何特征，若能深入挖掘、巧妙利用，往往就能破解玄機(jī)。

例1【08江西理7】已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）

例2【07湖南理 9】設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

【評(píng)析】這是一道較難的選擇題，學(xué)生不易從條件中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，從而確定離心率的取值范圍。關(guān)鍵語句“右準(zhǔn)線上存在P使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2”。嘗試著畫圖，圖像告訴我們，問題可以轉(zhuǎn)化為“以為F2圓心，焦距為半徑畫圓。當(dāng)圓與右準(zhǔn)線有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)P與F1的連線就是圓的一條弦，弦的中垂線必過圓心F2?！痹谏钊胪诰蚱鋷缀翁卣骱螅覀兘议_了本題的神秘面紗，其本質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系問題。所以，只需 。即

【評(píng)析】本題幾何特征比較明顯，作出圖像后我們便可發(fā)現(xiàn)△OAP是等腰直角三角形，

例4【08全國(guó)Ⅰ理21】雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為 ，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于 的直線分別交 于A,B兩點(diǎn)。已知成等差數(shù)列，且同向．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

【評(píng)析】本題條件較多，最好先轉(zhuǎn)化為圖形語言。

于是，離心率的幾何特征便顯現(xiàn)了：

通過以上4例，我們可以看出重視幾何特征對(duì)于解離心率問題常能起到事半功倍的效果。