意義建模：讓數(shù)學(xué)教學(xué)煥發(fā)“?！绷?/h1>
2019-01-15 07:58:48茅婷婷
小學(xué)教學(xué)參考(數(shù)學(xué)) 2019年12期 關(guān)鍵詞：模型建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)
茅婷婷
[摘要]模型建構(gòu)關(guān)鍵在于讓學(xué)生體驗(yàn)建模的過程?！吧钍澜纭笔且饬x建模的牢固根基，“抽象概括”是意義建模的有效提煉，“意義賦予”是意義建模的靈動運(yùn)用。在數(shù)學(xué)意義建模過程中，學(xué)生能觸摸到數(shù)學(xué)的“?！绷εc魔力。通過數(shù)學(xué)建模，教師可以不斷地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);意義建模;模型建構(gòu)
[中圖分類號]
G623.5
[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A
[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0091-02
學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，說到底就是“數(shù)學(xué)化”的過程。所謂“數(shù)學(xué)化”，就是讓學(xué)生經(jīng)歷從生活到數(shù)學(xué)的模型建構(gòu)。模型建構(gòu)，關(guān)鍵在于讓學(xué)生體驗(yàn)建模的過程。模型建構(gòu)有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、創(chuàng)新數(shù)學(xué)知識。意義建模，就是要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光打量生活，用數(shù)學(xué)的大腦考量世界，用數(shù)學(xué)的方式解決問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，意義建模既是一種方法，也是一種思想。
一、生活世界：意義建模的牢固根基
“數(shù)學(xué)化”過程包括“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，就是將學(xué)生從生活世界引向數(shù)學(xué)符號世界。胡塞爾語：“所謂生活世界，就是學(xué)生置身其中的、預(yù)先給予的、活生生的世界?！币虼?，生活世界是學(xué)生意義建模的根基，是意義建模的起點(diǎn)，也是意義建模的歸宿。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要主動鏈接學(xué)生的生活世界，激發(fā)學(xué)生的建模興趣，讓學(xué)生積極、主動地建模。
例如，在教學(xué)“間隔排列”時，教材提供了這樣的生活情境圖：兔子木樁圖、夾子手帕圖、籬笆木樁圖，讓學(xué)生直觀感受間隔排列，建立“兩端物體”和“中間物體”的概念。有了初步的生活化的情境感知，教師還可以讓學(xué)生舉出生活里間隔排列的例子。借助舉例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識間隔排列的特征，即中間物體比兩端物體少1，或兩端物體比中間物體多1。通過生活中的間隔排列事物的列舉，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么兩端物體比中間物體多1，或者為什么中間物體比兩端物體少1 ？從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，將學(xué)生從生活世界導(dǎo)向數(shù)學(xué)世界，促發(fā)學(xué)生感悟：在間隔排列中，兩種事物之間是一一對應(yīng)的關(guān)系。一組組地圈畫，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)，兩端物體和中間物體在前面都是成對出現(xiàn)的，最后多了一個兩端物體，所以兩端物體比中間物體多1。在生活化情境中，學(xué)生根據(jù)生活原型，嘗試對間隔排列現(xiàn)象進(jìn)行描述。通過生活化的表達(dá)，學(xué)生能找到間隔排列的數(shù)學(xué)規(guī)律，領(lǐng)悟到間隔排列的本質(zhì)，形成了“一一對應(yīng)”的思想。這樣的教學(xué)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“周期現(xiàn)象”奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。
小學(xué)數(shù)學(xué)是質(zhì)性數(shù)學(xué)，與學(xué)生的生活世界有著千絲萬縷的聯(lián)系，離開了生活世界的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無疑是無源之水、無本之木。將數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活世界鏈接，學(xué)生的生活世界能自行解蔽、敞亮。在生活世界中，學(xué)生不僅建立了豐富的數(shù)學(xué)知識表象，更激活了數(shù)學(xué)思維。
二、抽象概括：意義建模的有效提煉
如上所述，學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”過程不僅包括“橫向數(shù)學(xué)化”，也包括“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，就是在數(shù)學(xué)的符號世界里進(jìn)行塑模、提煉與概括。數(shù)學(xué)教學(xué)不是解決某個具體問題，而是解決一類問題，是通過一個具有普適性意義的模型解決一類問題。比如“一筆畫”問題解決了著名的“七橋問題”，就彰顯了模型的力量。在數(shù)學(xué)中，模型具有較強(qiáng)的解釋力，是對數(shù)學(xué)問題的抽象化、簡約化、本質(zhì)化的描述。
以小學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的數(shù)量關(guān)系的模型建構(gòu)為例，從眾多的、形式不同的相遇問題中概括出“速度和×相遇時間=路程和”;從眾多的、形式不同的追及問題中概括出“速度差×追及時間=路程差”，進(jìn)而提煉出“速度×?xí)r間=路程”;從眾多買東西的事例中提煉出“單價×數(shù)量=總價”;從眾多的工程問題中提煉出“工效×工時=工作總量”等。當(dāng)我們將這么多數(shù)量關(guān)系概括起來進(jìn)行整體觀照時，不難發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量關(guān)系可以建構(gòu)一個更具普適意義的數(shù)學(xué)模型：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。應(yīng)該說，這樣的數(shù)學(xué)模型超越了個別的數(shù)量關(guān)系，具有更高的統(tǒng)攝性、包容性，是一種更為上位、更具統(tǒng)馭意義的關(guān)系。再比如，從長方形、正方體、圓柱體的體積公式中建構(gòu)具有統(tǒng)一意義和價值的“V=Sh”的直柱體的體積公式模型;從整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的計算法則中提煉出“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”等，也是一種數(shù)學(xué)模型。因此，從根本上說，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是抽象、推理和建模的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的意識。只有將個別化、孤立的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)公式、計算法則等提煉成數(shù)學(xué)模型，才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在統(tǒng)一。
提煉、概括、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，能讓學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。在這個過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感知生活原型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，感受數(shù)學(xué)模型的意義和價值。教師要豐富建模內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生建模的興趣，指導(dǎo)學(xué)生建模的方法，展示學(xué)生的建模過程，只有這樣，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中才能體會到數(shù)學(xué)思想，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。
三、意義賦予：意義建模的靈動運(yùn)用
意義建模只有回歸實(shí)踐才有意義。從數(shù)學(xué)到生活、從理論到實(shí)踐，就是學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予的過程。對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予的過程更能彰顯學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、催生學(xué)生無限的數(shù)學(xué)想象。數(shù)學(xué)教學(xué)從某種意義上看，就是引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”與意義賦予之間來回穿行。
值得注意的是，學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的意義賦予，有時是不成熟的，甚至是錯誤的。教師要呵護(hù)學(xué)生的意義賦予，鼓勵學(xué)生的意義賦予，不能絕對地對學(xué)生的意義賦予進(jìn)行批評指責(zé)，應(yīng)抓住學(xué)生意義賦予的可取之處，調(diào)動學(xué)生的積極性。例如，教學(xué)“用數(shù)對確定位置”后，學(xué)生建立數(shù)對的模型——（x，y）。筆者讓學(xué)生列舉生活中的一些用數(shù)對確定位置的事例。一位學(xué)生用兒童化、故事化的講述方式講述了一則童話故事：小鴨子從家出發(fā)，先向東走了5步，又向西走了7步，小鴨子的位置在哪里？小鴨子向南走了3步，又向北走了8步，小鴨子現(xiàn)在的位置在哪里？學(xué)生的故事讓數(shù)對知識生動了起來。那么，以什么位置作為小鴨子的原始位置呢？學(xué)生經(jīng)過討論，認(rèn)為應(yīng)該以小鴨子最開始所在的位置作為原點(diǎn)。那么，問題又來了，小鴨先向東走了5步，又向西走了7步，也就是說小鴨到了原點(diǎn)的左邊。如果以向右作為正方向的話，那么向左就是負(fù)方向了。這里，將數(shù)軸從正方向拓展延伸到負(fù)方向，讓用數(shù)對確定位置從正數(shù)拓展到負(fù)數(shù)，讓直角坐標(biāo)系由原來的兩個象限拓展到四個象限。學(xué)生故事化的意義賦予，讓小學(xué)的用數(shù)對確定位置與初中的直角坐標(biāo)系的內(nèi)容連接了起來。這不僅讓學(xué)生認(rèn)識到了數(shù)對的本質(zhì)，更活化了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，突破了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸。
當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行意義賦予時，就必須充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、能動性。意義賦予的過程能展現(xiàn)學(xué)生的思維，讓教師把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樣態(tài)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評價。只有當(dāng)學(xué)生能夠進(jìn)行“模型化”思考，具備了“模型化”的數(shù)學(xué)眼光、思考方式時，意義建模才能彰顯應(yīng)有的魅力。
教師要善于發(fā)掘數(shù)學(xué)知識中的模型因子，豐富建模內(nèi)容和形式，啟迪學(xué)生的建模方法，如讓學(xué)生在生活中建模、在有效遷移中建模等等。在學(xué)生建模過程中，教師要適當(dāng)穿插一些模型背景，只有這樣，學(xué)生才能明晰模型的意義，科學(xué)地進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的意義賦予，真正提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
（責(zé)編黃露）
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茅婷婷
[摘要]模型建構(gòu)關(guān)鍵在于讓學(xué)生體驗(yàn)建模的過程?！吧钍澜纭笔且饬x建模的牢固根基，“抽象概括”是意義建模的有效提煉，“意義賦予”是意義建模的靈動運(yùn)用。在數(shù)學(xué)意義建模過程中，學(xué)生能觸摸到數(shù)學(xué)的“?！绷εc魔力。通過數(shù)學(xué)建模，教師可以不斷地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
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學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，說到底就是“數(shù)學(xué)化”的過程。所謂“數(shù)學(xué)化”，就是讓學(xué)生經(jīng)歷從生活到數(shù)學(xué)的模型建構(gòu)。模型建構(gòu)，關(guān)鍵在于讓學(xué)生體驗(yàn)建模的過程。模型建構(gòu)有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、創(chuàng)新數(shù)學(xué)知識。意義建模，就是要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光打量生活，用數(shù)學(xué)的大腦考量世界，用數(shù)學(xué)的方式解決問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，意義建模既是一種方法，也是一種思想。
一、生活世界：意義建模的牢固根基
“數(shù)學(xué)化”過程包括“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，就是將學(xué)生從生活世界引向數(shù)學(xué)符號世界。胡塞爾語：“所謂生活世界，就是學(xué)生置身其中的、預(yù)先給予的、活生生的世界?！币虼?，生活世界是學(xué)生意義建模的根基，是意義建模的起點(diǎn)，也是意義建模的歸宿。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要主動鏈接學(xué)生的生活世界，激發(fā)學(xué)生的建模興趣，讓學(xué)生積極、主動地建模。
例如，在教學(xué)“間隔排列”時，教材提供了這樣的生活情境圖：兔子木樁圖、夾子手帕圖、籬笆木樁圖，讓學(xué)生直觀感受間隔排列，建立“兩端物體”和“中間物體”的概念。有了初步的生活化的情境感知，教師還可以讓學(xué)生舉出生活里間隔排列的例子。借助舉例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識間隔排列的特征，即中間物體比兩端物體少1，或兩端物體比中間物體多1。通過生活中的間隔排列事物的列舉，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么兩端物體比中間物體多1，或者為什么中間物體比兩端物體少1 ？從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，將學(xué)生從生活世界導(dǎo)向數(shù)學(xué)世界，促發(fā)學(xué)生感悟：在間隔排列中，兩種事物之間是一一對應(yīng)的關(guān)系。一組組地圈畫，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)，兩端物體和中間物體在前面都是成對出現(xiàn)的，最后多了一個兩端物體，所以兩端物體比中間物體多1。在生活化情境中，學(xué)生根據(jù)生活原型，嘗試對間隔排列現(xiàn)象進(jìn)行描述。通過生活化的表達(dá)，學(xué)生能找到間隔排列的數(shù)學(xué)規(guī)律，領(lǐng)悟到間隔排列的本質(zhì)，形成了“一一對應(yīng)”的思想。這樣的教學(xué)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“周期現(xiàn)象”奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。
小學(xué)數(shù)學(xué)是質(zhì)性數(shù)學(xué)，與學(xué)生的生活世界有著千絲萬縷的聯(lián)系，離開了生活世界的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無疑是無源之水、無本之木。將數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活世界鏈接，學(xué)生的生活世界能自行解蔽、敞亮。在生活世界中，學(xué)生不僅建立了豐富的數(shù)學(xué)知識表象，更激活了數(shù)學(xué)思維。
二、抽象概括：意義建模的有效提煉
如上所述，學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”過程不僅包括“橫向數(shù)學(xué)化”，也包括“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，就是在數(shù)學(xué)的符號世界里進(jìn)行塑模、提煉與概括。數(shù)學(xué)教學(xué)不是解決某個具體問題，而是解決一類問題，是通過一個具有普適性意義的模型解決一類問題。比如“一筆畫”問題解決了著名的“七橋問題”，就彰顯了模型的力量。在數(shù)學(xué)中，模型具有較強(qiáng)的解釋力，是對數(shù)學(xué)問題的抽象化、簡約化、本質(zhì)化的描述。
以小學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的數(shù)量關(guān)系的模型建構(gòu)為例，從眾多的、形式不同的相遇問題中概括出“速度和×相遇時間=路程和”;從眾多的、形式不同的追及問題中概括出“速度差×追及時間=路程差”，進(jìn)而提煉出“速度×?xí)r間=路程”;從眾多買東西的事例中提煉出“單價×數(shù)量=總價”;從眾多的工程問題中提煉出“工效×工時=工作總量”等。當(dāng)我們將這么多數(shù)量關(guān)系概括起來進(jìn)行整體觀照時，不難發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量關(guān)系可以建構(gòu)一個更具普適意義的數(shù)學(xué)模型：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。應(yīng)該說，這樣的數(shù)學(xué)模型超越了個別的數(shù)量關(guān)系，具有更高的統(tǒng)攝性、包容性，是一種更為上位、更具統(tǒng)馭意義的關(guān)系。再比如，從長方形、正方體、圓柱體的體積公式中建構(gòu)具有統(tǒng)一意義和價值的“V=Sh”的直柱體的體積公式模型;從整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的計算法則中提煉出“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”等，也是一種數(shù)學(xué)模型。因此，從根本上說，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是抽象、推理和建模的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的意識。只有將個別化、孤立的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)公式、計算法則等提煉成數(shù)學(xué)模型，才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在統(tǒng)一。
提煉、概括、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，能讓學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。在這個過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感知生活原型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，感受數(shù)學(xué)模型的意義和價值。教師要豐富建模內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生建模的興趣，指導(dǎo)學(xué)生建模的方法，展示學(xué)生的建模過程，只有這樣，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中才能體會到數(shù)學(xué)思想，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。
三、意義賦予：意義建模的靈動運(yùn)用
意義建模只有回歸實(shí)踐才有意義。從數(shù)學(xué)到生活、從理論到實(shí)踐，就是學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予的過程。對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予的過程更能彰顯學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、催生學(xué)生無限的數(shù)學(xué)想象。數(shù)學(xué)教學(xué)從某種意義上看，就是引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”與意義賦予之間來回穿行。
值得注意的是，學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的意義賦予，有時是不成熟的，甚至是錯誤的。教師要呵護(hù)學(xué)生的意義賦予，鼓勵學(xué)生的意義賦予，不能絕對地對學(xué)生的意義賦予進(jìn)行批評指責(zé)，應(yīng)抓住學(xué)生意義賦予的可取之處，調(diào)動學(xué)生的積極性。例如，教學(xué)“用數(shù)對確定位置”后，學(xué)生建立數(shù)對的模型——（x，y）。筆者讓學(xué)生列舉生活中的一些用數(shù)對確定位置的事例。一位學(xué)生用兒童化、故事化的講述方式講述了一則童話故事：小鴨子從家出發(fā)，先向東走了5步，又向西走了7步，小鴨子的位置在哪里？小鴨子向南走了3步，又向北走了8步，小鴨子現(xiàn)在的位置在哪里？學(xué)生的故事讓數(shù)對知識生動了起來。那么，以什么位置作為小鴨子的原始位置呢？學(xué)生經(jīng)過討論，認(rèn)為應(yīng)該以小鴨子最開始所在的位置作為原點(diǎn)。那么，問題又來了，小鴨先向東走了5步，又向西走了7步，也就是說小鴨到了原點(diǎn)的左邊。如果以向右作為正方向的話，那么向左就是負(fù)方向了。這里，將數(shù)軸從正方向拓展延伸到負(fù)方向，讓用數(shù)對確定位置從正數(shù)拓展到負(fù)數(shù)，讓直角坐標(biāo)系由原來的兩個象限拓展到四個象限。學(xué)生故事化的意義賦予，讓小學(xué)的用數(shù)對確定位置與初中的直角坐標(biāo)系的內(nèi)容連接了起來。這不僅讓學(xué)生認(rèn)識到了數(shù)對的本質(zhì)，更活化了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，突破了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸。
當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行意義賦予時，就必須充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、能動性。意義賦予的過程能展現(xiàn)學(xué)生的思維，讓教師把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樣態(tài)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評價。只有當(dāng)學(xué)生能夠進(jìn)行“模型化”思考，具備了“模型化”的數(shù)學(xué)眼光、思考方式時，意義建模才能彰顯應(yīng)有的魅力。
教師要善于發(fā)掘數(shù)學(xué)知識中的模型因子，豐富建模內(nèi)容和形式，啟迪學(xué)生的建模方法，如讓學(xué)生在生活中建模、在有效遷移中建模等等。在學(xué)生建模過程中，教師要適當(dāng)穿插一些模型背景，只有這樣，學(xué)生才能明晰模型的意義，科學(xué)地進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的意義賦予，真正提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
（責(zé)編黃露）
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