范亞靜

摘 ?要 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是大學(xué)開設(shè)的一門重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，應(yīng)用廣泛。該課程研究的問題與日常生活息息相關(guān)，因而在教學(xué)過程中選取典型案例是激發(fā)學(xué)生興趣的關(guān)鍵。基于案例教學(xué)法，研究如何加強(qiáng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的應(yīng)用性教學(xué)。

關(guān)鍵詞 概率論與數(shù)理統(tǒng)計;案例教學(xué);隨機(jī)現(xiàn)象;教學(xué)改革

中圖分類號：G642.0文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2019）16-0092-03

Research on Teaching Reform of Probability Theory and Mathe-

matical Statistics Course based on Case Teaching Method//FAN Yajing

Abstract Probability Theory and Mathematical Statistics is an impor-

tant basic mathematics course in universities， which has wide appli-cations. The problems in this course are closely related to our daily life. Therefore， the key to stimulate students interest is to select ty-pical cases in the teaching process. The way to strengthen applied teaching of Probability Theory and Mathematical Statistics based on the case teaching method is expounded.

Key words probability theory and mathematical statistic; case tea-ching method; random phenomenon; teaching reform

1 引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一個數(shù)學(xué)分支，人們將其應(yīng)用到很多科技領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及國民經(jīng)濟(jì)許多部門中。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)過程中，會發(fā)現(xiàn)大多數(shù)人側(cè)重于理論教學(xué)而忽視了實(shí)踐的重要性。此外，還有部分人講授理論知識的過程中注重培養(yǎng)學(xué)生掌握運(yùn)算的技巧而輕視了數(shù)學(xué)思想的滲透。這樣就導(dǎo)致很多學(xué)生學(xué)過這門課程之后，只會做題，不懂應(yīng)用，偏離了學(xué)以致用的教學(xué)理念，致使學(xué)生誤認(rèn)為學(xué)習(xí)這門課程沒有用處，大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

為了解決這個問題，在教學(xué)過程中要加強(qiáng)理論與實(shí)踐的結(jié)合，增加具有實(shí)際意義的案例，通過對案例進(jìn)行分析，滲透概率論與數(shù)理統(tǒng)計方面的理論知識，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力以及獨(dú)立思考的能力。

在基礎(chǔ)課教學(xué)過程中一般會遇到以下幾個方面的問題。

1）學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣和積極性，自學(xué)能力較差。由于民族院校生源質(zhì)量參差不齊，學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱，在教學(xué)過程中會遇到各種問題，并且這些問題都比較復(fù)雜，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很難找到解決問題的思路，時常會受到固定思維的影響，對一些隨機(jī)現(xiàn)象做出錯誤理解。這就容易導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程學(xué)習(xí)起來既抽象又枯燥，產(chǎn)生畏懼情緒以及一些心理負(fù)擔(dān)，使得整個學(xué)習(xí)過程處于被動狀態(tài)，從而對學(xué)習(xí)失去興趣和信心。

2）學(xué)生的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力較差。首先，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中還沒有打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，即緊扣教學(xué)大綱、課堂講解、布置作業(yè)，最后期末考試反饋學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞。在整個一個學(xué)期的講授過程中，主要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維以及計算能力，對學(xué)生的創(chuàng)新思維、動手實(shí)踐能力的培養(yǎng)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠[1]。其次，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺的建設(shè)比較落后，只停留在初級階段，未能建立一個完善、全面的教學(xué)資源庫;已有平臺利用率不高，學(xué)生利用其自學(xué)的并不多。

3）教學(xué)課時相對不足，教學(xué)內(nèi)容過剩。在教學(xué)過程中，對上課的學(xué)時、進(jìn)度計劃、教學(xué)大綱做了統(tǒng)一規(guī)定，并且要嚴(yán)格按照大綱內(nèi)容講授，不管其對今后的學(xué)習(xí)和工作是否有用，必須按計劃完成所有教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)課時少但教學(xué)內(nèi)容多的矛盾日益明顯。這種現(xiàn)狀即使教師增加課外輔導(dǎo)課，仍不能緩解課時緊缺的矛盾，教師教得辛苦，學(xué)生學(xué)得困難，然而達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)效果。

針對以上三個方面的問題，亟待對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程實(shí)施教學(xué)改革。

2 案例教學(xué)法的特點(diǎn)和優(yōu)勢

案例教學(xué)法是把實(shí)際問題作為一個案例，通過分析案例，結(jié)合所學(xué)的理論知識與實(shí)際生活問題，讓學(xué)生參與討論，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力[2]。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程與很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程一樣，理論深奧、難懂，題目種類繁多、復(fù)雜多變，學(xué)生很難掌握該門課程的理論知識以及解決問題的思想方法。教師必須采用靈活多樣的教學(xué)方式，想方設(shè)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。案例教學(xué)可以通過對實(shí)際問題進(jìn)行分析、討論、探究，得到一些結(jié)論，進(jìn)而將其抽象出來，總結(jié)出一些概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論知識，這樣可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，使其對所學(xué)知識具有深刻的理解。從教學(xué)法的角度來看，案例教學(xué)法把學(xué)生作為主體，化被動為主動，是以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、動手實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力為目的的一種有效的教學(xué)方法[3]，銜接了概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論知識與實(shí)踐應(yīng)用。

3 采用案例教學(xué)法需要注意的問題

優(yōu)化課程內(nèi)容，突出知識點(diǎn) ?教師在安排教學(xué)內(nèi)容時可以分模塊進(jìn)行，每個模塊涵蓋一些理論知識;并且在每個模塊中選取幾個典型的案例，讓學(xué)生分組討論;每個案例由一組學(xué)生派個代表來講授，其他學(xué)生補(bǔ)充、更正;其他組的學(xué)生提出問題，進(jìn)行分析討論，最后進(jìn)行總結(jié)。在此過程中，教師負(fù)責(zé)糾正錯誤，解答解決不了的問題，并進(jìn)行有針對性的輔導(dǎo)，可以大大提高學(xué)生的自學(xué)能力以及學(xué)習(xí)興趣。在整個過程中，可以將講授的內(nèi)容延伸到第九章“方差與回歸分析”。針對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程前后知識點(diǎn)的銜接與實(shí)際應(yīng)用，教師要明確教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，使學(xué)生更好地掌握關(guān)鍵的知識點(diǎn)，同時在講授過程中對所講內(nèi)容把握得更自如。

選取合適的案例進(jìn)行分析討論 ?數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)方法比較傳統(tǒng)，現(xiàn)在隨著計算機(jī)技術(shù)應(yīng)用得越來越廣泛，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)方法應(yīng)該多樣化。教師在講授過程中除了注重對理論知識的講解外，應(yīng)加強(qiáng)對知識背景的介紹，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。教師應(yīng)搜集與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用案例，并在課堂上適當(dāng)增加案例討論課，讓學(xué)生化被動為主動。通過教師布置任務(wù)，學(xué)生課下進(jìn)行預(yù)習(xí)，課上講解，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，通過課上討論來解決問題。此外，如果遇到學(xué)生很難搞懂的案例，教師在課堂上就重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行講解，可讓學(xué)生提問，其他學(xué)生回答并允許進(jìn)行辯論，最終給出正確作答并指出學(xué)生討論過程中出現(xiàn)的問題，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生容易出現(xiàn)誤區(qū)的地方。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以提高創(chuàng)新思維能力、實(shí)際應(yīng)用能力以及自主學(xué)習(xí)能力。下面簡單介紹幾個實(shí)際案例。

1）講授古典概型時，可設(shè)計分派問題、生日問題、抽簽問題等。對于生日問題，經(jīng)計算可以得到，在有64人的班級里，“至少有兩人生日相同”這個事件幾乎是必然事件，這與學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗相同。并說明計算隨機(jī)事件的概率與樣本空間的選取有關(guān)，而且必須在同一確定的樣本空間中，計算基本事件總數(shù)以及某事件所包含的事件總數(shù)，如果其中一個考慮順序，那么另一個也必須考慮順序，否則結(jié)果不正確。

2）講授貝葉斯公式。如已知自然人患有某種疾病的概率為0.005，據(jù)以往記錄，某種診斷該疾病的試驗具有如下效果：被診斷患有該疾病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為0.95，被診斷不患有該疾病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為0.06。在普查中發(fā)現(xiàn)某人試驗反應(yīng)為陽性，問他確實(shí)患有該疾病的概率是多少？在求解過程中，設(shè)事件B=“試驗反應(yīng)為陽性”，A=“被診斷者患有此疾病”，則A的對立事件為“被診斷者不患有此疾病”。進(jìn)而利用全概率公式可計算試驗反應(yīng)為陽性的概率為0.644 5。再由貝葉斯公式，即可求出所要求的概率為0.073 7。

3）講授泊松分布。如從一大批規(guī)格相同的產(chǎn)品中抽出200個產(chǎn)品，每個產(chǎn)品是次品的概率為0.005。求解這200個產(chǎn)品中最可能的次品數(shù)及概率以及次品數(shù)小于6的概率。利用這個問題，可說明兩點(diǎn)分布、二項式分布、泊松分布之間的關(guān)系：兩點(diǎn)分布說的是在一次試驗中事件A要么發(fā)生、要么不發(fā)生，把這樣的試驗獨(dú)立地進(jìn)行n次，考慮A發(fā)生的次數(shù)所服從的分布即二項分布;那么當(dāng)試驗的次數(shù)很大，而每次A發(fā)生的概率很小時，那么A發(fā)生的次數(shù)近似服從泊松分布，這也就給出判斷一個分布是否服從泊松分布的基本準(zhǔn)則。如在一段時間內(nèi)某電話交換臺收到的電話的呼喚次數(shù)，一本書中一頁的印刷錯誤數(shù)，某地區(qū)一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)，某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)，某地區(qū)一段時間內(nèi)交通事故發(fā)生數(shù)，它們都滿足“試驗的次數(shù)很大，試驗相互獨(dú)立，且每次A發(fā)生的概率很小”這一條件，所以認(rèn)為它們都是近似服從泊松分布的。

由以上說明可知，在實(shí)際中服從泊松分布的隨機(jī)變量是很多的，這體現(xiàn)出泊松分布是一種重要分布。

4）講授離散型隨機(jī)變量及其分布律。如假設(shè)某一汽車開往目的地的路上會經(jīng)過四個信號燈，每組信號燈以0.5的概率允許該車通過。用X表示汽車首次停下時已經(jīng)通過的信號燈數(shù)，這里假設(shè)各組信號燈的工作是相互獨(dú)立的，問X的可能取值有哪些以及它取不同值所對應(yīng)的概率是多少？在回答這個問題時，可以先把這個問題一般化，假設(shè)汽車允許通過每個信號燈的概率是p，那么X的可能取值為0，1，2，3，4，所對應(yīng)的概率分別為：

P（X=k）=（1-p）kp，k=0，1，2，3，P（X=k）=（1-p）4

因此，當(dāng)p=0.5時，即可得到結(jié)論，并且可以通過列表的形式給出答案。這樣便引出分布律的概念以及它的不同的表示方法。

4 結(jié)語

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是本科院校開設(shè)的一門基礎(chǔ)課程。概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究的是隨機(jī)變量，無論是概念的引入、定理的闡釋，還是思想方法的科學(xué)解釋，都帶有很強(qiáng)的實(shí)際背景。因此，學(xué)生要學(xué)習(xí)和理解這些概念、定理以及思想方法并求解教材中的練習(xí)題，必須對實(shí)際問題有一定的認(rèn)識和了解，能將實(shí)際問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，抽象出數(shù)學(xué)知識，并運(yùn)用所學(xué)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識解決實(shí)際問題。通過在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中增加案例分析討論課，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性，培養(yǎng)其興趣，進(jìn)而提高學(xué)生的自主創(chuàng)新能力、分析問題以及解決問題的能力。

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