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      旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球問(wèn)題與等體積法

      2019-03-27 11:43:20衛(wèi)鋒付瑞
      關(guān)鍵詞:旋轉(zhuǎn)體

      衛(wèi)鋒 付瑞

      【摘要】高中階段接觸的簡(jiǎn)單空間幾何體主要包括多面體與旋轉(zhuǎn)體,眾所周知,等體積法V=13Sr是處理多面體內(nèi)切球問(wèn)題的重要方法.而同時(shí),等體積法也可用于處理某些旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題.本文詳細(xì)介紹了圓柱、圓錐這兩種轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題.

      【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)體;內(nèi)切球;等體積法問(wèn)題

      《教學(xué)研究》2015第23期刊登的《探究多面體的體積、表面積及內(nèi)切球半徑之間的關(guān)系》一文已有探討,本文不再贅述.下面本文探討使用等體積法求解一些特殊旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題.

      以圓柱為例,若圓柱存在內(nèi)切球,記其體積、表面積、內(nèi)切球半徑分別為V,S,r.考慮一正n棱柱使該圓柱為其內(nèi)切圓,即此正n棱柱的上下底面所在平面與圓柱的上下底面所在平面重合,此正n棱柱的側(cè)面與圓柱的側(cè)面相切,如圖1所示,容易知道此時(shí)圓柱的內(nèi)切球也正是該正n棱柱的內(nèi)切球.正n棱柱為多面體,故對(duì)該正n棱柱而言,其表面積Sn、體積Vn及內(nèi)切球半徑r滿足Vn=13Snr.當(dāng)n→+∞時(shí),Sn→S,Vn→V,從而V=13Sr成立,故可利用等體積法Vn=13Snr處理圓柱的內(nèi)切球問(wèn)題.

      對(duì)圓錐而言,其體積、表面積、內(nèi)切球半徑分別為V,S,r也符合等體積法V=13Sr.構(gòu)造一正n棱錐使圓錐為其內(nèi)切圓錐,即正n棱錐與圓錐共頂點(diǎn),且圓錐的底面圓為正n棱錐底面正n邊形的內(nèi)切圓,如圖2所示.易知圓錐的內(nèi)切球即為所構(gòu)造正n棱錐的內(nèi)切球.由于正n棱錐的內(nèi)切球問(wèn)題符合等體積法Vn=13Snr,當(dāng)n→+∞時(shí),易知圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題也符合等體積法V=13Sr.

      對(duì)圓臺(tái)而言,構(gòu)造一正n棱臺(tái)使圓臺(tái)為其內(nèi)切圓臺(tái),即正n棱臺(tái)的上下底面所在平面與圓臺(tái)的上下底面所在平面重合,且圓臺(tái)的上、下底面圓為正n棱臺(tái)上、下底面變形的內(nèi)切圓,如圖3所示,利用極限的思想同理可知圓臺(tái)的內(nèi)切球問(wèn)題也符合等體積法V=13Sr.

      以上說(shuō)明了圓柱、圓錐、圓臺(tái)這三種基本的旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題都符合等體積法V=13Sr的結(jié)論,說(shuō)明其成立的方法是利用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近旋轉(zhuǎn)體,體現(xiàn)了極限的思想,這種思路與我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽“割圓術(shù)”探索圓周率有異曲同工之妙,不禁讓人感嘆數(shù)學(xué)之美妙.

      很容易有一個(gè)疑問(wèn),等體積法V=13Sr求內(nèi)切球半徑是否對(duì)所有旋轉(zhuǎn)體都適用呢?如果不是,適用于哪些旋轉(zhuǎn)體呢?這些旋轉(zhuǎn)體有何共同特點(diǎn)?

      圖4

      等體積法V=13Sr求內(nèi)切球半徑并非適用于所有旋轉(zhuǎn)體,例如,球缺的內(nèi)切球,用代數(shù)方法容易驗(yàn)證其不符合等體積法V=13Sr,此處略去不表.對(duì)比圓柱、圓錐、圓臺(tái)等旋轉(zhuǎn)體用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近的思路加以思考,再考慮到球缺上有且僅有其內(nèi)切球的兩個(gè)切點(diǎn),顯然球缺無(wú)法用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近,從而無(wú)法保證等體積法V=13Sr成立.

      最終可得如下結(jié)論:若旋轉(zhuǎn)體有內(nèi)切球,且該旋轉(zhuǎn)體可用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近,則此旋轉(zhuǎn)體表面積S、體積V及內(nèi)切球半徑r滿足等體積法V=13Sr.旋轉(zhuǎn)體可用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近的一個(gè)必要條件是該旋轉(zhuǎn)體上有其內(nèi)切球的無(wú)窮多個(gè)切點(diǎn).

      本文結(jié)論在旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球問(wèn)題中有重要應(yīng)用,例如,《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2004年第6期(總第142期)刊登的《體積與表面積等值的旋轉(zhuǎn)體與內(nèi)切球》一文主要提及四條定理:(1)若旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積等值,則其內(nèi)切球半徑必為3;(2)若旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積等值,則其內(nèi)切球體積與表面積也等值;(3)若旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球的半徑為3,則該旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積等值;(4)若旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球的體積與表面積等值,則該旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積也等值.由本文結(jié)論可知上述四條定理顯然成立.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]沈杰.體積與表面積等值的旋轉(zhuǎn)體與內(nèi)切球[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2004(6):43-44.

      [2]向君.探究多面體的體積、表面積及內(nèi)切球半徑之間的關(guān)系[J].教學(xué)研究,2015(23):24.

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