王曉燕

摘 要：數(shù)學(xué)建模是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑。本文闡述了數(shù)學(xué)建模融入中等數(shù)學(xué)課程的優(yōu)勢，進(jìn)行了相關(guān)的應(yīng)用舉例，還探討了如何在中等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;中等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維

在中等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，我們經(jīng)常讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)的方法去解決一些實(shí)際問題。這些實(shí)際問題可以被轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，這個(gè)轉(zhuǎn)換的過程就被稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模為解決數(shù)學(xué)問題提供了新的思路和方法，在中等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中起到了重要作用。

一 數(shù)學(xué)建模融入中等數(shù)學(xué)課程的優(yōu)勢

（一）提高對問題的分析、解決能力

數(shù)學(xué)建模通過對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行抽象的、具有概括性的思維，對問題當(dāng)中的有效信息進(jìn)行提煉和重組，使學(xué)生可以尋找到解決問題的方法。鍛煉了學(xué)生在抽象思維、綜合分析、理解和組織語言方面的能力。

（二）提高篩選和獲取信息的能力

學(xué)生在尋找解決問題思路的時(shí)候會(huì)利用教輔材料、互聯(lián)網(wǎng)等渠道來獲取信息，在龐大的信息海洋中，如何篩選出符合自己要求的，有價(jià)值的信息，是對學(xué)生篩選和獲取信息能力的又一個(gè)考量。尋找解決問題思路的過程，就是他們再一次理解問題的過程。

（三）提高學(xué)生的合作創(chuàng)新精神

數(shù)學(xué)建模并不是千篇一律的，通過不同的思維方式和入手點(diǎn)，可以表現(xiàn)出不同的形態(tài)，最終變成不一樣的解題方法。學(xué)生在一次次利用數(shù)學(xué)建模思維去解題的過程中，培養(yǎng)了自身的創(chuàng)造性，學(xué)會(huì)了用新的視角看待數(shù)學(xué)問題。同時(shí)在課堂上，不同的數(shù)學(xué)建模思維也會(huì)給學(xué)生帶來新的想法，促使學(xué)生們不斷完善自我、不斷協(xié)調(diào)彼此。不僅鍛煉了學(xué)生的創(chuàng)新思維，而且提升了學(xué)生合作解決問題的能力。

二 數(shù)學(xué)建模在中等數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用舉例

我們以具體的案例來研究數(shù)學(xué)建模思想和方法如何融入中等數(shù)學(xué)。

例題：對于某銀行發(fā)行的理財(cái)產(chǎn)品，有下列三種購買方案，您會(huì)按照哪一種方案進(jìn)行購買？

方案一：自購買之日起單份每年可獲得收益20元;

方案二：購買之日單份可獲得收益5元，往后每一年可比前一年多獲得收益5元;

方案三：購買之日單份可獲得收益0.2元，往后每一年可比前一年多獲得一倍收益。

常規(guī)解題思路：由題可知，投資收益的多少與天數(shù)成正比，所以我們可以建立以投資時(shí)間作為自變量的投資收益模型，對比在某一固定時(shí)間點(diǎn)的投資收益增長情況，尋找問題的解決方法。

解：設(shè)第x年所得收益是x元，則收益可表示為

方案一：y=20（x∈N*），方案二：y=5x（x∈N*），方案三：y=0.2×2x-1x∈N*）

建模分析：我們先計(jì)算出三種方案收益的增長，如表所示：

通過分析三種方案的收益增長情況，我們可以發(fā)現(xiàn)開始幾年方案一的收益最多，從第5年到第8年的時(shí)候方案二的收益較多，當(dāng)時(shí)間來到第9年的時(shí)候，方案三的收益最多。根據(jù)我們所列模型可以清晰地看出，方案一是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，方案二和方案三都是增函數(shù)。函數(shù)的表示方法有列表法、圖像法、解析式法等多種，在解決函數(shù)問題的時(shí)候，我們也可以通過建立函數(shù)數(shù)字模型的方式來展現(xiàn)出一個(gè)更直觀的圖像，通過建立函數(shù)模型，我們可以直接反映出函數(shù)的一些性質(zhì)，把握增長情況。

在這道題中，我們通過設(shè)持有年數(shù)為自變量，建立了三個(gè)不同的函數(shù)圖像，從每年所獲得的收益來看，方案一在前四年的時(shí)候最多，方案二在第五年到第八年的時(shí)候最多，方案三在第九年以后最多。在教學(xué)的時(shí)候，當(dāng)模型構(gòu)建出來之后，我們還要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考后面的細(xì)節(jié)問題。比如模型僅僅體現(xiàn)了每年的收益，我們在考慮理財(cái)收益的時(shí)候，還必須計(jì)算每一年所能得到的累計(jì)收益，以及三種不同投理財(cái)方式的投入成本，計(jì)算出每一種理財(cái)方式的凈收益，才能得出最終結(jié)果。

三 如何在中等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想

（一）加強(qiáng)對數(shù)學(xué)描述的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)描述對于數(shù)學(xué)問題的理解起到至關(guān)重要的作用，要在日常數(shù)學(xué)課程中加強(qiáng)對數(shù)學(xué)描述的訓(xùn)練。專業(yè)性的數(shù)學(xué)描述并不局限于集合、代數(shù)式、函數(shù)關(guān)系、方程式等領(lǐng)域，對于生活當(dāng)中的應(yīng)用案例，也應(yīng)該用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。比如“有兩種轎車可供銷售，售價(jià)分別為3萬元和5萬元。如何證明在正常銷售的過程中可以獲得9萬元或者8萬元以上的任何整數(shù)萬元的收入”。簡化成數(shù)學(xué)知識(shí)為：“如何證明3的倍數(shù)與5的倍數(shù)之和可以是任何不小于8的自然數(shù)”。我們可以再簡化一下，將其變成標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言為：“存在非負(fù)整數(shù)m，n，對任意自然p≥8，都能得到p=3m+5n”。

（二）從傳統(tǒng)模型入手

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模思維和方法的時(shí)候，一開始就構(gòu)建模型顯然難度頗大?？梢詮膫鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型入手，掌握基本模型之后再進(jìn)行創(chuàng)新。比如拋物模型，單色三角形模型，組合優(yōu)化中的中國郵路問題，圖論與幾何拓補(bǔ)中的七橋問題，還有細(xì)菌繁殖模型這種預(yù)測模型問題，都對數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)和構(gòu)建起到良好的指引作用。對于以這些模型為基礎(chǔ)所創(chuàng)作的案例習(xí)題，學(xué)生在大量解讀和理解之后，將會(huì)掌握這些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，訓(xùn)練出基本的模型構(gòu)建思維。

（三）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一種關(guān)于現(xiàn)象特征的表示形式，與數(shù)學(xué)模型類似。數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)離不開對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究，尤其是那些有助于建模的結(jié)構(gòu)，教師應(yīng)將其篩選出來，對學(xué)生進(jìn)行重點(diǎn)教學(xué)。比如圖的結(jié)構(gòu)，方程式的結(jié)構(gòu)、數(shù)表和算法的結(jié)構(gòu)等，這些是學(xué)生在日常數(shù)學(xué)課堂上無法學(xué)到的知識(shí)，因此在數(shù)學(xué)模型講座中需要進(jìn)行講解和普及，讓學(xué)生能夠在此基礎(chǔ)上更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

（四）進(jìn)行創(chuàng)新性思維訓(xùn)練

對數(shù)學(xué)問題的綜合分析和解決問題都離不開創(chuàng)新性的思維，因此通過設(shè)計(jì)創(chuàng)新性思維訓(xùn)練，能夠有效地提升學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)模型的效率。創(chuàng)新思維的試題在歷年來的競賽試題中都存在，比如“在邊長一萬公里的正方形區(qū)域里存在40座城市，現(xiàn)在為其修建總長預(yù)計(jì)十一萬公里的道路，讓其中任意兩座城市都能夠有相連，請為其設(shè)計(jì)出至少一種方案?！睂W(xué)生在進(jìn)行設(shè)計(jì)的過程中，會(huì)不斷嘗試和創(chuàng)建，結(jié)果不唯一，所經(jīng)歷的思維歷程也不一樣，能夠極大地鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新性思維。再比如“如何用一個(gè)半圓形的畫圖工具讓一條過固定點(diǎn)的直線能夠垂直于半圓形工具（可沿著畫圖工具的邊緣畫直線）”。這道題限制了學(xué)生對于線條形狀、位置以及畫圖工具的選擇，要求學(xué)生克服困難給出符合規(guī)定的方案，不僅能夠鍛煉學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生在解決困難時(shí)的良好心態(tài)。而這樣的能力和心態(tài)在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)將會(huì)起到十分重要的作用。

（五）單獨(dú)建模問題訓(xùn)練

教師可以針對學(xué)生的數(shù)學(xué)水平設(shè)計(jì)專門的建模問題，通過這些精心設(shè)計(jì)的建模問題，來讓學(xué)生對建模的方式展開討論研究，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模方法解決數(shù)學(xué)問題的思維。題目訓(xùn)練可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，將建模思路運(yùn)用到其他的類似或者包含建模的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中。

例如“在一張邊長為十厘米的正方形紙板上裁剪出直徑為一厘米的圓形紙板，如何才能剪裁出最多的數(shù)量?！边@是個(gè)看似開放，實(shí)則模型固定的問題，學(xué)生在對比各種不同的剪裁模型的同時(shí)，會(huì)不斷地靠近唯一的那個(gè)最優(yōu)解，并得到答案為106個(gè)。這就是直接用模型問題來訓(xùn)練學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

結(jié)語：

將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入中等數(shù)學(xué)課程中，通過對數(shù)學(xué)描述的訓(xùn)練，對傳統(tǒng)模型、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，對創(chuàng)新性思維的訓(xùn)練，不僅能夠幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的難點(diǎn)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想和方法的教學(xué)時(shí)也要循序漸進(jìn)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立構(gòu)建模型。

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