范艷娟 尹志亮

單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，且有著豐富的應(yīng)用內(nèi)容，是研究函數(shù)的其他性質(zhì)，如有界性、奇偶性、最值問題及不等關(guān)系的有力工具，在集合與函數(shù)一章的復(fù)習(xí)中，我們試圖建立以單調(diào)性為中心的知識網(wǎng)絡(luò)，采用了縱向加深認(rèn)識，橫向聯(lián)系發(fā)展能力的做法，取得了較好的效果.

一、力求準(zhǔn)確理解感念的本質(zhì)

準(zhǔn)確理解定義是自覺應(yīng)用概念的前提，函數(shù)的單調(diào)性可明晰的敘述為：設(shè)區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域的一個(gè)子區(qū)間，對x1，x2∈D.

① 由x1

② 由x1f（x2），則f（x）在D上是減函數(shù).

在理解這個(gè)定義時(shí)，有三點(diǎn)值得我們注意：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相連的概念，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性;（2）單調(diào)性是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替;（3）由于凡定義都是充要性命題，因此f（x）是增（減）函數(shù)，即：f（x1）x2），這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.

在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，特別要注意f（x）的同類單調(diào)性不一定具有“可加性”，即若f（x）在區(qū)間D1，D2上分別是增函數(shù)，但f（x）不一定在區(qū)間D1∪D2上是增函數(shù)，這是學(xué)生容易犯錯(cuò)誤的地方.

例1 討論函數(shù)f（x）=x-1x+1的單調(diào)性.

分析 函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞）.利用單調(diào)性的定義容易證f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，+∞）上也是增函數(shù).于是有些學(xué)生就斷定f（x）在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).這是錯(cuò)誤的.f（-1）

在具體討論一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，如何劃分其的單調(diào)區(qū)間，是學(xué)生常常感到困難的.

例2 討論函數(shù)f（x）=x+1x的單調(diào)性.

分析 很容易得到f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）.先討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性.注意到x>0都有f（x）=f1x，因此f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù).但x→1x是區(qū)間（0，1]到[1，+∞）上的一一對應(yīng)，因此我們可分別考慮f（x）在（0，1]和[1，+∞）上的單調(diào)性.任取 x10.這說明f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù).

又f（x）是奇函數(shù)，因此f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性與f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性相同，于是f（x）在[-1，0）上是減函數(shù)，在（-∞，-1]上是增函數(shù).

因f（x）在（-∞，0）上小于零，所以f（x）在區(qū)間[-1，0）∪（0，1]上是減函數(shù)在（-∞，-1）∪（1，+∞）上是增函數(shù).

二、聯(lián)系相關(guān)概念擴(kuò)充認(rèn)知內(nèi)涵

關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、周期性一一對應(yīng)等有如下幾條明顯的結(jié)論：

1.偶函數(shù)一定是非單調(diào)函數(shù).

2.周期函數(shù)一定是非單調(diào)函數(shù).

3.單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù).

4.奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)具有相同的單調(diào)性.

5.偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)具有相反的單調(diào)性.

這些明顯的結(jié)論應(yīng)該告訴學(xué)生，并讓他們說明理由.這樣，通過聯(lián)系相關(guān)概念發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)涵，可深化學(xué)生對單調(diào)性的認(rèn)知.

例3 已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)且f（x）<0.試求F（x）=1f（x）在（-∞，0）內(nèi)的單調(diào)性.

分析 因奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)有相同的單調(diào)性，所以f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù).又在（0，+∞）上f（x）<0，因此在（-∞，0）上f（x）>0，這樣F（x）=1f（x）在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)（證略）.

三、把單調(diào)性作為一種工具

作為函數(shù)思想的一種具體運(yùn)用，可把單調(diào)性作為一種工具運(yùn)用于解題.

（一）運(yùn)用單調(diào)性解不等式

例4 若0（a2-a-2）x2-6.

解 當(dāng)a2-a-2>1即a<1-132或a>1+132時(shí)，由底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)得不等式等價(jià)于x>x2-6，解得-2

當(dāng)03或x<2.

（二）運(yùn)用單調(diào)性求最值

例5 設(shè)f（x）=ax+1-xa（其中a>0），記f（x）在0≤x≤1的最小值為g（a），求g（a）的最大值.

解 f（x）=a-1ax+1a是關(guān)于x的一次函數(shù).

當(dāng)a-1a<0即0

當(dāng)a-1a>0即a>1時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，f（x）的在x=0時(shí)取得最小值f（1）=1a.

當(dāng)a-1a=0即a=1時(shí)，f（x）=1是常函數(shù)，

故g（a）=1a（a>1），1（a=1），a（0

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，上面關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的復(fù)習(xí)教學(xué)，既挖掘了對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識，又展現(xiàn)了函數(shù)思想的廣泛應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的極好素材.