秦旭東 段衛(wèi)華

摘要：習(xí)題教學(xué)要挖掘?qū)W生已掌握的最基本模型.從模型出發(fā)，學(xué)生才能“知其然更知其所以然”.本文以陜西省一道中考題為例進行說明.

關(guān)鍵詞：模型意識;轉(zhuǎn)化思想;中考題

1試題呈現(xiàn)

題目（2017年陜西25第3問）某城市街角有一草坪，草坪是由AABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖1所示，管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節(jié)約用水.于是，他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌）.同時，再合理設(shè)計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了.已測出AB=24m，MB=10m，AAMB的面積為96m2;過弦AB的中點D作DE⊥AB交AB于點E，又測得DE=8m.請你根據(jù)以上信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能實現(xiàn)他的想法？為什么？（結(jié)果保留根號或精確到0.01米）.

2試題解析

2.1參考答案

如圖2所示，延長ED交AM于點C.

因為AD=DB，AB是劣弧，DE⊥AB，所以AB所在圓的圓心在DC上.

設(shè)AB所在圓的圓心為0，半經(jīng)為r，連接OA，則OA=r，0D=r-8，AD=-AB=12

在Rt△AOD中，r=122+（r-8）2.

解得r=13.所以O(shè)D=OE-DE=5.

過點M作MN⊥AB，垂足為N.

因為SgABur=96，AB=24，所以MN=8.

又因為MB=10，所以BN=6，AN=18.

因為CD//MN，所以△ACD～△AMN.

所以CDADMNAN

則CD=163

所以O(shè)D

連接MO并延長交AB于點F，在AB上任取異于點F的一點（設(shè)為點G），連接GO，GM，則MF=OM+OF=OM+0G>MG，即MF的長為草坪上的點到點M的最大距離.

過點O作OH⊥MN，垂足為H，則OH=DN=6，MH=3.所以0M=√MH2+0H2=3.5.

所以MF=0M+r=3↓5+13≈19.71.

故噴灌龍頭的射程至少19.71m時，才能實現(xiàn)他的想法.

2.2難點分析

解這道題，主要分四步：①求圓的半徑;②判定點O是否在△AMB的內(nèi)部;③借三角形三邊關(guān)系說明MF是最大值;④求最大值.其中為什么要確定圓心的位置既是教師最難分析的，也是學(xué)生最難理解的地方，那么該如何來化解這一難點呢？

簡單說：化解難點的方法是用模型與轉(zhuǎn)化思想來處理.

如圖3所示，點M是?O的圓內(nèi)或圓外的任意一.點，則過圓心O點、M點的直線與圓交于點F，點H，則線段MF的長就是點M與圓上任意一點連線的最大值;線段MH的長就是點M與圓上任意一點連線的最小值.用幾何直觀性來分析：當(dāng)過點M的直線與過點M直徑所在的直線所構(gòu)成的夾角越小，則相對來說MF的長也就越大了.

2.3模型求解

當(dāng)學(xué)生明白了圖3所示的幾何模型后，再來說2017年陜西中考第25題的第3問.

若將AB所在的圓（設(shè)圓心為點O）給補全，如圖4所示，顯然問題就轉(zhuǎn)化為圖3所示的幾何模型了，于是解決問題的思路就明晰了，關(guān)鍵是說明圓心點0是不是在所給圖1中，于是設(shè)法去求圓的半徑、0D的長、DC的長就是自然而然的事了，進而想去求0M的長，思路也就順暢了，這里就不再贅述了.

從核心素養(yǎng)角度上說，本題重點考查了學(xué)生的模型意識、直觀想象、邏輯推理和轉(zhuǎn)化思想，要用的知識載體有：垂徑定理、相似三角形矩形、構(gòu)造與解直角三角形等.從講題角度上說，要注重從學(xué)生已掌握的知識（最基本的一些模型）出發(fā)，學(xué)生才能“知其然更知其所以然”，否則只能“就題論題”.

參考文獻：

[1]陜西省教育廳教學(xué)研究室.陜西省2018年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試說明[M].西安：陜西師范大學(xué)出版總社有限公司，??? 2018.