鄧敏

摘 要：本文給出用“階”的概念及估計(jì)求極限和判斷廣義積分的斂散性的方法，大大簡(jiǎn)化了求極限和判斷廣義積分的斂散性的過程。用這種方法還可以簡(jiǎn)化判斷級(jí)數(shù)的斂散性的過程。

關(guān)鍵詞：無(wú)窮小階極限斂散性

一、“階”的概念及其推廣

高等數(shù)學(xué)中“階”的概念是在學(xué)習(xí)“無(wú)窮小的比較”這一內(nèi)容時(shí)用極限概念引入的，無(wú)窮小階”的概念反映了在自變量的變化過程中，變量趨近于0的快慢程度。以下是許多《高等數(shù)學(xué)》教材中“階”的初步概念。

定義1：設(shè) 、 是同一變化過程中的兩個(gè)無(wú)窮小。

（1）如果 ，則稱 是比 高階的無(wú)窮小

記作

（2）如果 ，則稱 是比 低階的無(wú)窮小。

（3）如果 ，則稱 是與 同階的無(wú)窮小，特別地，如果 ，則稱 是 等價(jià)的無(wú)窮小，記作

（4）如果 ，則稱 是 的 階的無(wú)窮小.[1]

可以將以上定義進(jìn)行推廣，得到如下定義

定義2：設(shè)有任意兩個(gè)函數(shù) 、 ，且 恒大于零， 在 ，

（1）如果

則稱 相對(duì)于 是無(wú)窮小量，記作 ； 稱 是比 更高階的無(wú)窮小；

（2）如果

則稱 與 是漸近相等的，記作 ， 則稱 與 為等價(jià)無(wú)窮小量；

（3）如果

則稱 與 是同階的函數(shù)，記作 ， 則稱 與 是同階無(wú)窮小。[2]

以上定義中當(dāng) 時(shí)，因?yàn)樗男詰B(tài)簡(jiǎn)潔，所以常用 當(dāng)作比較“階”的基準(zhǔn)，所以有：

二、“階”的概念及估計(jì)的應(yīng)用

1.應(yīng)用于求極限

定理1：等價(jià)無(wú)窮小替換定理：設(shè) 是同一變化過程中的無(wú)窮小

證明（略）[2]

2.由等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)，容易證得以下極限運(yùn)算的規(guī)則：

（1）和差取大規(guī)則：設(shè) 、 是同一變化過程中的兩個(gè)無(wú)窮小

若

（2）和差代替規(guī)則：設(shè) 是同一變化過程中的無(wú)窮小， 且 不等價(jià)， 。

例如

、

解： 、

解：

2.應(yīng)用于判斷廣義積分的斂散性

定理2：設(shè) 是定義在 上的連續(xù)函數(shù)，那么

（1） ，

（2）

說(shuō)明：（1）以上定理實(shí)際上就是廣義積分的極限審斂法的變形形式，所以省去其證明。

（2）我們都知道若 ，則 [3]

例3；判斷下列積分的斂散性；

（1） （2） （3）

解：

（1） 收斂。

（2） 收斂。

（3）

當(dāng) >1時(shí)為絕對(duì)收斂

當(dāng) 時(shí)為發(fā)散。[3]

通過以上舉例說(shuō)明，利用“階”的概念來(lái)求極限和判斷廣義積分的斂散性非常簡(jiǎn)單、實(shí)用，因此我們不要忽視一些看似簡(jiǎn)單的概念在高等數(shù)學(xué)中的重要作用。以上只是“階”的概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，它還可以應(yīng)用于判斷級(jí)數(shù)的斂散性等許多方面。

參考文獻(xiàn)

[1]陳水林易同貿(mào).高等數(shù)學(xué)[M].武漢：湖北科學(xué)技術(shù)出版社，2007.29

[2]周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析[M].北京：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002.9.119-124

[3]陳吉美等.淺談極限中階的估計(jì)法及其應(yīng)用[J].湖南數(shù)學(xué)年刊，1995，15（3）：84-85.