歐拉公式的妙用

王晶 郭立豐

摘 要：歐拉公式將三角函數(shù)運算轉(zhuǎn)化為復指數(shù)函數(shù)運算，在三角函數(shù)相關(guān)運算中利用直觀的代數(shù)運算解決問題。在微積分運算中，將指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積轉(zhuǎn)化為復變量指數(shù)函數(shù)簡化計算。在微分方程運算中，將復值函數(shù)轉(zhuǎn)化為實值函數(shù)，體現(xiàn)復數(shù)域與實數(shù)域的和諧統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：歐拉公式、復指數(shù)函數(shù)、積分、微分方程

歐拉公式將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來，為研究這兩種函數(shù)的有關(guān)運算及性質(zhì)架起了一座橋梁。歐拉公式將實數(shù)域問題擴大到復數(shù)域討論，構(gòu)造復指數(shù)函數(shù)巧妙地將問題簡化。下面給出歐拉公式的具體應用實例。

1.三角函數(shù)中的應用

歐拉公式在證明三角恒等式、求解三角方程、三角級數(shù)的相關(guān)運算和探求一些復雜的三角關(guān)系時，可以避免復雜的三角變換，利用較直觀的代數(shù)運算使問題得到解決。

2.高階導數(shù)計算中的應用

取其實部可得

3.積分計算中的應用

對被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的積分，利用歐拉公式將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為復指數(shù)函數(shù)，降低解題難度。

4.高階常系數(shù)齊次線性微分方程求解中的應用

高階常系數(shù)齊次線性微分的特征方程求解中，如果特征方程有一對共軛復根，利用歐拉公式及疊加原理將復值函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷嵵岛瘮?shù)。

參考文獻：

[1]西安交通大學高等數(shù)學教研室.復變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]歐陽光中、朱學炎等.數(shù)學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2012.

基金項目：

[1]2018年度黑龍江省高等教育教學改革一般研究項目，項目編號SJGY20180060

[2]黑龍江省教育科學“十三五”規(guī)劃2018年度重點課題，項目編號GBB1318022