分析法探究平面幾何證明思路示例

鄭蕾聰 張昆

【摘 要】平面幾何知識(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和理性思維具有其他學(xué)科難以替代的功能。在數(shù)學(xué)課程改革的現(xiàn)階段，出現(xiàn)了平面幾何“推理難教”與“人人能學(xué)”之間的矛盾，學(xué)生難以掌握和適應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)又形式化的推理方法。在學(xué)生入門(mén)平面幾何證明時(shí)，教師該如何設(shè)計(jì)教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生習(xí)得探究平面幾何推理論證思路的有效方法，是教師教學(xué)研究的重中之重。分析法能幫助學(xué)生從錯(cuò)綜復(fù)雜的條件中抽離出來(lái)，找到一條由未知通向已知的道路。

【關(guān)鍵詞】平面幾何;教學(xué)設(shè)計(jì);分析法

【作者簡(jiǎn)介】鄭蕾聰，淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生;張昆，中學(xué)高級(jí)教師，現(xiàn)供職于淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、安徽省淮北市第一中學(xué)（兼職）。 平面幾何知識(shí)具有培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和理性思維的教育價(jià)值，是義務(wù)教育階段不可替代的優(yōu)質(zhì)課程資源。平面幾何證明要求學(xué)生具有嚴(yán)密的邏輯性，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言表述和較強(qiáng)的作圖、識(shí)圖能力，但這些也是很多學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)難以掌握的知識(shí)技能和能力。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)稍復(fù)雜的命題，時(shí)常不能一次性正確解答，需要教師運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法啟發(fā)他們獲得證明思路。其中，分析法在平面幾何推理論證學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛。因此，本文對(duì)分析法在探究平面幾何命題證明思路中的價(jià)值做了一些探索。

什么是分析法呢？牛頓在談到分析法時(shí)指出，一般說(shuō)來(lái)，從結(jié)果到原因，從特殊原因到普遍原因，直到論證止于最普遍的原因?yàn)橹?，這就是分析的方法[1]。通俗地說(shuō)，分析法是“執(zhí)果索因”的方法。張乃達(dá)先生認(rèn)為，分析就是將被研究對(duì)象的整體分為各個(gè)部分、方面、因素和層次，并分別加以考察的認(rèn)識(shí)活動(dòng)[2]12。由此可知，分析是未知向已知的化歸手段，分析法在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用在于通過(guò)分解、析取等步驟和操作，實(shí)現(xiàn)未知與已知的聯(lián)系，從而為綜合創(chuàng)造條件，達(dá)到認(rèn)識(shí)與創(chuàng)新的目的。分析法的基本思想可歸納為由“未知”（“果”）探求“需知”，這些“需知”構(gòu)成了“中途點(diǎn)”[2]61。如此，環(huán)環(huán)緊扣逐步向前推，直至找到已知條件為止。需要加以說(shuō)明的是，“需知”形成了新的“果”，這個(gè)“需知”的“果”便作為探究活動(dòng)中的“中途點(diǎn)”，接著再尋求這個(gè)“中途點(diǎn)”產(chǎn)生的原因，從而建立新的“中途點(diǎn)”，由此實(shí)現(xiàn)要證明的結(jié)論對(duì)題設(shè)條件的導(dǎo)向?！爸型军c(diǎn)”的產(chǎn)生往往具有猜想的成分，這正是人的意識(shí)能動(dòng)性在尋求平面幾何證明思路中的有力體現(xiàn)。

在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中我們認(rèn)識(shí)到，雖然初中生學(xué)習(xí)了很多關(guān)于平面幾何證明的定理（公理）及其邏輯推理，但對(duì)定理的理解很難達(dá)到準(zhǔn)確的程度，對(duì)定理結(jié)構(gòu)層次也難以精確領(lǐng)會(huì)。學(xué)生在應(yīng)用定理（公理）解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)問(wèn)題的把握往往也是混沌一片：分不清命題的題設(shè)和結(jié)論的關(guān)系，作不出比較準(zhǔn)確的幾何圖形等。我們發(fā)現(xiàn)，證明命題結(jié)論最終都由已知條件構(gòu)成。但在尋找這些已知條件時(shí)，尤其對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的命題，很少能一擊即中地達(dá)到目的，經(jīng)常要配合所用定理（或公理），先尋找出“需知”，再利用這些“需知”來(lái)調(diào)控已知對(duì)結(jié)論的決定性作用[3]。這些都構(gòu)成了平面幾何推理論證入門(mén)時(shí)教師施教與學(xué)生學(xué)習(xí)的疑難。

在探究平面幾何證明思路中，“執(zhí)果索因”分析法是處理信息、探索思路的基本方法之一。學(xué)生掌握了平面幾何基本知識(shí)后，運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行證明活動(dòng)也不是一蹴而就，它必須有一個(gè)探究、發(fā)現(xiàn)并組織成順應(yīng)邏輯取向的思路活動(dòng)過(guò)程。這個(gè)探究活動(dòng)過(guò)程的產(chǎn)生在于某些有效思維方法的運(yùn)用。因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下，問(wèn)題的結(jié)論對(duì)于探索活動(dòng)的定向作用更強(qiáng)烈、更有用，所以在平面幾何推理論證的起始學(xué)習(xí)中，分析法是學(xué)生掌握探究證明思路的一種行之有效的方法。

數(shù)學(xué)教師在平面幾何推理論證入門(mén)的教學(xué)中，合理地引入探究平面幾何證明思路的分析法，可以將錯(cuò)綜復(fù)雜的元素關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^線性化的元素關(guān)系，從而降低學(xué)生需要的邏輯思維強(qiáng)度，減少探究平面幾何證明的思路難度，發(fā)揮平面幾何推理論證知識(shí)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)平面幾何推理論證知識(shí)的教學(xué)目標(biāo)。分析法對(duì)于教師施教和學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何學(xué)的相關(guān)知識(shí)都有更大的教學(xué)效益。因此，本文通過(guò)一個(gè)典型的教學(xué)課例，探討分析法在探究平面幾何命題證明思路教學(xué)中的作用。

陸游詩(shī)曰：“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行?！辟嫡Z(yǔ)云：“理在用中方知妙?！痹跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，理論說(shuō)教往往是蒼白的，因此教師在探究平面幾何推理論證解題思路時(shí)，一定要選擇典型的例題與習(xí)題，通過(guò)分析學(xué)情，有效作用于學(xué)生心理，從而經(jīng)由學(xué)習(xí)活動(dòng)促使學(xué)生形成基本的探究方法，獲得相應(yīng)探究思路的幾何觀念。下面是一個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)中的例子（省略號(hào)表示學(xué)生思維活動(dòng)的暫時(shí)中斷）。

師：同學(xué)們，對(duì)于這道題的證明，我們先采用了由因?qū)Ч木C合法，但沒(méi)有成功。后來(lái)我們換了思路從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，一步一步追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的原因（條件、“替身”），直到論證止于最普遍的原因（條件、“替身”），最終成功地證明了這個(gè)命題。像這樣“執(zhí)果索因”探究證明思路的方法叫分析法。在多數(shù)情況中，分析法常運(yùn)用于探究平面幾何命題的證明思路。同時(shí)，由于同一問(wèn)題的結(jié)論可能由很多原因（條件）導(dǎo)致，因此我們還要考慮如何迅速確定或縮小探索范圍?？偠灾?，大家要通過(guò)這次證明思路的探究活動(dòng)過(guò)程，好好體會(huì)分析法的價(jià)值。

在尋找平面幾何證明思路時(shí)，遇到稍微復(fù)雜的題設(shè)條件，便需要獲得這些條件之間恰如其分的配合形式，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一件不容易做好的事情，需要教師的有效幫助。平面幾何命題證明入門(mén)較難，原因主要在于有的教師沒(méi)有找到有效的教學(xué)方法。

我們說(shuō)，教學(xué)是藝術(shù)，不是科學(xué)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念提倡“以人為本”，因此教師在設(shè)計(jì)、實(shí)施課堂教學(xué)方案或組織各類教學(xué)活動(dòng)時(shí)，要站在學(xué)生的心理角度思考問(wèn)題，要不斷地對(duì)自己提問(wèn)：這樣教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)的過(guò)程中嗎？能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值嗎？能使學(xué)生愿意學(xué)、喜歡學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)感興趣嗎？探究平面幾何證明思路的分析法是在這種師生、生生對(duì)話之間萌生的，是學(xué)生在教師和學(xué)生的相互啟發(fā)下實(shí)現(xiàn)的。平面幾何命題證明是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的重要環(huán)節(jié)之一。教師在教學(xué)研究中，要對(duì)重難點(diǎn)認(rèn)真深入思考，引導(dǎo)學(xué)生分析、探究，透過(guò)圖形的表象發(fā)現(xiàn)圖形某些關(guān)系的本質(zhì)，使學(xué)生的幾何推理論證思維結(jié)構(gòu)不斷形成。

參考文獻(xiàn)：

[1] 章士嶸.科學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯[M].北京：人民出版社，1986.

[2]張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[3]張昆，張乃達(dá).探究輔助線方法的教學(xué)設(shè)計(jì)研究：平面幾何命題證明入門(mén)教學(xué)的視點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（4）：9-12.