例談數(shù)形結合思想在一次函數(shù)教學中的運用

陳璐

【摘 要】數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的學科，其所研究的范圍和對象決定了“數(shù)形結合”是學生學習過程中，不可或缺的一種思想方法，尤其是在初中一次函數(shù)教學中，很多問題都需要學生從“數(shù)”和“形”兩個方面做出思考，因此在教學過程中，教師能夠?qū)?shù)形結合思想滲透于其中具有重要意義，下面筆者將從自身的實踐教學經(jīng)驗出發(fā)，做出相關介紹闡述。

【關鍵詞】數(shù)形結合思想;一次函數(shù);教學運用

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）18-0235-02

前言

在整個初中階段的數(shù)學學習中，函數(shù)學習具有極其重要的地位，并貫穿于學習始終，而一次函數(shù)是學生學習認識函數(shù)的開端，是學生學習二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎，在一次函數(shù)教學中，教師要明確數(shù)學思想是數(shù)學學科的靈魂，是學生學好數(shù)學知識的關鍵，而函數(shù)是“數(shù)”與“形”的巧妙結合，將數(shù)形結合思想運用到一次函數(shù)教學中，可更好的助力學生數(shù)學學習成長。

一、數(shù)形結合思想及一次函數(shù)介紹

1.數(shù)形結合思想。

數(shù)學領域之中有這樣的一句話“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，由此可以看出，在數(shù)學學科之中，“數(shù)”與“形”是不分家的，數(shù)形結合是學習數(shù)學最基本也是最有效的一種方法[1]。簡而言之，數(shù)形結合可理解為以數(shù)學問題的條件和結論為內(nèi)在聯(lián)系依據(jù)，分析代數(shù)意義的同時，揭示幾何直觀意義的一種方法。在學習數(shù)學學科的過程中，數(shù)形結合大致可以分為兩種情形，一是“以數(shù)解形”，即借助數(shù)的精確性，對形的屬性做出闡述;二是“以形助數(shù)”，即借助幾何的直觀性，闡述數(shù)字之間的某種聯(lián)系。在數(shù)學領域之中，如解函數(shù)問題、方程問題、絕對值問題、立體幾何問題等，數(shù)形結合思想都是非常適用的，而縱觀近幾年的中考命題趨勢，也十分注重學生對數(shù)形結合的掌握考察，因此在日常教學中，教師能夠在課程知識講解時，潛移默化的將數(shù)學知識應用其中，這對學生的數(shù)學學習發(fā)展是有諸多裨益好處的。

2.一次函數(shù)教學。

“一次函數(shù)”是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是重要的基礎知識內(nèi)容，與未來高中階段的知識有緊密的聯(lián)系，同時還在現(xiàn)實生活之中廣泛應用，研究學習一次函數(shù)，一定要把定義、性質(zhì)、圖像緊密的結合在一起，這樣學生才能體會知識的真諦，掌握解題的要領[2]。（1）函數(shù)的定義，一個量隨著另外一個量的變化規(guī)律。這里后一個量就是自變量，前一個量因為后一個量的變化而變化，所以叫因變量，自變量的取值范圍，與函數(shù)的整式、分式、根式具體表達方式有關，要使這些式子有意義。（2）一次函數(shù)的定義，表達形式為y=kx+b，其中k、b是常數(shù)，k不等于0。

二、數(shù)形結合思想在一次函數(shù)教學中的運用

1.以形助數(shù)，直觀理解函數(shù)圖像性質(zhì)。

在初中數(shù)學“一次函數(shù)”課程教學中，教師要從基礎知識抓起，強化學生對一次函數(shù)圖像性質(zhì)的掌握，這樣才能為學生的后續(xù)學習典型基礎，而顯然在這個過程中，單依靠“數(shù)”的講解是遠遠不夠的，只有采用數(shù)形結合的方法，借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化，這樣才能幫助學生在頭腦之中構建數(shù)學模型，為學生的概念形成理解奠定基礎。具體而言，教師在向?qū)W生講解一次函數(shù)圖像性質(zhì)時，可以為學生出示下表：

在該表之中，將“數(shù)”與“形”完美的結合在了一起，一次函數(shù)知識不再是空洞無物的，函數(shù)知識有了具體的形象，在“以形助數(shù)”的過程中，學生對一次函數(shù)圖像知識有了更加深刻的認識和理解[3]。

2.以數(shù)解形，借助性質(zhì)強化圖像功能。

在初中數(shù)學“一次函數(shù)”課程教學中，函數(shù)圖像形象的顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為學生認識學習一次函數(shù)提供了“形”的直觀基礎。同樣，一次函數(shù)關系式，是由“數(shù)”構建的，數(shù)賦予了圖像的基本形式，因此在運用數(shù)形結合思想時，“以數(shù)解形”也是一種可行的教學方式，可使問題便的一目了然。以這樣的兩個問題為例：

例1：“下列四個圖像之中，表示某一次函數(shù)的圖像有哪些？”

在這一函數(shù)問題之中，就需要采用“以數(shù)解形”的方式進行解題，如要從數(shù)形結合的方向思考，依據(jù)函數(shù)圖像在自變量x的取值范圍內(nèi)任取一個值的一次函數(shù)定義，可以發(fā)現(xiàn)，在上述出示的四個圖像之中，A、B中的變量y都有與之相對應的值，因此A、B都可稱之為一次函數(shù)，而C、D圖像之中，變量y不是x的唯一變量，因此不能表示某一函數(shù)的圖像。在這一數(shù)學問題之中，就充分的體現(xiàn)出了“以數(shù)解形”的重要作用。

例2：2018年中考試題中有這樣的一個解答題：一輛汽車行駛時的耗油量為0.1升/千米，如圖是油箱剩余油量y（升）關于加滿油后行駛的路程x（千米）的函數(shù)圖形（如圖2所示）。（1）根據(jù)圖像直接寫出汽車行駛400千米時的油箱內(nèi)剩余油量，并計算加滿油時油箱的油量。（2）求y關于x的函數(shù)關系式，并計算該汽車在剩余油量5升時已行駛的路程。

解答：對于這一問題，通過題意可知，汽車行駛400千米剩余油量30升，加滿油時油量為70升;在對（2）問題解析時，可設y=kx+b（k≠0），把點（0，70），（400，30）坐標代入得b=70，k=-0.1，故y=0.1x+70，而當y=5時，x=650，得出汽車已行駛路程為650千米。通過這樣的一個函數(shù)問題，在解一次函數(shù)問題時，要從形到數(shù)，量化入微，在充分理解題意的基礎上，仔細的觀察分段函數(shù)的特征，這樣才能確定最終的函數(shù)解析式。

3.數(shù)形結合，實現(xiàn)方法到思想的飛越。

在初中數(shù)學“一次函數(shù)”課程教學中，數(shù)形結合思想的運用，不僅是“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，還應該做到數(shù)形結合，將“數(shù)”與“形”結合在一起進行思考，通過把數(shù)量關系問題轉化為圖形問題，或者通過將圖形問題轉化為數(shù)量關系問題，從而實現(xiàn)從“方法”到“思想”的飛躍，這樣才能將函數(shù)問題簡單化，抽象問題具體化，最終實現(xiàn)高效學習、高效解題的目標[4]。函數(shù)知識是貫穿于整個初中階段的學習內(nèi)容，而一次函數(shù)是學生函數(shù)學習的開端和基礎，因此學好一次函數(shù)知識尤為重要，但顯然在筆者執(zhí)教的過程中發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)問題，很多學生感到望而生畏，函數(shù)學習成為無法攻克的難題，而函數(shù)本就是“數(shù)”與“形”的巧妙結合，在解題的過程中，可以充分的借助數(shù)形結合思想，同時將函數(shù)問題與方程、不等式相關知識聯(lián)系在一起，善于將知識“牽手”，將“形”與“數(shù)”對應在一起，這樣很多復雜的問題就會迎刃而解、不攻自破，這是新課標背景下，教師需要樹立的一種教學思想。

4.數(shù)形聯(lián)系，函數(shù)建模中強化數(shù)形結合。

在初中數(shù)學“一次函數(shù)”課程教學中，數(shù)形結合思想的運用，可以借助一次函數(shù)的圖像，直觀的分析一元一次方程的解、不等式解及二元一次方程組的解，在這個過程中，學生就可以體會到函數(shù)解與圖像點坐標之間的緊密聯(lián)系，從而品味到數(shù)學學科之中，數(shù)形結合的魅力，同時借助數(shù)形之間的巧妙聯(lián)系，還可以幫助學生在腦海之中構建數(shù)學模型，這對學生的數(shù)學學習發(fā)展都是十分具有裨益好處，而這也是一次函數(shù)中滲透數(shù)形結合思想的主線，舉這樣一個例子，如下表所示，移動公司推出了兩種話費套餐方式，問選擇哪種計費方式更加省錢？

在面對這一問題時，可將通話時間設為x，月消費用為y，那么全球通的函數(shù)解析式就為y=50+0.4x，而神州行的函數(shù)解析式則為y=0.6x。運用數(shù)形結合思想，可在同一坐標系之中，畫出這兩個函數(shù)解析式的圖像，可以發(fā)現(xiàn)x=250，y=150時兩函數(shù)之間存在交點，因此通過對圖像的觀察可以發(fā)現(xiàn)，在通話時間為250min之前，神州行套餐資費是更加合適的，在通話時間剛好為250min時，兩種套餐價格相同，而當通話時間超出250min時，全球通套餐則更加經(jīng)濟實惠。在初中數(shù)學“一次函數(shù)”課程教學中，教師要善于借助數(shù)與形之間的聯(lián)系，幫助學生在頭腦之中建立函數(shù)模型，而這將轉化為一種能力，推動學生的函數(shù)學習更進一步。

5.數(shù)形與實際結合，避免教學誤區(qū)出現(xiàn)。

一次函數(shù)在現(xiàn)實生活之中有廣泛的運用，如購買消費活動中，生產(chǎn)加工活動中，都會涉及變量與線性之間的關系，這時就可以借助一次函數(shù)去解決問題，因此數(shù)形結合思想在一次函數(shù)教學中的運用，還應該強化生活實際與一次函數(shù)之間的有機結合，要借此培養(yǎng)學生運用函數(shù)知識解決生活問題的能力，防止出現(xiàn)“一次函數(shù)都是一條直線的誤區(qū)”。舉這樣的一個例子，如發(fā)動機開始工作時，初始油箱之中有40L的機油，每小時消耗5L，求郵箱剩余有油量q與工作時間t之間的函數(shù)關系，試畫出其中的函數(shù)圖像。在解答這一問題時，若是只有數(shù)，而無形，就很容易出現(xiàn)解題錯誤，而數(shù)形與實際相結合，就可以更加準確的觀察出函數(shù)q=-5t+40在0≤t≤8這個區(qū)間內(nèi)，是一條線段而不是直線，這是因為油箱之中的機油是會消耗盡的，因此解一次函數(shù)生活性問題時，要從生活實際出發(fā)，兼顧數(shù)形，注意自變量的取值范圍，從而畫出標準的一次函數(shù)圖像[5]。此外，在實際生活問題之中，“最值”一般都是指“最高成本”“最高利潤”“最少之處”等，大部分情況下，自變量的取值范圍是全體實數(shù)，但也有一些自變量受實際限制。

總結

在初中數(shù)學教學中，一次函數(shù)是十分重要的教學內(nèi)容，貫穿滲透于學生的整個數(shù)學學習生涯中，而數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的靈魂，是學生學好數(shù)學學科的關鍵，在一次函數(shù)教學中，教師能夠?qū)?shù)形結合思想方法滲透于其中，這可以幫助學生更好的領悟到函數(shù)的真諦，并迅速的掌握函數(shù)的解題要領，因此的今后的一次函數(shù)函數(shù)教學中，教師有必要關注對數(shù)形結合思想的運用研究。

參考文獻

[1]柴文甲.例談數(shù)形結合思想在一次函數(shù)教學中的運用[J].青海教育，2019（03）：47-48.

[2]胡詩雨.初中數(shù)學課堂滲入數(shù)形結合思想——以一次函數(shù)與二元一次方程的關系為例[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2017（20）：20+17.

[3]朱根陸.數(shù)形結合有妙用以圖思圖建奇功——例談一次函數(shù)的圖像問題[J].中學數(shù)學，2017（22）：78-79.

[4]余敬平.結合函數(shù)圖象解決行程問題——數(shù)形結合思想在一次函數(shù)中的應用[J].初中數(shù)學教與學，2016（10）：39-41.

[5]潘紅濤.談數(shù)形結合思想在一次函數(shù)中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2016（15）：101.