習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的課堂探討

陳土樹

【內(nèi)容摘要】課本中的習(xí)題是新知識的傳授、思維能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想方法的滲透的主要載體。日常教學(xué)中，重視習(xí)題教學(xué)，能夠優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而引導(dǎo)學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)，達(dá)到減負(fù)增效的效果，最終培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

【關(guān)鍵詞】習(xí)題教學(xué) 一題多解 課堂探討

科學(xué)研究表明：思維品質(zhì)是思維能力的核心，其中廣闊性、靈活性、深刻性、獨(dú)立性、批判性是它的五大要素。然而一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)是思維的深刻性，思維在深刻性的基礎(chǔ)上才引申發(fā)展出思維的靈活性和獨(dú)立性。所謂的思維的深刻性就是指將實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行“提煉”，從而抽象概括出有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，然后對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，選擇準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)方法、運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)運(yùn)算，最終求出此模型的解或近似解，以及對解的實(shí)踐檢驗(yàn)和對模型的修正等過程，集中體現(xiàn)為思考的廣度、深度、難度三個(gè)維度。

一、一題多解——開闊思路，提高思考的廣度，在實(shí)踐中培養(yǎng)思維的深刻性

一題多解是促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展的有效途徑之一，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維準(zhǔn)確性，提高學(xué)生的思維靈活性，增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性。挖掘多解性就是要挖掘題目中所蘊(yùn)含知識點(diǎn)的“縱橫溝通”，挖掘其中所融匯的多種數(shù)學(xué)思想或方法，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的思考廣度，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。在教學(xué)中，精心設(shè)計(jì)具有典型性的范例能極具開發(fā)的學(xué)生思維。

例1：當(dāng)x=5-1 ，求代數(shù)式x2+5x-6的值。（人教版九上P22 復(fù)習(xí)題6）

我們?nèi)粘＝虒W(xué)中一般采用一種方法——直接代入。

當(dāng)? x=5-1時(shí)，原式=（5-1）2+5（5-1）-6=35-5 。

如果教師在教學(xué)時(shí)，就題論題，就失去該題的科學(xué)價(jià)值，也失去一次培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的機(jī)會，應(yīng)與學(xué)生共同探索。這一類“求值問題”是簡單類型，但是往往這一類題目是我們提高思考的廣度，培養(yǎng)思維深刻性的好素材，因?yàn)樗瘘c(diǎn)低，入手易。我們可以啟發(fā)學(xué)生研究所求代數(shù)式有何特征，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)可以因式分解為（x+6）（x-1），從而得到第二種解法：原式=（5+5）（5-2）=35-5。然后引導(dǎo)學(xué)生從研究條件入手，并結(jié)合所求代數(shù)式進(jìn)行變形：x+1=5 ，原式=（x+1）2+3（x+1）-10=（5）2+35-10=35-5。此時(shí)教師適時(shí)進(jìn)行小結(jié)，求值問題不僅僅只是直接代入，要注意觀察和研究所求代數(shù)式與條件之間的聯(lián)系與變形，能起到“事半功倍”的效果。從多個(gè)角度去考慮同一問題，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，提高思維能力，采取不同的方法，讓學(xué)生自我探究，自我發(fā)現(xiàn)，合作交流，在學(xué)習(xí)中提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在實(shí)踐中發(fā)展他們的思維能力。

本題通過三種不同的解法，有助于強(qiáng)化不同階段的知識聯(lián)系，使不同層次的學(xué)生的思維觸角伸向不同的方向，讓學(xué)生優(yōu)化解題的方法，尋找最優(yōu)解?？此埔坏篮唵蔚那笾殿}，通過我們的一題多解，不但能起到“以小見大”效果，還能改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性。教材中，還有許多如：一元二次方程的求解，二次函數(shù)解析式的求解，平行四邊形的證明等等課本習(xí)題，教師要善于挖掘，開發(fā)有價(jià)值的素材，在解決和運(yùn)用中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

二、由淺入深——挖掘內(nèi)涵，發(fā)展思考的深度，在運(yùn)用中學(xué)到深刻的思維

根據(jù)初中生的認(rèn)知規(guī)律與思維層次出發(fā)，我們平時(shí)的教學(xué)要循序漸進(jìn)，螺旋式上升的。通過簡單易懂的素材為載體，精心謀劃，設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)思維情境，在不斷實(shí)踐與不斷獲得成功喜悅之間交替進(jìn)行，促進(jìn)學(xué)生由淺入深，樂于思考，樂于探索與嘗試，從而對某一知識就做到理解深刻。

課本中一些習(xí)題，看似平常，但卻具有豐富的內(nèi)涵，我們要善于發(fā)現(xiàn)這類習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸，不能僅僅“做一題練一題”，要通過挖掘其潛在內(nèi)涵，促使知識深入，提高學(xué)生的探索能力，發(fā)展學(xué)生的思考深度，從而在運(yùn)用中學(xué)到深刻的思維。

例2：在八上《全等三角形》的教學(xué)中，我采用這么一個(gè)素材：如圖△ABC和△ECD都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D共線。第一個(gè)問題目標(biāo)明確，又切合本章所學(xué)知識，起點(diǎn)低，學(xué)生入手容易，大家都在參與。接著我引導(dǎo)學(xué)生能不能得出：BG=AH，為什么？然后在前面的鋪墊下，我就全面放手：除此之外，我們還能得出什么結(jié)論？上臺板書出來。因此在這次的課堂上，學(xué)生積極性被調(diào)動起來了，思考不斷深入，有一條新的結(jié)論，大家都是興高采烈的，都情不自禁的為之鼓掌祝賀。心里又“不服輸”，在別人給出結(jié)論后，積極思考驗(yàn)證別人的結(jié)論是否正確，是否還能推出別的結(jié)論。這樣打破課堂原有的幾何證明題沉悶的氣氛，又大大提高了學(xué)生思考的積極性，同時(shí)對這個(gè)圖形有了更深刻的記憶，更為深刻的理解，讓更多的知識點(diǎn)融合起來，從而于培養(yǎng)學(xué)生思維的延伸性，進(jìn)而學(xué)到深刻的思維。

通過這樣深入探究與合作交流最后得到了如下①AC∥DE，AB∥CE;②△EBC≌△DAC;③∠AFB=60°;④△GBC≌△HAC;⑤△HCD≌△GCE;⑥GH∥BD;⑦△GHC是等邊三角形;⑧ S△ACE= S△ACD= S△BCE等等。雖然這節(jié)課結(jié)束了，但是學(xué)生對這道題的探究還意猶未盡。有一個(gè)學(xué)生到九年級上學(xué)期學(xué)《二次函數(shù)》知識時(shí)，又拿出這道題跟我說：“老師，如果BD長為定值，那么△ABC和△ECD的面積之和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C為中點(diǎn)時(shí)?！笨梢娺@道題的深入探究，讓學(xué)生留下深刻烙印，學(xué)到了深刻的思維。

三、一題多變——舉一反三，增加思考的難度，在解決中達(dá)到深刻的思維

在初中數(shù)學(xué)中，有很多問題有著深刻的背景，或者蘊(yùn)含著規(guī)律、方法。教學(xué)中要善于采用題目條件的弱化與改編，從而提高學(xué)生的觀察能力，遵循數(shù)學(xué)從容易到困難，從一般到特殊的學(xué)習(xí)規(guī)律。既培養(yǎng)學(xué)生思考問題由淺入深，又極大的提升學(xué)生類推能力和梳理歸納的能力，從而提高學(xué)生善于觀察、比較分析、歸納與探究的意識與能力。這就是思維深刻性培養(yǎng)的高境界。

我們在教學(xué)中，采用一題多變，有意識的對條件進(jìn)行適當(dāng)弱化或改編，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析對比，歸類，從而提高了學(xué)生從本質(zhì)上看問題的意識，激起學(xué)生強(qiáng)烈的探索精神和求知欲望，更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高解題能力。這也同時(shí)避免了“茫?！鳖}海和繁雜資料的煩惱，有效地推行“減負(fù)”政策。

例3：如下圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，AM⊥MN，正方形外角的平分線CN與MN相交于點(diǎn)N。求證：AM=MN。

分析：本題本質(zhì)就是三角形全等。如何構(gòu)造三角形全等呢？大部分同學(xué)的想法就是過點(diǎn)N作BC的垂線NH，垂足H，構(gòu)造出來的三角形NMH與三角形ABM無法證明全等，關(guān)鍵缺少邊相等，從而陷入困境。本題在尋求三角形全等時(shí)，要牢牢抓住全等的關(guān)鍵——至少有一邊相等，而題干中沒有邊的等量關(guān)系，故作輔助線時(shí)重點(diǎn)要考量這個(gè)要素，即：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，通過證明△AGM≌△MCN，本題就迎刃而解了。而這題如果就戛然而止，那么學(xué)生就喪失進(jìn)一步思考的權(quán)利，進(jìn)一步鍛煉分析能力的機(jī)會，無法使思維深刻化。筆者進(jìn)行如下四種變式，前兩種大背景“正方形”不變，讓學(xué)生橫向遷移;后兩種改變“正方形”的大背景，讓學(xué)生縱向遷移。

變式1：若將原題的條件“點(diǎn)M是BC邊上的中點(diǎn)”弱化改為“點(diǎn)M是BC邊上的任意一點(diǎn)（M不與B、C兩點(diǎn)重合）”，其他條件，如下圖所示，此時(shí)還有AM=MN的結(jié)論嗎？

變式2：若將原題的條件“點(diǎn)M是BC邊上的中點(diǎn)”進(jìn)一步改為“點(diǎn)M是BC的延長線上”，其他條件不變，如下圖所示，此時(shí)還有AM=MN的結(jié)論嗎？

變式1和變式2通過弱化條件，使得結(jié)論更具有一般性。通過原題及改編題的訓(xùn)練，讓學(xué)生由易到難，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從而起到培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

變式3：將原題改為“在正三角形ABC中，點(diǎn)M是BC的延長線上，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN= °時(shí)，結(jié)論AM=MN還成立？請說明理由”

變式4：將原題改為“正n邊形ABCD…X中，點(diǎn)M是BC的延長線上，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN= °時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立”

變式3和變式4，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析，歸納猜想，大膽嘗試，發(fā)散思維。通過培養(yǎng)與訓(xùn)練，學(xué)生能力強(qiáng)了，意識到位了，能在更高、更深的層次上加深對問題的理解，培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性。

培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)所在。以上三個(gè)方面是通過如何習(xí)題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的深刻思維，當(dāng)然它們不應(yīng)是孤立的，而應(yīng)是相互滲透，并有機(jī)融合。課本中的習(xí)題是很重要的載體，我們要有目的地去鉆研和挖掘，有意識地進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練。通過對習(xí)題挖掘，配上有效的落實(shí)途徑，適時(shí)引導(dǎo)，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉金星.挖掘習(xí)題潛能 培養(yǎng)思維能力[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2003（10）：7-10.

[2]王麗.淺談數(shù)學(xué)思維的特性[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（2）：18.

（作者單位：福建省廈門市第二外國語學(xué)校）