以標(biāo)準(zhǔn)分析和非標(biāo)準(zhǔn)分析兩種微積分觀點看運動論題和黑格爾的辯證法
——答陳曉平教授《商榷》一文①

張華夏

(中山大學(xué) 哲學(xué)系，廣東 廣州 510275)

一、從標(biāo)準(zhǔn)分析看哲學(xué)上的運動論題和黑格爾的辯證法

(一)關(guān)于辯證法所說的“時點”與“地點”

(二)關(guān)于極限定義的本質(zhì)

(三)關(guān)于無理數(shù)、“死去了的量的鬼魂”和改進辯證法問題

就此公式而言，貝克萊根本抓不到什么把柄。這里 dy/dx根本不是陳文所說的除數(shù)與被除數(shù)；而Δx是個變量，本身不是0，它的極限值是0，這里根本不出現(xiàn)陳曉平所說的“Δx既是0又不是0”[1]6的矛盾。而且，這里根本不是變量與常量的關(guān)系問題。不管Δx的極限值是什么，Δx和它的函數(shù)Δy都是變量，它們都有定義域，這個定義域是由一定的實數(shù)常量域組成，不要認為，只要Δx是個變量就萬事大吉了，就可以說明運動“在這一點又不在這一點”(初步辯護)，并且還說明“運動‘在這一點又不在這一點’本身不是矛盾的”(改進辯證法的表達方式的終極辯護)。陳曉平在論文摘要中一再提出這幾個問題，向當(dāng)代的微積分的常識進攻，使人感到有點故弄玄虛。不過他的積極意義要到我們討論非標(biāo)準(zhǔn)分析微積分的時候才能展露出來。

(四)關(guān)于黑格爾和恩格斯所講到的機械位移的矛盾

陳曉平對“此時”、“此刻”(“now”或“instant”)給出了一個意指“無窮小區(qū)間”的意思。前面筆者提問過，他們在哪里說過“此無窮小區(qū)間”和“彼無窮小時刻”的話？其實黑格爾和恩格斯對于陳文強加給他們的話并不領(lǐng)情，因為他們講的是矛盾辯證法，指的是運動在此時此刻在這一點又不在這一點，并聲明這是違反形式邏輯的。這是矛盾辯證法的常識之一。

二、從非標(biāo)準(zhǔn)分析來看哲學(xué)上的運動論題和黑格爾的辯證法

(一)歷史

圖1 牛頓求切線的微分法

圖2 萊布尼茨求導(dǎo)數(shù)的微分法

這里ds/n=dx/y或yds=ndx。這些無窮小的總和便得到[5]：

不過萊布尼茨還沒有建立一個系統(tǒng)的實無窮小理論，從認識論上看，他將它看作是一種有很好基礎(chǔ)的“虛構(gòu)”，像虛數(shù)一樣，它是有用的，并服從通常數(shù)的規(guī)律。但從本體論上看，他更多地將無窮小看作是萬物由此組成的不可再分的最小的原子，無窮小是小于一切甚至小于任何實數(shù)的實無窮小[4]2,7。非標(biāo)準(zhǔn)分析(9)關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)分析的一些參考文獻：魯濱遜.非標(biāo)準(zhǔn)分析[M].申又棖,王世強,張錦文,等譯.北京:科學(xué)出版社,1980; KEISLER H J.Elementary calculus: An infinitesimal approach[M].Long Island:Courier Corporation,2013; SALBANY S, TODOROV T.Nonstandard analysis in point-set topology[M].Vienna:Preprint ESI 666,1999.繼承萊布尼茨的理論，承認實無窮小。提出了超實數(shù)的概念，它包含了實數(shù)作為它的子集，用各種各樣的無窮小擴展了實數(shù)。

(二)什么是非標(biāo)準(zhǔn)分析

20世紀(jì)60年代初，德國數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·魯濱遜(Abraham Robinson)提出非標(biāo)準(zhǔn)分析，重新回到萊布尼茨的實無限進路，并以此為數(shù)學(xué)分析建構(gòu)出一個嚴謹?shù)幕A(chǔ)(10)魯濱遜的《非標(biāo)準(zhǔn)分析》(ROBINSON A.Non-standard analysis[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1966)一書發(fā)表于1966年，書中的某些主題已出現(xiàn)于其1961年的同名文章(ROBINSON A.Non-standard analysis[J].Proceedings of the Royal Society A,1961,64:432-440)中。參見：Non-standard analysis[EB/OL].(2019-03-27)[2019-04-01].https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Non-standard_analysis&oldid=889717193:5.Robinson’s book; ROBINSON A.Introduction to model theory and to the metamathematics of algebra[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1963:278.。數(shù)學(xué)家與邏輯學(xué)家哥德爾(Kurt G?del)說：“不論從哪方面看，非標(biāo)準(zhǔn)分析將會成為未來的數(shù)學(xué)分析……在實數(shù)之后，下一個十分自然的步驟，即引入無限小竟被輕易地忽略了……它在發(fā)明微積分后300年才發(fā)展起來，這是數(shù)學(xué)史上的一件大怪事。”[6]

1.定義與組成

超實數(shù)域*R是將實數(shù)域R作為它的子集的一個系統(tǒng)。其中的實無窮小數(shù)x用δ，ε來表示，這與標(biāo)準(zhǔn)分析對它們的用法不同，如果對于所有的正實數(shù)r，有|x|r。實數(shù)和超實數(shù)都是有序(ordered sequences)的，例如可以由小到大(或由大到小)排個隊。這些都是實數(shù)與超實數(shù)的共同性質(zhì)。在這方面，它們是同構(gòu)的。這個組成可以用下面的超實數(shù)組成圖表示。(見圖3)

圖3 超實數(shù)組成圖[7]

2.運算法則

非標(biāo)準(zhǔn)分析認為在任何兩個實數(shù)之間有許多(前面講過是無限多個)無窮小存在。至少有這樣的法則：無窮小×有限量=無窮小，無窮小+無窮小=無窮小，[8]很可能還有一個公式：無窮小×無窮大=有限數(shù)。萊布尼茨正是以這個公式求得圓的面積和曲線的周長(12)萊布尼茨的學(xué)生洛必達在《無限小分析》(L′HPITAL G D.Analyse des Infiniment Petits pour l′Intelligence des Lignes Courbes[M].Paris:Imprimerie royale,1696.)以公理的形式寫道：“第二公理：曲線是由無窮多個長度為無限小量的直線組成”。參見：張錦文.無限小量方法與非標(biāo)準(zhǔn)分析[J].曲阜師院學(xué)報(自然科學(xué)版),1979(1):1-7.。魯濱遜說*R除了它是非阿基米德域這一點外，其他性質(zhì)與R相同，稠密性、有序性等等在*R中同R一樣，能進行加、減、乘、除等運算[9]。實數(shù)數(shù)學(xué)中的結(jié)合律、交換律、分配律、同一律、傳遞律在超實數(shù)中都成立。而最基本的與實數(shù)域同構(gòu)的運算法則可以用公式簡要表示為：*R= (*R ,+, ?，<) 這里*R為超實數(shù)有序域，*R為超實數(shù)；它們同構(gòu)于實數(shù)域R= (R，+, ?，<)。

根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)分析，如果x，y∈*R，并且x-y是無窮小，則稱x與y彼此無限逼近，記作x≈y；如果x，y是有限的超實數(shù)，則x≈y≈r，r為唯一實數(shù)。我們稱r為x，y的標(biāo)準(zhǔn)部分，記作：r=st(x) 和r=st(y),即st(x)=st(y) 。獨立變量的導(dǎo)數(shù)的定義就是df(x)/dx=st((f(x+Δx)-f(x))/Δx)，這里實無窮小Δx≈0。

圖4 積分圖

(三)非標(biāo)準(zhǔn)分析對標(biāo)準(zhǔn)分析的批評

關(guān)于連續(xù)性，從標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點看，在數(shù)軸上，實數(shù)不但是稠密的、有序的，而且是連續(xù)的。因為實數(shù)在進到一點之后，無下一點可言，所有的點都是連起來的?？墒菑姆菢?biāo)準(zhǔn)分析的觀點看，在任何兩個標(biāo)準(zhǔn)點之間有無數(shù)的實無窮小，這就打破了標(biāo)準(zhǔn)分析及其運動概念的連續(xù)性。因為從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點看，數(shù)軸上的點的長度就只是0，線段如果是點的集合，那么數(shù)軸上無限個0的集合也只能是0。與此相反，實無窮小無論怎樣小，超實數(shù)數(shù)軸都是離散的，在數(shù)軸上總有一個不能忽略的長度，正是它足夠?qū)?shù)軸填滿，我們說過它被假定有無限個長度點，這豈不是芝諾對了，這里有數(shù)不完的空間點要數(shù)。但是，在數(shù)空間點的數(shù)量的有限時間里也有數(shù)不完的時間點。我們在非標(biāo)準(zhǔn)分析的運算法則中創(chuàng)立了一個公式：“無窮小×無窮大=有限數(shù)”，這等于說“無窮大÷無窮大=有限數(shù)”。這意味著阿基里斯能夠在足夠的時間里走過有限的實數(shù)距離。如果實無窮小意味著它在數(shù)軸上有連續(xù)性，運動便可以連續(xù)走過去。無論怎么說，芝諾第一悖論的“阿基里斯趕不上龜”不能成立：阿基里斯可以趕上龜。[10]

關(guān)于黑格爾的矛盾運動觀念，陳文從標(biāo)準(zhǔn)分析的極限論出發(fā)，認為只要有一個無窮小變量的觀念，在此種變量觀念下，“在這一點又不在這一點”便很好解釋(初步辯護)并且又不違反形式邏輯。殊不知黑格爾和恩格斯講矛盾運動時從來就是指“既是(在這一點)又不是(在這一點)”，他們在該意義下明確地說了這是違反形式邏輯的。相反，非標(biāo)準(zhǔn)分析講的運動從來就是符合(形式)邏輯的，而且它的建立首先從邏輯上得到很好的論證。在這里，黑格爾沒有得到任何便宜，他也不想得到這個便宜。

(四)非標(biāo)準(zhǔn)分析與芝諾悖論

從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點看，芝諾悖論(13)關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)分析與芝諾悖論的一些參考文獻：SALMON W C.Space, time and motion[M].Minneapolis:University of Minnesota Press,1980; DOWDEN B. Zeno’s paradoxes[EB/OL].[2019-04-01].https://www.iep.utm.edu/zeno-par/；MCLAUGHLIN W I.Resolving Zeno’s paradoxes[J].Scientific American,1994,271(5):84-89；MCLAUGHLIN W I, MILLER S L.An epistemological use of nonstandard analysis to answer Zeno’s objections against motion[J].Synthese,1992,92(3):371-384；PAPA-GRIMALDI A.Why mathematical solutions of Zeno’s paradoxes miss the point: Zeno’s one and many relation and Parmenides’prohibition[J].The Review of Metaphysics,1996,50(2):299-314； Zeno’s paradoxes[EB/OL].(2019-02-20)[2019-04-01].https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeno%27s_paradoxes&oldid=884310256.主要是三個問題：阿基里斯趕不上龜，一分為二永遠數(shù)不完和飛矢不動。無論實無窮小是多么短的線段，不論烏龜走得多遠，一分為二分得多細，都可以將它數(shù)完(或量度完)。這樣，芝諾悖論的問題便集中在“飛矢不動”上。從“飛矢不動”看，在每一個時刻點上，飛矢的確是不動的。無論標(biāo)準(zhǔn)分析還是非標(biāo)準(zhǔn)分析都是如此。必須在一個區(qū)間里，例如(a，b)里，才能說它從a點運動到b點。這就是羅素的at-at理論。(“運動的at此時-at此地的理論”)這個觀點首先是亞里士多德提出來的。這又是關(guān)系到一個長度是怎樣被形成、是怎樣被經(jīng)過的問題，它首先要求有一個時間段落，對應(yīng)著它才有一個被決定的空間段落，如果速度等于零，它還是不動的。羅素的意見是，運動是位置對于時間的函數(shù)，無論標(biāo)準(zhǔn)分析還是非標(biāo)準(zhǔn)分析情況都是這樣。按照這個意見，黑格爾沒有得到任何便宜：從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點看，在數(shù)軸上當(dāng)t進到實數(shù)劃分的t1處時，s只能夠按照s=f(t) 在s1處，不能同時在s2處(這里s1≠s2)。而在數(shù)軸上，當(dāng)t進到超實數(shù)劃分的t1+ε1處時，按照*s=f(t+ε)，它只能在f(t1+ε1)處，不能也在另一個地方，例如f(t1+ε2)處。這里ε1與ε2都是實無窮小，它們不定義在自然數(shù)和實數(shù)上。而是在實數(shù)之外進行定義，黑格爾自我欣賞的在這里又不在這里的自相矛盾是錯誤的。非標(biāo)準(zhǔn)分析沒有這個錯誤。

事實上，用戴德金分割來解決芝諾悖論只是一個權(quán)宜之計，因為它先要有一個前提。戴德金分割解決了實數(shù)是有理數(shù)與無理數(shù)的集合這一問題，這是該進路的貢獻，但是沒能觸及到“數(shù)軸是點的集合”這一前提。對此，我們可以從超實數(shù)的研究得到一些啟示。我們的進路不但要從數(shù)學(xué)模型的觀點來分析運動，而且要從物理學(xué)的觀點分析運動，這時運動的物體是有長度的，夸克也是有長度的，從這個觀點看，芝諾悖論是很容易駁倒的。不過這是非標(biāo)準(zhǔn)分析微積分，它是未來的微積分，現(xiàn)在，柯西的微積分占了主導(dǎo)地位。用非標(biāo)準(zhǔn)分析來講授微積分，目前在美國的大學(xué)里也只是試驗性的。本文也只是以非標(biāo)準(zhǔn)分析解決芝諾悖論與辯證法運動論題的初步嘗試，望能拋磚引玉，引起學(xué)界對此研究進路的重視。