史瓊怡

摘要： 本文從“橢圓定義”入手剖析教材，發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知“疑點(diǎn)”。借助HPM微課進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，意在通過數(shù)學(xué)史滲透發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到落實(shí)“立德樹人”的教育目標(biāo)。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)本質(zhì);HPM微課;核心素養(yǎng);優(yōu)化教學(xué)

中圖分類號(hào)： G633.6 ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ?文章編號(hào)： 1992-7711（2019）22-056-1

一、反思教材，發(fā)現(xiàn)教學(xué)難點(diǎn)

橢圓是學(xué)生接觸的首個(gè)圓錐曲線，因此它的教學(xué)起著舉足輕重的示范作用。教材由兩個(gè)探究活動(dòng)引出定義。

活動(dòng)一：將長(zhǎng)繩的兩端固定于同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖。

活動(dòng)二：將長(zhǎng)繩的兩端分別固定于兩點(diǎn)，移動(dòng)筆尖。

學(xué)生通過類比發(fā)現(xiàn)橢圓與圓的共性，從而得到軌跡定義。但橢圓的幾何本源——截線定義被置于章頭圖中，荷蘭數(shù)學(xué)家旦德林發(fā)明的雙球模型呈現(xiàn)于課后的“探究與發(fā)現(xiàn)”。大多數(shù)教師易忽略這兩處幾何素材。學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)中已經(jīng)有了橢圓形狀的表象，能自然地理解截線定義，后經(jīng)學(xué)習(xí)又獲得了橢圓代數(shù)形式的表象，即軌跡定義。但傳統(tǒng)教學(xué)并未將這兩者聯(lián)系起來，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知割裂。旦德林的雙球模型實(shí)現(xiàn)了從截線定義到軌跡定義的過渡，是橢圓教學(xué)的理想模型。該模型不僅能展現(xiàn)橢圓截線定義又蘊(yùn)含了軌跡定義，既有幾何直觀又有嚴(yán)謹(jǐn)證明，幫助學(xué)生填平兩種表象間的鴻溝，深刻理解橢圓內(nèi)涵。

二、借力微課，重構(gòu)教學(xué)場(chǎng)景

HPM微課選取三個(gè)常見情境作為引入：“半杯水”的設(shè)計(jì)為截線定義鋪墊;“握力器的形變”通過演示圓到橢圓的變換，揭示兩者的聯(lián)系;“球的影子”是為引出探究實(shí)驗(yàn)和雙球模型。微課設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)幫助構(gòu)造雙球模型：①用幾何畫板模擬平行光照射小球，研究球在地面上的影子，并將平行光線看做一個(gè)與球相切的圓柱面，影子的橢圓形輪廓可以看成圓柱面與平面的交線。（圖1）②尋找橢圓輪廓上的點(diǎn)P，光線與球面的切點(diǎn)Q，球與地面切點(diǎn)F之間的關(guān)系。③模型豎置，逐步構(gòu)造雙球模型。（圖2）

三、基于素養(yǎng)，評(píng)價(jià)教學(xué)效果

史寧中先生提出數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界?！叭龝?huì)”目標(biāo)正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)。HPM微課旨在通過數(shù)學(xué)史滲透教學(xué)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，扎實(shí)“四基”，提升“四能”。

1.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象主要是指從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從具體中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，它是形成理性思維的基礎(chǔ)，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)。微課共進(jìn)行了五次數(shù)學(xué)抽象。①通過三個(gè)橢圓實(shí)物，喚起學(xué)生腦海中對(duì)橢圓形狀的直觀表象，從而引出截線定義。②抽象實(shí)驗(yàn)過程，將平行光線看做一個(gè)與球相切的圓柱面，影子的橢圓形輪廓看成圓柱面與平面的交線。③研究“三點(diǎn)”關(guān)系，抽象成數(shù)學(xué)等式。④進(jìn)一步抽象構(gòu)造雙球模型，將原先的不變關(guān)系轉(zhuǎn)化成兩球切點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的關(guān)系。⑤發(fā)現(xiàn)模型中的定長(zhǎng)，將點(diǎn)線關(guān)系一般化，得到橢圓的軌跡定義。在一次次抽象中，學(xué)生逐漸清晰橢圓的幾何本質(zhì)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，培養(yǎng)在生活中用數(shù)學(xué)思維思考問題的習(xí)慣。

2.培育直觀想象素養(yǎng)

直觀想象不等同于“數(shù)形結(jié)合”，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型，探索解決問題的思路。正如數(shù)學(xué)家克萊因曾說：“當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)主題在直觀上變得顯然時(shí)，才可以認(rèn)為研究到頭了?！蔽⒄n通過以下環(huán)節(jié)培育直觀想象素養(yǎng)：①展示正對(duì)頂圓錐，動(dòng)畫演示當(dāng)不同角度的平面截對(duì)頂圓錐得到的三類曲線，宏觀上發(fā)現(xiàn)三類曲線的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)造知識(shí)框架。②通過平行光照射小球?qū)嶒?yàn)研究橢圓影子上的點(diǎn)與兩切點(diǎn)間線段關(guān)系，并讓點(diǎn)動(dòng)起來，進(jìn)一步尋探究不變量，幫助學(xué)生順利進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。動(dòng)畫的介入能發(fā)展學(xué)生幾何直觀和空間想象能力，讓學(xué)生在具體情境中感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在回歸概念本質(zhì)的同時(shí)，這兩節(jié)HPM微課還滲透著育人的理念，用實(shí)例教學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察，數(shù)學(xué)地思考，滲透著數(shù)學(xué)美感和精神品質(zhì)教育。

HPM微課是建立在對(duì)課本深入理解基礎(chǔ)上，突出科學(xué)性、史實(shí)性、人文性、趣味性等特點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)。其教學(xué)意義在于：利用數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，賦予數(shù)學(xué)人文意義，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終將其內(nèi)化為核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教師要革新教育理念，大膽創(chuàng)新，將數(shù)學(xué)史的“料”與微課的“形”相結(jié)合，使數(shù)學(xué)史煥發(fā)新活力，為課堂添磚加瓦，助力學(xué)生素養(yǎng)提升。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018;3-10.

[2]孫雨琴，婁慧敏，朱哲.HPM視角下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特點(diǎn)初探[J].蘇州：中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（11）：45-48.

注：本文是全國(guó)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度教育部重點(diǎn)課題“基于HPM視角下的高中數(shù)學(xué)系列微課開發(fā)研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：DCA180419）的階段研究成果。

（作者單位：浙江省寧波市五鄉(xiāng)中學(xué)，浙江 寧波 315000）