基于匹配追蹤和變分模態(tài)分解的電氣化鐵路諧波檢測

(石家莊鐵道大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 河北石家莊050043)

隨著電氣化鐵路的高速發(fā)展和高速鐵路列車的大規(guī)模開行，電力電子器件以及具有沖擊性的列車負(fù)載等大量的非線性負(fù)荷也投入實(shí)際應(yīng)用，致使?fàn)恳╇娤到y(tǒng)受到嚴(yán)重污染[1]，電流電壓波形產(chǎn)生畸變，大量的諧波由此產(chǎn)生，牽引供電電能質(zhì)量問題日趨復(fù)雜。諧波是當(dāng)前電氣化鐵路主要的公共安全危害之一，它的存在會導(dǎo)致設(shè)備損壞，給通信系統(tǒng)造成干擾，使自動控制、保護(hù)裝置錯(cuò)誤動作等[2]，對牽引網(wǎng)造成不利影響，因此，解決電氣化鐵路中的諧波問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[3]， 這其中的首要任務(wù)就是準(zhǔn)確檢測出諧波。

諧波治理是牽引供電系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)， 準(zhǔn)確、 有效地檢測諧波含量是分析和治理諧波的重要前提。本文中將對諧波含量檢測的準(zhǔn)確性問題進(jìn)行研究，進(jìn)而利用諧波補(bǔ)償裝置進(jìn)行治理。目前諧波檢測的主要方法有瞬時(shí)無功功率理論、傅里葉變換、小波變換方法等。基于瞬時(shí)無功功率理論的諧波檢測的方法具有實(shí)時(shí)性強(qiáng)的特點(diǎn)，在檢測無功電流時(shí)可以實(shí)現(xiàn)無延時(shí)檢測。由于瞬時(shí)無功功率理論是基于三相三線制提出的，而電氣化鐵路牽引供電是單相交流制，因此，該方法用于單相檢測時(shí)，其檢測電路較為復(fù)雜，且需要鎖相環(huán)來保持同步[4]?；诟道锶~變換原理的算法是目前諧波檢測應(yīng)用最廣泛的，具有精度高等優(yōu)點(diǎn)，但是其計(jì)算量較大，實(shí)時(shí)性較差，會出現(xiàn)柵欄效應(yīng)、頻譜泄露的問題，在檢測非平穩(wěn)信號時(shí)有局限。小波變換被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡，針對被檢測信號不同部位可以采用不同的分析方法，具有良好的時(shí)頻局部性分析作用，但是檢測諧波存在窗口能量分散、頻率混疊等無法避免的問題，且小波基與分解層數(shù)的選擇較為困難。為此，本文中提出一種基于匹配追蹤(MP)算法和變分模態(tài)分解(VMD)算法的諧波檢測方法，以準(zhǔn)確地檢測出電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)的諧波分量。

1 MP算法

自MP算法提出以來， 其思想一度成為稀疏分解的研究熱點(diǎn)， 成為稀疏分解實(shí)現(xiàn)最快的方法[5]。 該算法將信號在完備字典庫上進(jìn)行分解， 在最優(yōu)原子選取與線性組合的問題上給出了解決辦法。

設(shè)Q={vγ}γ∈Γ為過完備原子庫，vγ為參數(shù)組γ定義的原子，將vγ歸一化，Γ為參數(shù)組γ的集合。為了構(gòu)造冗余原子庫，集合Γ中原子的數(shù)量遠(yuǎn)大于Q={vγ}γ∈Γ信號的長度[6]。

將信號與原子庫中原子作內(nèi)積，確定內(nèi)積最大時(shí)的原子為最優(yōu)原子，計(jì)算公式為

(1)

式中：f為待分解信號；vγ0為得到的最優(yōu)原子?？梢詫⑿盘杅分解為最優(yōu)原子vγ0上的分量和殘余，即

f=〈f,vγ0〉vγ0+R1f，

(2)

式中R1f為用最優(yōu)原子對待分解信號進(jìn)行最佳匹配后的殘余信號。

重復(fù)以上過程，繼續(xù)對殘余信號進(jìn)行分解，

Rkf=〈Rkf,vγk〉vγk+Rk+1f，

(3)

式中vγk滿足

(4)

由式(2)、(3)可知，經(jīng)過n次迭代，信號最后被分解為

(5)

式中Rnf為最終的殘余信號。隨著迭代次數(shù)的不斷增加，殘余信號將會逐漸衰減至0。

構(gòu)造諧波仿真信號

(6)

式中t為時(shí)間， s。

在仿真信號上加入噪聲后，利用小波硬閾值分解和稀疏分解進(jìn)行降噪，諧波仿真信號、加噪后信號及降噪后信號如圖1所示，其中，a為構(gòu)造的諧波仿真信號，b為加入幅值為1.1倍的隨機(jī)噪聲后的信號， c、 d分別為小波硬閾值處理和MP稀疏分解的降噪結(jié)果。 從圖中可以看出，MP稀疏分解的去噪效果比小波硬閾值處理要好， 且小波硬閾值法只有選取的小波基與原信號相似度較大時(shí)， 其降噪效果較好， 但是小波基的選取難度較大， 因此利用MP稀疏分解并降噪更有效。

2 VMD算法

2014年，Dragomiretskiy等[7]提出一種非遞歸、自適應(yīng)VMD算法，通過迭代找到原始信號的頻率中心和帶寬的最優(yōu)解，從而將不同頻段的信號進(jìn)行自適應(yīng)分離。VMD算法是一種新的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法，具有魯棒性好、收斂快等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于軸承和齒輪等機(jī)械故障的診斷，可以實(shí)現(xiàn)對混合頻率信號的有效分離[6]。由于電氣化鐵路諧波信號也屬于混合頻率信號，因此理論上VMD也可用于諧波的檢測。變分模型的迭代求解是其分解過程的本質(zhì)，VMD通過求解變分問題，得到幾個(gè)帶寬有限的模態(tài)分量，利用固有模態(tài)函數(shù)(IMF)可定義具有相對固定幅值和頻率的信號[8]，即

uk(t)=Ak(t)cos[φk(t)]，

(7)

a—原始仿真信號；b—加噪后信號；c—硬閾值處理；d—匹配追蹤(MP)稀疏分解。圖1 諧波仿真信號及加噪和去噪結(jié)果

式中：Ak(t)為瞬時(shí)幅值；φk(t)為瞬時(shí)相位。瞬時(shí)頻率為ωk(t)=dφk(t)/dt，且ωk(t)>0。相比于相位函數(shù)，幅值函數(shù)和頻率函數(shù)的變化較為緩慢，因此在一定時(shí)間內(nèi)，可以將uk(t)看作頻率和振幅固定的信號。首先將每個(gè)IMF分量進(jìn)行希爾伯特變換，得到信號的單邊頻譜

(8)

式中：δ(t)為狄利克雷系數(shù)； *為卷積運(yùn)算符。 通過指數(shù)修正， 可以將希爾伯特變換后的信號與中心頻率e-jωkt融合， 這樣就得到了頻譜在基帶上的IMF分量

(9)

求L2范數(shù)，獲得各IMF分量的帶寬，相應(yīng)的變分約束表達(dá)式為

(10)

式中：K為IMF分量的個(gè)數(shù)；uk={u1,u2,…,uK}；ωk={ω1,ω2,…,ωK}；?t為求偏導(dǎo)運(yùn)算符。

利用Lagrange乘法算子λ(t) 和二次懲罰因子α可以計(jì)算得到上述變分約束表達(dá)式的最優(yōu)解，其中λ(t)保持了約束條件的嚴(yán)格性，α保證了重構(gòu)信號在噪聲環(huán)境中的精度[6]。拓展的Lagrange表達(dá)式為

L({uk},{ωk},λ)=

(11)

式中f(t)為時(shí)間信號。

利用交替方向乘子算法(ADMM)，通過交替迭代更新{uk}、{ωk}、λ來求取上述增廣Lagrange函數(shù)的鞍點(diǎn)[9]，即式(10)的最優(yōu)解。算法實(shí)現(xiàn)過程如下：

2)開始迭代n=n+1。

(12)

更新ωk，

(13)

式中||為求模運(yùn)算。更新λ，

(14)

式中r為噪聲容限參數(shù)。

4)重復(fù)步驟2)、 3)的迭代過程，直到滿足約束條件

(15)

VMD過程結(jié)束，得到K個(gè)IMF分量。

利用由式(6)構(gòu)造的諧波信號進(jìn)行VMD分解，其結(jié)果如圖2所示。由圖可知，在沒有噪聲干擾的情況下，VMD算法可以對諧波信號進(jìn)行有效分解，顯而易見，在0～0.1 s之間存在基頻信號和三次諧波，在0.1～0.2 s之間存在基波、四次諧波和五次諧波信號。

3 基于MP算法和VMD算法的諧波檢測

VMD算法不能精確地提取出強(qiáng)噪聲中的信號特征[10]，但對低噪混合頻率信號能有效分解，MP算法有較好的去噪效果，因此將兩者結(jié)合進(jìn)行電氣化鐵路的諧波檢測。本文中通過利用MP稀疏分解重構(gòu)出去噪后的原始信號，降低信號噪聲。再將降噪之后的信號通過VMD實(shí)現(xiàn)各諧波模態(tài)的分離，再利用快速傅里葉變換(FFT)得出各模態(tài)的特征頻率，進(jìn)而得出電氣化鐵路中牽引供電系統(tǒng)的諧波含量。檢測流程如圖3所示。

a—諧波仿真信號；b—固有模態(tài)函數(shù)1(IMF1)；c—固有模態(tài)函數(shù)2(IMF2)；d—固有模態(tài)函數(shù)3(IMF3)；e—固有模態(tài)函數(shù)4(IMF4)。圖2 諧波仿真信號及變分模態(tài)分解結(jié)果

圖3 諧波信號處理流程圖

VMD首先需要設(shè)置模態(tài)分解的個(gè)數(shù)K、懲罰因子α和噪聲耐受程度τ等參數(shù)。對被檢測信號進(jìn)行頻譜預(yù)處理可得到參數(shù)K。由文獻(xiàn)[11]可知：α越小，分解得到的各個(gè)分量的帶寬越大；反之，分量信號帶寬越小，α取值不能過大或者過小。τ表征噪聲耐受程度，其值越小，噪聲耐受程度越強(qiáng)。

按照設(shè)置的參數(shù)進(jìn)行VMD分解，將諧波信號分解成K個(gè)模態(tài)分量，每個(gè)模態(tài)分量表示一種諧波成分。

4 仿真與實(shí)測數(shù)據(jù)分析

為了驗(yàn)證本文中所提諧波檢測方法的有效性，利用MATLAB軟件對本文中所提算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測數(shù)據(jù)分析。仿真信號采樣頻率設(shè)為10.24 kHz，VMD參數(shù)為K，依據(jù)諧波信號特點(diǎn)取4，噪聲耐受程度τ取0。

4.1 仿真分析

由于牽引供電系統(tǒng)中諧波問題較為突出，其中往往三次、五次諧波較為嚴(yán)重，因此以式(6)構(gòu)造的諧波信號為基礎(chǔ)進(jìn)行仿真，該諧波信號在0～0.1 s之間由基頻和三次諧波組成，在0.1～0.2 s之間由基波、四次和五次諧波構(gòu)成。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于信號通常都不是理想的，會存在一定的噪聲干擾，因此需要疊加一定的噪聲，在諧波信號上疊加幅值為1.1倍的隨機(jī)噪聲。因?yàn)闃?gòu)造的諧波信號的基波最大幅值為2 V，所以1.1倍的隨機(jī)噪聲相當(dāng)于強(qiáng)噪聲。此時(shí)不進(jìn)行去噪處理，直接用VMD對加有較強(qiáng)噪聲的諧波信號進(jìn)行分解，得到的結(jié)果如圖4所示。由圖可以看出，在加有強(qiáng)噪聲干擾的情況下，VMD結(jié)果出現(xiàn)了模態(tài)混疊現(xiàn)象，IMF2、 IMF3、 IMF4分量出現(xiàn)了不同程度的混疊，其中IMF4分量有明顯的混疊，會導(dǎo)致頻率混疊，從而不能有效地提取出諧波的特征頻率。

為此， 首先對該信號進(jìn)行去噪處理， 利用MP算法對原始信號進(jìn)行稀疏分解去噪處理，重構(gòu)出諧波信號，結(jié)果如圖5所示。再利用VMD算法對MP稀疏分解重構(gòu)出的諧波信號進(jìn)性分解，得出特征頻譜，分解結(jié)果及對應(yīng)頻譜分別如圖6所示，其中，IMF1是0～0.2 s的50 Hz信號分量， IMF2是0～0.1 s的150 Hz信號分量， IMF3是0.1～0.2 s的200 Hz信號分量， IMF4是0.1～0.2 s的250 Hz信號分量。 由圖5可以看出， 加噪后諧波仿真信號， 經(jīng)MP算法稀疏分解后， 去噪的效果較好， 基本上還原出了諧波仿真信號。 由圖6可以看出， 將去噪后的信號進(jìn)行VMD， 得到的各個(gè)IMF沒有發(fā)生模態(tài)混疊，準(zhǔn)確地提取出了各次諧波頻率，證明了該方法對電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)諧波的特征頻率提取具有很好的效果。

a—加噪諧波仿真信號；b—固有模態(tài)函數(shù)1(IMF1)；c—固有模態(tài)函數(shù)2(IMF2)；d—固有模態(tài)函數(shù)3(IMF3)；e—固有模態(tài)函數(shù)4(IMF4)。圖4 含噪信號直接變分模態(tài)分解結(jié)果

a—加噪后信號；b—MP稀疏分解。圖5 原始信號與匹配追蹤(MP)稀疏分解后信號

圖6 經(jīng)匹配追蹤稀疏分解后變分模態(tài)分解結(jié)果及對應(yīng)頻譜

利用VMD算法對MP稀疏分解重構(gòu)出的諧波信號檢測結(jié)果如表1所示， 其中基波理論幅值在0～0.1 s是2 V， 0.1～0.2 s是1 V；基波實(shí)際幅值在0～0.1 s是1.989 V，在0.1～0.2 s是0.974 V。

表1 本文中所提方法的諧波檢測結(jié)果

在諧波檢測中，目前廣泛應(yīng)用的檢測方法是FFT，利用FFT直接對含噪聲的仿真諧波信號進(jìn)行諧波檢測，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7 快速傅里葉變換諧波檢測結(jié)果

雖然FFT有較短的延時(shí)，而VMD相對延時(shí)較長，但是FFT一旦分辨率確定就不能更改。由圖7可看出，噪聲的存在使得在FFT檢測的諧波結(jié)果中出現(xiàn)了高次諧波，導(dǎo)致其結(jié)果存在誤差，分析結(jié)果不準(zhǔn)確。

此外，小波分析是一種時(shí)頻分析，在諧波分析方面有著非常廣闊的應(yīng)用前景。小波變換在諧波檢測中避免了傅里葉變換時(shí)域和頻域的局部性問題，能對不同的頻率成分采用逐漸精細(xì)的采樣步長，兼顧時(shí)域與頻域分辨率；但是，小波分析的應(yīng)用并不成熟，目前小波基的選取以及頻率混疊等問題突出，因此小波分析不能完全替代傅里葉變換。本文中用小波變換首先將含噪諧波信號分解成不同頻率成分信號，然后選取db5(Daubechies 5)小波基來進(jìn)行分解，結(jié)果如圖8所示。由圖可看出，經(jīng)過小波分解，含噪諧波信號出現(xiàn)不同的頻率混疊現(xiàn)象，原因是小波對含噪諧波信號分解的頻率分辨率較差，未將200、250 Hz分量分解開，導(dǎo)致頻率混疊。

圖8 小波分解諧波結(jié)果

通過對比直接VMD、FFT、小波分解的特征頻率提取方法可知，VMD能有效提取信號的特征頻率，但是在有噪聲的情況下，噪聲的存在會造成一定的干擾。FFT算法雖然廣泛應(yīng)用于諧波檢測且精度較高，但是會出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，并且受噪聲的影響較大。小波分析的方法需根據(jù)被測信號的特點(diǎn)選取特定的小波基和分解層次，而且會出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象。綜合上述分析，本文中采用稀疏分解結(jié)合VMD算法可以更有效地檢測諧波。

4.2 實(shí)測數(shù)據(jù)分析

將在電氣化鐵路牽引變電所實(shí)測得到的電流原始數(shù)據(jù)用該方法進(jìn)行處理。把實(shí)際測得的一部分?jǐn)?shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB軟件中，波形如圖9所示，用本文中所提方法進(jìn)行處理，結(jié)果如圖10所示。

圖9 電氣化鐵路牽引變電所實(shí)測電流信號

由圖9可以看出，這段時(shí)間內(nèi)電流幅值逐漸增大，幅值由75 A增大至161 A。圖10中每個(gè)分解結(jié)果所對應(yīng)的相關(guān)的主要數(shù)據(jù)如表2所示，用實(shí)驗(yàn)室工控機(jī)所測諧波主要結(jié)果如表3所示。

圖10 實(shí)測信號稀疏分解后變分模態(tài)分解結(jié)果及對應(yīng)頻譜

表2 本文中所提方法實(shí)測信號的諧波結(jié)果

表3 工控機(jī)的諧波測量結(jié)果

該電氣化鐵路牽引供電電流信號在這段時(shí)間內(nèi)基頻幅值為106.400 A， 同時(shí)含有較少的直流和二次諧波分量， 其他分量過小可忽略。 分析結(jié)果與工控機(jī)分析結(jié)果相符合， 證明了基于MP算法和VMD算法可以有效檢測出電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)的諧波含量， 為解決電氣化鐵路牽引供電諧波檢測提供了一種有效的方法。

5 結(jié)論

本文中將MP算法和VMD算法相結(jié)合，應(yīng)用于電氣化鐵路牽引供電諧波信號的檢測， 利用MP算法對含噪諧波信號進(jìn)行稀疏分解，重構(gòu)出諧波信號，以此達(dá)到去噪的效果，然后通過VMD對去噪后的諧波信號進(jìn)行分解，并得出相應(yīng)的特征頻率，實(shí)現(xiàn)了對電氣化鐵路引供電含噪諧波信號的檢測。通過仿真與實(shí)測數(shù)據(jù)分析表明：

1)通過直接VMD、FFT和小波分解的對比分析，驗(yàn)證了基于MP和VMD在分解含噪諧波信號上的優(yōu)越性。

2)基于VMD和稀疏分解的牽引供電系統(tǒng)諧波檢測方法可以有效地提取特征頻率，MP算法可以達(dá)到較好的去噪效果，再經(jīng)VMD算法解決了小波算法的混疊問題。

3)該方法具有較好的檢測精度，滿足牽引供電系統(tǒng)諧波檢測的要求，可用于復(fù)雜的含噪諧波信號的檢測。

由于MP算法和VMD算法需通過不斷迭代計(jì)算，最終實(shí)現(xiàn)復(fù)雜諧波信號的頻率檢測，計(jì)算量較大，因此實(shí)時(shí)性不夠好，主要用于實(shí)時(shí)性要求不高的場合，如離線諧波檢測等。