華兵

【摘要】文章論述了有效建模的意義及與結(jié)構(gòu)化教學(xué)之間的聯(lián)系，并以“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)為例，提出有效建模的過程：在具體實(shí)例中抽象提取模型;在圖示和辨析中解讀理解模型;在探究和交流中運(yùn)用模型;在拓展性問題中深化模型。

【關(guān)鍵詞】有效建模 結(jié)構(gòu)化教學(xué) 因數(shù)和倍數(shù)

一、有效建模的意義與價(jià)值

（一）建模的含義

建模就是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，“即把某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系抽象出來，用數(shù)學(xué)概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。”

建模是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式，學(xué)生腦中一旦建立了模型，就能溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，能熟練地將日常生活中的事物與數(shù)學(xué)進(jìn)行聯(lián)系，找到數(shù)量之間的關(guān)系，并能運(yùn)用所學(xué)到的知識(shí)去分析、解決實(shí)際問題，從而深刻體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。因此，“建模的思想方法能增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，也是能深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的數(shù)學(xué)素質(zhì)之一?！?/p>

（二）有效建模的過程

由于年齡特點(diǎn)小學(xué)生思維以直觀形象化為主，而建模的過程是一個(gè)數(shù)學(xué)高度抽象化的過程，因此對(duì)小學(xué)生來說有一定的難度。為實(shí)現(xiàn)有效建模，需要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過程，即首先要從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用符號(hào)、字母等表示出模型，再運(yùn)用模型推理、計(jì)算，解決實(shí)際問題。學(xué)生只有充分經(jīng)歷了這些過程之后，才會(huì)深刻理解模型，在腦中切實(shí)建構(gòu)模型，也才能更好地活用模型，從而實(shí)現(xiàn)有效建模的過程。

二、有效建模與結(jié)構(gòu)化教學(xué)的聯(lián)系

（一）結(jié)構(gòu)化教學(xué)

新結(jié)構(gòu)主義理論家布魯納指出， “學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”“如果你理解了知識(shí)的結(jié)構(gòu)，你無須為了知道各個(gè)事物的屬性與每一個(gè)事物打交道，只要通過對(duì)某些深?yuàn)W原理的掌握，便有可能推斷出所要知道的個(gè)別事物”。所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要讓學(xué)生生長(zhǎng)結(jié)構(gòu)、發(fā)展結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)思維。

而結(jié)構(gòu)化教學(xué)則要求教師著眼于全局，要站在概念的“整體性”“系統(tǒng)性”的高度，抓住每節(jié)課的核心知識(shí)、數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)并發(fā)現(xiàn)這些知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系和內(nèi)在結(jié)構(gòu)，從而形成清晰的、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（二）相互關(guān)聯(lián)，架起橋梁

結(jié)構(gòu)化教學(xué)更側(cè)重于數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，突出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。而建模思想是基于事物之間、知識(shí)之間的聯(lián)系，抽象出其中本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)起模型。二者之間的共同點(diǎn)都是突出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而模型的建構(gòu)更能凸顯知識(shí)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)聯(lián)系，并使其直觀化、外顯化，更方便靈活運(yùn)用。所以在教學(xué)中做到有效建模，也就順利架起了結(jié)構(gòu)化教學(xué)的橋梁。

三、有效建模的實(shí)踐

“因數(shù)和倍數(shù)”這一單元的知識(shí)屬于“數(shù)論”的初步知識(shí)，概念比較多，有些概念還比較抽象，很難理解，而且概念的前后聯(lián)系又很緊密，勢(shì)必會(huì)讓部分學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生一定的困難。作為第一課時(shí)的起始知識(shí)點(diǎn)“因數(shù)”和“倍數(shù)”，對(duì)概念的含義的理解尤為重要。要讓學(xué)生充分理解因數(shù)和倍數(shù)的概念，就必須抓準(zhǔn)、抓牢本節(jié)課的核心知識(shí)，即“（）×（）=（）”這道乘法算式的模型，讓學(xué)生首先構(gòu)建模型，再理解模型，最后運(yùn)用模型，從而把這塊的知識(shí)更加結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生深刻感悟到其中的模型思想，體會(huì)到模型思想的價(jià)值。

（一）操作感悟，提取模型

在具體實(shí)例中抽象模型。學(xué)生從擺方格想到三種不同的方法，從實(shí)例出發(fā)理解因數(shù)和倍數(shù)的意義，然后教師讓學(xué)生自己去想一個(gè)算式，想誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，再問學(xué)生你是怎么想到的，得到從乘法算式可以想到、乘數(shù)是積的因數(shù)、積是乘數(shù)的倍數(shù)，從而抽象出模型，建立了模型，并用括號(hào)和箭頭表示出來。

【教學(xué)片段1：因數(shù)和倍數(shù)的初步認(rèn)識(shí)】

1.拼圖引入

師：你能用12個(gè)相同的小正方形擺成幾種不同形狀的長(zhǎng)方形？再分別說一說你是怎么擺的。（教師板書三道乘法算式）

2.揭示概念

師：以3×4=12這道算式為例，在數(shù)學(xué)上我們說3是12的因數(shù) ……

追問：能單獨(dú)說3是因數(shù)，12是倍數(shù)嗎？

生：不能，因數(shù)和倍數(shù)是指兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，所以一定要說清楚哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)。

3.觀察發(fā)現(xiàn)

師：觀察這三道算式，有什么共同的特點(diǎn)？

生1：都是乘法算式。

生2：都是自然數(shù)。

生3：積都是12。

師：這些數(shù)都是12的因數(shù)，12還有其他因數(shù)嗎？5是不是12的因數(shù)？

生：不是，因?yàn)?×2.4=12，2.4不是自然數(shù)。

師：所以在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，所指的數(shù)一般都是非0 的自然數(shù)。

4.舉例概括

師：同學(xué)們自己想一道算式，并說一說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。

（學(xué)生大組交流）

師：你們?cè)谂e例時(shí)的依據(jù)是什么？

生：我們想到的是（）×（）=（），（上臺(tái)指著說）這個(gè)乘數(shù)和這個(gè)乘數(shù)就是乘積的因數(shù)，乘積就是這個(gè)乘數(shù)的倍數(shù)，也是這個(gè)乘數(shù)的倍數(shù)。

小學(xué)階段的因數(shù)和倍數(shù)的概念并不是數(shù)學(xué)抽象意義上的概念，而是通過若干的舉例，指出兩個(gè)非0自然數(shù)之間存在因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，從而體會(huì)到因數(shù)和倍數(shù)的概念。所以這里要讓學(xué)生充分舉例，并相互說，要在學(xué)生面前提供豐富的實(shí)例，才能讓學(xué)生從大量例子中總結(jié)發(fā)現(xiàn)出兩個(gè)非0自然數(shù)之間的關(guān)系，從而在具體實(shí)例中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型。

（二） 辨析整理，形成模型

在圖式和辨析中理解模型。模型剛抽象、提取出來，還有一部分學(xué)生沒有充分理解，這就需要教師在這一難點(diǎn)中放慢腳步，要給學(xué)生解讀和理解模型的時(shí)間和空間。這里一是讓學(xué)生從圖中，看箭頭中就可以理解它們之間的關(guān)系;二是通過幾道判斷題，對(duì)概念深入理解。其中有一道是除法，讓學(xué)生思考，除法是乘法的逆運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化成乘法，又回到了一開始的模型。

【教學(xué)片段2：鞏固因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)】

師：剛才他們的發(fā)言大家都明白了嗎？如果我們?cè)佼媯€(gè)箭頭表示出來，那就更容易理解了。（教師在黑板上板書，帶領(lǐng)學(xué)生再次理解這個(gè)模型的含義）

（出示幾道判斷題，讓學(xué)生再次充分理解這一模型）

師：第3題你是怎么想的？

生：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，8÷2=4可以轉(zhuǎn)化為4×2=8，那么就可以得到2是8的因數(shù)，8是2的倍數(shù)，這題是對(duì)的。

師：所以說，因數(shù)和倍數(shù)的背后總能找到相應(yīng)的乘法算式或者除法算式。

模型剛剛建立，大多數(shù)學(xué)生還似懂非懂，沒有完全理解。這里通過畫圖、標(biāo)箭頭再次讓學(xué)生理解。通過四道判斷題，讓學(xué)生在辨析中加深對(duì)模型的理解。

（三） 運(yùn)用鞏固，完善模型

在探究和交流中運(yùn)用模型。如利用模型來找因數(shù)和倍數(shù)，首先讓學(xué)生自己去探索怎么找，學(xué)生想到的是用乘法和除法算式去找，（）×（）=36，36÷（）=（），就是前面說的基本模型。找倍數(shù)，想到的是3×（）=（）……無論是找因數(shù)和倍數(shù)，都是萬變不離其宗，用的都是這些基本模型。

【教學(xué)片段3：完善因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)】

1.探索找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法

師：你能找出36所有的因數(shù)嗎？動(dòng)手試試看，完成學(xué)習(xí)單上的探究一。

（1）展示用乘法和用除法的探究單

師：請(qǐng)你說一說你是怎么想的？找36的因數(shù)就是找什么？

生1：只要兩個(gè)數(shù)乘積等于36，那么這兩個(gè)數(shù)就都是36的因數(shù)。

生2：老師，我有補(bǔ)充，只要想（）×（）=36，這兩個(gè)數(shù)就是36的因數(shù)。

生3：用除法也可以，可以想36÷（）=（），括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)就是36的因數(shù)。

師：同學(xué)們真棒！用我們之前的這道乘法算式，就能簡(jiǎn)便地找到36的因數(shù)。

（2）展示無序和有序列舉的探究單

師：這兩個(gè)同學(xué)列舉結(jié)果的寫法你認(rèn)為哪個(gè)更好些？好在哪？

生：我更喜歡從小到大排列的，這種寫法很有序，這樣就能做到不重復(fù)、不遺漏了。

師：大家同意他的觀點(diǎn)嗎？的確，在找一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，不僅要一對(duì)一對(duì)地找，還要注意從小到大地找，先從1開始想起，有序才能不重復(fù)、不遺漏。

2.探索找一個(gè)數(shù)倍數(shù)的方法

師：找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)你會(huì)嗎？我們一起來試試，找出3的倍數(shù)，完成探究二。

學(xué)生自主探索，并在小組內(nèi)交流想法。大組交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥。

師：你是怎樣找3的倍數(shù)的？

生1：只要找3乘幾，用3和自然數(shù)相乘，積就是3的倍數(shù)。

生2：只要從3開始，后面依次加3，得到的數(shù)就是3的倍數(shù)。

生3：我想到的是3×（）=（），從乘1開始想起，乘出的結(jié)果就是3的倍數(shù)。

師：這三位同學(xué)想的方法都很好！其中第三位同學(xué)，他想到的又是一道乘法算式，看來這道乘法算式在找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)中，也是至關(guān)重要的。

當(dāng)學(xué)生對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的模型能充分理解后，開始研究找因數(shù)、倍數(shù)的方法，教師放手，讓學(xué)生自主探究。有的學(xué)生用乘法想，有的學(xué)生用除法想，有的學(xué)生找不全，有的學(xué)生找出的結(jié)果無序，教師需要引導(dǎo)學(xué)生去觀察、比較、總結(jié)、歸納，使學(xué)生在比較、交流中感悟有序思考的必要性和科學(xué)性，也讓學(xué)生深刻感悟到運(yùn)用模型探究問題的好處與便捷。

（四） 拓展提升，活用模型

在拓展性問題中深化模型。最后設(shè)計(jì)了一道綜合性比較強(qiáng)的問題，教師出了幾張數(shù)字卡片，讓學(xué)生根據(jù)它們之間的關(guān)系來找因數(shù)和倍數(shù)，點(diǎn)燃了學(xué)生思維的火花。特別是找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)這題，學(xué)生不僅想到一個(gè)數(shù)就能找到，而且知道最小的數(shù)也能找到這個(gè)數(shù)，第二個(gè)、第三個(gè)、最后一個(gè)，隨意翻開一個(gè)數(shù)都能找到這個(gè)數(shù)。其實(shí)學(xué)生想到的就是用這個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的位置這一除法算式，這個(gè)數(shù)學(xué)模型已深深扎根在學(xué)生的心中，這一知識(shí)已融入學(xué)生原來的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

【教學(xué)片段4：提升因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)】

師：我們做個(gè)小游戲。老師這里有個(gè)神秘的數(shù)，并且和這里的幾張牌有關(guān)，這些牌都是從小到大排列的，你能根據(jù)這些牌找出這個(gè)神秘的數(shù)嗎？

師：這些牌都是28的因數(shù)。你認(rèn)為你要翻開哪些牌就能找出這個(gè)數(shù)？

生：只要翻開最后一張，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)最大的因數(shù)是它本身。

師：如果不允許翻開最后一張呢？

生：翻開第2張和第5張，或者第3張和第4張，因?yàn)樗鼈兊某朔e就是這個(gè)數(shù)。

師：如果這些牌都是8的倍數(shù)，你要翻開哪些牌就能知道這個(gè)數(shù)？

生1：只要翻開第一張，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身。

生2：翻開第二張也行，因?yàn)榈?張是這個(gè)數(shù)的2倍，只要除以2就知道了。

生3：翻開任意一張都可以，只要拿這一張除以它的位置，都能得到這個(gè)數(shù)。

……

學(xué)生已能熟練運(yùn)用模型解決問題，教師在最后設(shè)計(jì)這一有層次的綜合性問題來挑戰(zhàn)學(xué)生，學(xué)生在挑戰(zhàn)成功之后獲得了巨大的成就感、滿足感，更加強(qiáng)化了模型思想在學(xué)生心中的價(jià)值。

所以一節(jié)數(shù)學(xué)課要讓學(xué)生充分經(jīng)歷從構(gòu)建模型、理解模型到運(yùn)用模型來解決問題的過程，學(xué)生才會(huì)慢慢感悟到模型思想的價(jià)值，同時(shí)也積累了探究問題的經(jīng)驗(yàn)。這樣做也正精準(zhǔn)把握了這節(jié)課的核心知識(shí)、本質(zhì)知識(shí)，學(xué)生深刻理解各知識(shí)之間的聯(lián)系，從而對(duì)知識(shí)的建構(gòu)更加結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化，教學(xué)效益也必將大大提高。