“兩位數(shù)乘一位數(shù)”為例溯源運算能力的形成與發(fā)展

夏新

摘? ?要：本文以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊“兩位數(shù)乘一位數(shù)”為例，來分析學(xué)生運算能力的形成與發(fā)展過程，并提出有效的建議，引導(dǎo)學(xué)生積極地、有深度地參與到數(shù)學(xué)探索活動之中，理解算理、概括算法、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：運算能力;估算;算理;發(fā)展能力

運算是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一。《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“運算能力”作為小學(xué)生數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心，要求學(xué)生能夠根據(jù)法則和運算定律正確地進行運算的能力。

一、運算能力的形成過程

培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算技能可能通過反復(fù)操練形成，但運算能力需要在理解算理的基礎(chǔ)上，通過有意義的練習(xí)才能逐步形成。

1.估算得數(shù)，心中有數(shù)

蘇教版三年級上冊第一單元教學(xué)兩、三位數(shù)乘一位數(shù)。例1至例4教學(xué)了整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算，估算和倍數(shù)關(guān)系。比如教材的例5：“湖面上飛過3隊大雁，每隊12只。一共多少只？”

這是個簡單的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系式后不難列出乘法算式12×3，本課的重點也是要解決這樣的兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法筆算。認(rèn)知發(fā)展心理學(xué)的有關(guān)研究表明，在兒童計算能力的發(fā)展過程中，估算能力的發(fā)展要相對早于精算能力。估算作為運算能力的重要組成部分，不僅表現(xiàn)在對計算結(jié)果的監(jiān)測，也表現(xiàn)在對具體問題的求解過程中。由于這道題與之前學(xué)習(xí)的整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)不同，不少同學(xué)在得到精確得數(shù)之前，會先借用之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，用10×3來估算得數(shù)為30，其實此處已經(jīng)先計算出如果每隊是10只大雁，那么3隊大雁的總只數(shù)是30。

2.理解算理，初識算法

估算后，教材放手讓學(xué)生先用小棒擺一擺，自主探索計算方法并和同桌交流，這是充分激發(fā)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從而生長新知識。學(xué)生可能想到三種方法：一是根據(jù)乘法的意義，求12×3，也就是求3個12相加的和，因此得數(shù)是36，此時學(xué)生已經(jīng)將實際問題抽象成數(shù)的計算。二是聯(lián)系已有的口算經(jīng)驗想到，3×10=30，3×2=6，30+6=36。三是通過擺小棒的實際操作，先將整捆的合起來，有3捆，也就是3個10，是30，還有3個2根，也就是6根，合起來是36根。

在這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過對擺小棒的過程加以組織，使這些經(jīng)驗具有生長新的計算方法的活力，更便于其對已有的經(jīng)驗加以提煉和組織，也更容易在頭腦里形成表象，對于后續(xù)的算理理解是十分有益的。

剛才的三種方法其實是有聯(lián)系的，在充分激活舊知和動手操作之后，教學(xué)兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計算方法。這實質(zhì)上是對擺小棒方法的一種記錄。因此，在列豎式時，要不斷引導(dǎo)學(xué)生將豎式過程與剛才擺小棒的經(jīng)驗結(jié)合思考。

列出豎式后，學(xué)生會有這樣的疑問：計算乘法豎式時究竟先從個位算起，還是先從十位算起？此處我們可以通過舊知識來理解算理，12×3即3個12相加的和，既然是3個12相加，自然是先從個位算起，那么12×3也先從個位算起，這個難點就迎刃而解了。在完整的寫出豎式之后，還可以回顧算法的記錄過程，每一步豎式的過程就是擺小棒過程的抽象化。這些做法都是讓新學(xué)習(xí)的形式化的算法回歸到學(xué)生已有的經(jīng)驗中獲得支撐和解釋，利用表象思維展開抽象思維。

學(xué)生在理解算法，初識算理后，還可以引導(dǎo)他們聯(lián)系加法豎式的過程，將兩部乘得的積和在一起，得到簡潔的豎式計算方法。

3.建立模型，概括算法

類似的，3與十位上的1相乘得3個十，那如果3與百位上的數(shù)相乘，得到的數(shù)是以什么為計數(shù)單位？該寫在積的哪一位上呢？通過一系列的追問，學(xué)生內(nèi)化算法，形成數(shù)學(xué)模型，當(dāng)一位數(shù)與個位上的數(shù)相乘時，得數(shù)以“個”為計數(shù)單位，寫在積的個位;當(dāng)一位數(shù)與十位上的數(shù)相乘時，得數(shù)以“十”為計數(shù)單位，寫在積的十位;當(dāng)一位數(shù)與百位上的數(shù)相乘時，得數(shù)以“百”為計數(shù)單位，寫在積的百位……以此類推。因此教師在教學(xué)中不能囿于學(xué)生探究出相應(yīng)的結(jié)論或計算結(jié)果，而應(yīng)進一步發(fā)展學(xué)生“講理”的意識與能力。

運算教學(xué)都要以明確的算法為指導(dǎo)，因此概括算法是每一節(jié)計算教學(xué)的重要內(nèi)容。但概括算法需要以學(xué)生的體驗為基礎(chǔ)，重視學(xué)生對算法的理解，而不是機械地背誦條文。

二、發(fā)展運算能力的教學(xué)建議

運算能力并不僅僅是將口算、估算和筆算的簡單組合，而要根據(jù)實際問題，靈活選擇，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。教師在教學(xué)過程中應(yīng)全面認(rèn)識運算能力的內(nèi)涵，把握全局。

1.有意識地進行估算

在解決問題的過程中，我們可以通過筆算得到精確的得數(shù)，也可以在筆算之前通過估算來監(jiān)測筆算結(jié)果的合理性，并且在具體情境中，體會估算在生活中的作用。例如： 每次運72箱，一共400箱，6次能運完嗎？

離開紙和筆，我們也能得出結(jié)果，并且為運輸公司提供最優(yōu)化的運輸方案，學(xué)生從中得到學(xué)習(xí)的成就感。

2.創(chuàng)設(shè)真實有趣的情境

真實、有意義的情境可以激發(fā)學(xué)生參與的熱情，更有效地解決問題。例如，購買學(xué)習(xí)用品計算價格是每個小學(xué)生在日常生活中都能碰到的真問題，在五年級上學(xué)期第四單元教學(xué)小數(shù)加減法時，例題是：小明購買一個講義夾用4.75元，小麗購買一本筆記本用3.4元，小明和小麗一共要用多少元？

分析數(shù)量關(guān)系式，學(xué)生很快就能列出算式，根據(jù)生活體驗和對人民幣的了解，學(xué)生列豎式時，很輕松地就能將元與元相加，角與角相加，分與分相加，教師只需指出，小數(shù)加、減法與整數(shù)加、減法對位相同，都只需要將相同數(shù)位對齊即可，至此，小數(shù)加、減法的計算方法自然而然地生成了。相反，如果脫離開這個生活情境，上述意義的建構(gòu)就不會如此自然地發(fā)生。

3.過程中不斷優(yōu)化方法

教師在教學(xué)時提供多元的環(huán)境，讓學(xué)生在多樣的計算比較方法中發(fā)展優(yōu)化方法的意識，避免思維結(jié)構(gòu)單一的路徑。例如：一種鐵礦石，每10噸可以煉鐵6.05噸，照這樣計算，1000噸這種鐵礦石可以煉鐵多少噸？除了計算每噸鐵礦石可以煉鐵的噸數(shù)外，我們還可以通過1000噸鐵礦石里有100個10噸，從而煉鐵的噸數(shù)也是6.05噸的100倍來解決這個問題。

總之，計算教學(xué)中，教師要抓住數(shù)學(xué)知識的特點，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生積極地、有深度地參與到數(shù)學(xué)探索活動之中，理解算理、概括算法、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省昆山市玉山鎮(zhèn)同心小學(xué)）