婁棟榮

[摘要]以漢諾塔游戲?yàn)檩d體，從“化繁為簡(jiǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型”“化異為同，推理數(shù)學(xué)規(guī)律”“化生為熟，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用”三個(gè)方面滲透化歸思想，讓學(xué)生能夠在興趣盎然的狀態(tài)下體會(huì)“化歸”這一重要的數(shù)學(xué)思想。

[關(guān)鍵詞]漢諾塔游戲;化歸思想;化繁為簡(jiǎn);化異為同;化生為熟

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）23-0055-02

化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到化歸思想來(lái)進(jìn)行新知識(shí)的教學(xué)，如小數(shù)乘整數(shù)、平面圖形面積的推導(dǎo)、植樹(shù)問(wèn)題等，但是學(xué)生大多是在枯燥的學(xué)習(xí)中被動(dòng)地接受化歸思想，沒(méi)有充分體會(huì)到化歸思想的價(jià)值，在碰到問(wèn)題時(shí)也不會(huì)主動(dòng)地應(yīng)用化歸思想。愛(ài)玩是兒童的天性，兒童對(duì)具體形象的內(nèi)容易于理解，對(duì)生動(dòng)活潑的形式比較喜愛(ài)，對(duì)新奇的事物比較敏感，對(duì)能演示的過(guò)程更感興趣。而現(xiàn)代教育理論強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生做科學(xué)，而不是用耳朵去聽(tīng)科學(xué)”。因此，筆者嘗試以“漢諾塔游戲”為載體來(lái)滲透化歸思想漢諾塔是由8個(gè)彩色圓環(huán)按大小依次疊放在有三根立柱的支架上組成，因其形如塔狀而得名。它是人們研究算法邏輯的啟發(fā)源，更是一款經(jīng)典的益智玩具。它所設(shè)置的問(wèn)題困境在于：如何借助“過(guò)渡柱”把“起始柱”上的圓環(huán)依次移到“目標(biāo)柱”上（如圖1）。規(guī)則是：一片一片地移，在移的過(guò)程中不可以大片壓到小片上。

下面以筆者在2019年南方六省（區(qū)）益智課堂階段性成果展示觀摩會(huì)上的示范課“漢諾塔”為例，談?wù)勅绾谓柚鷿h諾塔游戲滲透化歸思想。

一、化繁為簡(jiǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化為易懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題，正是“化繁為簡(jiǎn)”思想的體現(xiàn)，也是教師需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練的數(shù)學(xué)技能之一。

[課堂實(shí)錄1]

教師利用音頻介紹漢諾塔游戲的背景及規(guī)則（涉及的漢諾塔有64個(gè)圓環(huán)）。

師：今天，老師帶來(lái)了一個(gè)簡(jiǎn)易的漢諾塔，上面一共有8個(gè)圓環(huán)。請(qǐng)動(dòng)手試著將這8個(gè)圓環(huán)從a柱移到c柱。（如圖2）

（學(xué)生動(dòng)手嘗試，有人表示“太難了”。）

師：剛才有同學(xué)說(shuō)太難了，怎么辦？

生：：可以簡(jiǎn)化。

師：怎么簡(jiǎn)化？

生：8個(gè)圓環(huán)太難了，我覺(jué)得若拿掉幾個(gè)，簡(jiǎn)化后就容易多了。

師：你為什么想著簡(jiǎn)化？簡(jiǎn)化成8個(gè)圓環(huán)對(duì)研究移動(dòng)有什么幫助？

生：數(shù)量少了以后，所需要移動(dòng)的次數(shù)也會(huì)少，我們就知道該怎么移動(dòng)了。

師：簡(jiǎn)化后的數(shù)量和原來(lái)的不同了，有什么還是相同的？

生：移動(dòng)規(guī)則。

生：漢諾塔的游戲原理。

師：太棒了！你們說(shuō)的其實(shí)就是數(shù)學(xué)上一個(gè)很重要的思想一化繁為簡(jiǎn)（板書(shū)），我們可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，它看似變成了不同的，但其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理卻依然相同，那么我們就可從中去尋找規(guī)律，從而有效解決問(wèn)題。

在這樣的師生問(wèn)答中，學(xué)生逐漸知道“化繁為簡(jiǎn)就是數(shù)學(xué)建?！边@一本質(zhì)，并能夠通過(guò)相同原理的模型去尋找復(fù)雜問(wèn)題當(dāng)中的規(guī)律，從而有效解決問(wèn)題。

二、化異為同，推理數(shù)學(xué)規(guī)律

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。其中合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果?！被悶橥?，就是把不同的問(wèn)題、事物，通過(guò)合情推理轉(zhuǎn)化后，從中探尋規(guī)律，解決問(wèn)題。

[課堂實(shí)錄2]

師：那你想從幾個(gè)圓環(huán)開(kāi)始研究呢？（1個(gè)）

師：1個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)，需要幾次？

師：現(xiàn)在能找到規(guī)律嗎？（不能）怎么辦？

生4：增加到兩個(gè)圓環(huán)，再試試。

師：好。請(qǐng)同學(xué)們將a柱上的兩個(gè)圓環(huán)依次移到c柱上。（如圖3）

師：（1）這兩個(gè)圓環(huán)到達(dá)c柱的順序是怎樣的？（先大圓環(huán)后小圓環(huán)）（2）第一個(gè)圓環(huán)先拿出來(lái)的目的是什么？（給大圓環(huán)讓路）（3）小圓環(huán)為什么先放在b柱而不是c柱上？（為了讓大圓環(huán)先到達(dá)c柱）

師：你們會(huì)移了嗎？那a柱到c柱會(huì)移了，c柱到b柱你會(huì)移嗎？試試看。

師：想想看，這兩次的移動(dòng)有什么不同？

生：起始柱、目標(biāo)柱過(guò)渡柱都不相同了。

師：那這樣的不同當(dāng)中，有沒(méi)有什么是相同的？

生：第一個(gè)圓環(huán)都是先放在過(guò)渡柱上，第二個(gè)圓環(huán)都是先放在目標(biāo)柱上。

師：觀察得真仔細(xì)，移動(dòng)的方法看似不同，其實(shí)相同！師：下面我們要開(kāi)始幾個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)？（3個(gè)）好，請(qǐng)?jiān)囍?，并在學(xué)習(xí)單，上做好記錄。

師：（1）你能說(shuō)說(shuō)這三個(gè)圓環(huán)最終到達(dá)c柱的順序嗎？（2）怎樣讓第三個(gè)圓環(huán)到達(dá)c柱？（也就是說(shuō)前兩個(gè)圓環(huán)的目標(biāo)轉(zhuǎn)換成了b柱）（3）前兩個(gè)圓環(huán)我們是怎么移到b柱的？跟之前兩個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)有沒(méi)有相同的地方？

生，：將最上面兩個(gè)圓環(huán)看作一個(gè)整體，其實(shí)就是兩個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)，將這個(gè)整體先移動(dòng)到b柱和之前兩個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)一樣。

師：3個(gè)圓環(huán)和2個(gè)圓環(huán)數(shù)量不相同，而且剛才同學(xué)們移動(dòng)的過(guò)程也不相同，移動(dòng)次數(shù)也不相同，但是什么是相同的？

生：移動(dòng)的方法、原理是相同的。

師：如果不操作，想想看，4個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)和之前的3個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)有什么相同的地方？

生：把最上面的3個(gè)圓環(huán)看作一個(gè)整體，就和3個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)方法一模一樣了。

師：4個(gè)圓環(huán)，3個(gè)圓環(huán)、2個(gè)圓環(huán)數(shù)量各不相同，但卻可以用相同的方法去移動(dòng)，那你能研究出5個(gè)圓環(huán)、6個(gè)圓環(huán)、7個(gè)圓環(huán)、8個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)嗎？它們各需要移動(dòng)多少次？

師：我們?cè)诳此撇煌臄?shù)學(xué)模型中，探究出了相同的原理和方法，找到了規(guī)律，并通過(guò)一步步推算，知道64個(gè)圓環(huán)需移動(dòng)18446744073709551615次，這需要5000多億年

當(dāng)通過(guò)“化繁為簡(jiǎn)"思想構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要在不同數(shù)量的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中找到相同的原理和方法，通過(guò)合情推理找到規(guī)律，解決原來(lái)的問(wèn)題，這就是化異為同化“不同”為“相同”。

三、化生為熟，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“應(yīng)用意識(shí)的其中一個(gè)方面的含義是有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題?！被鸀槭?，就是將陌生的問(wèn)題、事物，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)去研究，并且能夠利用得到的結(jié)論解決現(xiàn)實(shí)世界中的其他問(wèn)題。

[課堂實(shí)錄3]

師：最后，我們一起來(lái)聽(tīng)一個(gè)關(guān)于國(guó)際象棋與米粒的故事。（故事主體內(nèi)容：在象棋棋盤中的第1格放1粒米，第2格放2粒米，后面每一格都放前面一格的2倍的米粒，一共要放64格……）

師：這個(gè)故事和漢諾塔的故事相同嗎？（不相同）

師：那這兩個(gè)故事有沒(méi)有相同的地方呢？

……

師：這個(gè)故事中的答案也是18446744073709551615粒，它們之間是否也存在著相同的原理呢？請(qǐng)同學(xué)們研究一下。

師：通過(guò)將陌生的故事和熟悉的故事聯(lián)系起來(lái)，可以發(fā)現(xiàn)，國(guó)際象棋中前2格的米粒數(shù)與漢諾塔當(dāng)中2個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)數(shù)相同，國(guó)際象棋中前3格的米粒數(shù)與漢諾塔當(dāng)中3個(gè)圓環(huán)的移動(dòng)數(shù)相同……

師：這節(jié)課我們都是在不同中找相同，其實(shí)在生活中、在學(xué)習(xí)中也有很多看似不同卻有著聯(lián)系的事情或者問(wèn)題，希望同學(xué)們能夠用心去發(fā)現(xiàn)、去解決。

當(dāng)學(xué)生能夠準(zhǔn)確地找到看似完全不同的事物之間存在的聯(lián)系，并能夠利用這種聯(lián)系把未知、陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的問(wèn)題，一些難題也就能迎刃而解了。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“不同當(dāng)中找相同”的化歸思想去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，也體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活”。

綜上，用“化繁為簡(jiǎn)”來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，用“化異為同”來(lái)推理數(shù)學(xué)規(guī)律，用“化生為熟"來(lái)拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，在“不同”當(dāng)中有著很大的“相同”。在這樣既有充足的動(dòng)力又富有思維含量的游戲教學(xué)中，學(xué)生能夠提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]李清霞，孫欣.益智課堂，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)踐行之地：以“漢諾塔”活動(dòng)課為例[J].中國(guó)教師，2017（10）.

（責(zé)編 黃春香）