朱璐璐

摘? 要：模型思想是數(shù)學(xué)的三大基本思想之一，它是數(shù)學(xué)與外部世界溝通的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和問(wèn)題解決的核心。我們可以通過(guò)兩種途徑培養(yǎng)學(xué)生的模型思想：第一，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型;第二，指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決。

關(guān)鍵詞：模型思想;問(wèn)題解決;子模型;母模型

“模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中新增的一個(gè)核心詞。數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今信息化社會(huì)中已經(jīng)有十分廣泛的應(yīng)用，在大學(xué)、中學(xué)也有比較深入的研究和實(shí)踐，但是在課標(biāo)修訂之前，小學(xué)數(shù)學(xué)教師很少踐行數(shù)學(xué)建模。如何培養(yǎng)小學(xué)生的“模型思想”，還有很多問(wèn)題值得探討。

在小學(xué)階段，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出“模型思想”，表明了模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和問(wèn)題解決的核心。我們可以通過(guò)兩種途徑培養(yǎng)學(xué)生的模型思想：第一，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型;第二，指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決。

一、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型

學(xué)生學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)模型的過(guò)程可以是接受學(xué)習(xí)，也可以是探究過(guò)程。在這里筆者重點(diǎn)闡述探究過(guò)程，即經(jīng)歷類(lèi)似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過(guò)程。鑒于小學(xué)生的認(rèn)知水平，小學(xué)大部分公式、定理的推導(dǎo)大都采用不完全歸納法，這樣的做法值得商榷。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力也應(yīng)該在公式、定理的推導(dǎo)上得到一定的體現(xiàn)。

例1：乘法結(jié)合律的推導(dǎo)。橫著看，每行有6個(gè)人，一共4行，一共有6×4人，每人拿著3個(gè)氣球，因此有3×（6×4）個(gè)氣球;或者橫著每行有3×6個(gè)氣球，一共有4行，因此有3×6×4個(gè)氣球。因此，3×（6×4）=3×6×4。學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)，將數(shù)字變一下，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程依然成立。通過(guò)推理，學(xué)生再創(chuàng)造了“乘法結(jié)合律”。

二、指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決

模型是解決一類(lèi)問(wèn)題的優(yōu)化方案，是前人總結(jié)出來(lái)的有效方法。教師指導(dǎo)學(xué)生使用基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程類(lèi)似于數(shù)學(xué)建模過(guò)程，即“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的過(guò)程。利用模型求解就是站在巨人的肩膀上進(jìn)行問(wèn)題解決，是學(xué)生舍棄非本質(zhì)要素對(duì)現(xiàn)實(shí)或者直觀情境的本質(zhì)要素進(jìn)行抽象，之后建立模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，最后通過(guò)數(shù)學(xué)特定的解題方式進(jìn)行求解的過(guò)程。

例2：同學(xué)們一起去游園，有48人，每輛大車(chē)租金120元，限乘12人，每輛小車(chē)租金160元，限乘18人?？梢栽鯓幼廛?chē)？需要多少錢(qián)？

我們班有個(gè)孩子是這樣做的（見(jiàn)圖2）。通過(guò)與他溝通，發(fā)現(xiàn)他的想法是：先考慮全部租小車(chē)，需要4輛;后考慮全部租大車(chē)，2輛大車(chē)不夠坐，需要3輛大車(chē);大車(chē)、小車(chē)都考慮，就需要1輛大車(chē)搭配1輛小車(chē)。因此，只有三種方案。學(xué)生的思路在“大小車(chē)都租”這里出了問(wèn)題，大車(chē)和小車(chē)的輛數(shù)并不一定相同。

我們一般用列表模型解決這個(gè)問(wèn)題。先假設(shè)全部租大車(chē)，然后將大車(chē)輛數(shù)依次減一，求小車(chē)的輛數(shù)，之后求出可乘人數(shù)和租金（見(jiàn)表1）。學(xué)生借助列表法這種經(jīng)過(guò)前人整理優(yōu)化的模型，可以快速梳理出多種租車(chē)方案，并從中選擇自己想要的方案，不容易出現(xiàn)思維誤區(qū)。

例3：雞兔同籠，有5個(gè)頭，14只腳，那么雞兔各有多少只？

這個(gè)問(wèn)題同樣可以用列表模型有條理地解決問(wèn)題（見(jiàn)表2）。

表2

（單位：只）

通過(guò)這兩個(gè)例子，我們發(fā)現(xiàn)列表模型使我們的思路更清晰，它能幫助我們進(jìn)行有序的、不重復(fù)、不遺漏的思考。因此可以認(rèn)為，模型是解決一類(lèi)問(wèn)題的有效方案。

三、重視模型的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

根據(jù)信息加工理論，進(jìn)入短時(shí)記憶的信息，如果得到復(fù)述，將可以進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶，否則將被遺忘。這里的復(fù)述更多指的是精細(xì)復(fù)述，精細(xì)復(fù)述是指將信息進(jìn)行分析使之與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立起某種內(nèi)在聯(lián)系。同時(shí)雖然長(zhǎng)時(shí)記憶的信息提取受很多因素影響，但是有意編碼（把輸入的信息與存儲(chǔ)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)）的效果優(yōu)于自動(dòng)編碼（不需注意和意志努力）。因此，將新學(xué)習(xí)的模型與已學(xué)的模型建立聯(lián)系，是保持記憶和提高提取信息效率的有效方法。

為了便于記憶和信息的提取，筆者將有本質(zhì)聯(lián)系的模型進(jìn)行了梳理、歸納。下面筆者將介紹四種基本模型，分別是：“加法”模型、“減法”模型、“乘法”模型、“除法”模型，每種模型都可以細(xì)分為多個(gè)子模型，下面將展開(kāi)詳細(xì)說(shuō)明。

1. “加法”模型

（1）數(shù)平行線(xiàn)

例4：數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有幾組平行線(xiàn)？

橫著看有2條互相平行的直線(xiàn)，因此只有1組平行線(xiàn);

斜著看有5條互相平行的直線(xiàn)，因此有4+3+2+1=10（組）平行線(xiàn);

一共有1+10=11（組）平行線(xiàn)。

（2）數(shù)線(xiàn)段

例5：數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有多少條線(xiàn)段？

先數(shù)基本線(xiàn)段，有4條。因此，線(xiàn)段總共有4+3+2+1=10（條）。

（3）數(shù)角

例6：數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有多少個(gè)角？

先數(shù)基本角，有4個(gè)。因此，角總共有4+3+2+1=10（個(gè)）。

（4）數(shù)三角形

例7：數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有多少個(gè)三角形？

先數(shù)基本三角形，有4個(gè)。因此，三角形總共有4+3+2+1=10（個(gè)）。

（5）數(shù)長(zhǎng)方形

例8：數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？

先數(shù)基本長(zhǎng)方形，有4個(gè)。因此，長(zhǎng)方形總共有4+3+2+1=10（個(gè)）。

（6）數(shù)直線(xiàn)

例9：經(jīng)過(guò)下邊任意兩點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)，可以畫(huà)多少條？

先找一個(gè)點(diǎn)，它可以與其他四個(gè)點(diǎn)連4條直線(xiàn)，再考慮其他點(diǎn)。因此，直線(xiàn)總共有4+3+2+1=10（條）。

以上6個(gè)子模型用相同的方法解決問(wèn)題，因此它們可歸為同一母模型。在小學(xué)階段，我們把這種方法叫作枚舉法。但是在中學(xué)，這種方法叫作排列組合。它屬于組合中的C■模型。如何證明呢？我們知道C■=■=■（以例9為例，這里的n指的是5個(gè)點(diǎn)），而用枚舉法解題公式是（n-1）+…+3+2+1，用配對(duì)求和的方法可知（n-1）+…+3+2+1=（n-1+1）×■=■。

由于從形式上看，上面的式子都是用加號(hào)連接，因此，簡(jiǎn)稱(chēng)為“加法”模型。

2. “減法”模型

（1）用斷尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度

例10：怎樣用下邊的“斷尺子”畫(huà)出一條長(zhǎng)6厘米的線(xiàn)？

16-10=6（厘米）;15-9=6（厘米）;14-8=6（厘米）。

我們發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)刻度之間的距離=最后面的刻度-前面的刻度。

（2）求經(jīng)過(guò)的時(shí)間

例11：淘氣早上6時(shí)30分起床，7時(shí)40分上學(xué)，他從起床到上學(xué)一共用了多長(zhǎng)時(shí)間？

7時(shí)40分-6時(shí)30分=1時(shí)10分。

例12：第29屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2008年8月8日20時(shí)在北京開(kāi)幕，至8月24日20時(shí)，共歷時(shí)______天。

24-8=16（天）。

我們發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)的時(shí)間=后面的時(shí)刻-前面的時(shí)刻。

（3）求用電量

例13：請(qǐng)算出樂(lè)樂(lè)家7月份的用電量。

545-430=115（千瓦時(shí)）。

我們發(fā)現(xiàn)：這個(gè)月的用電量=這個(gè)月的讀數(shù)-上個(gè)月的讀數(shù)。

以上4個(gè)例題都是在求相差數(shù)，而“相差數(shù)=大數(shù)-小數(shù)”。這些模型都可以認(rèn)為是在一維空間求相差數(shù)，并且都是起始數(shù)值不為0的情況，更能體現(xiàn)相差數(shù)的意義。

大數(shù)和小數(shù)之間的差距，還可以等同于植樹(shù)問(wèn)題的“求幾段”“求間距”，即數(shù)間隔模型。

（4）求面積差

例14：分別求以下三種圖形的陰影部分的面積。

三個(gè)圖形的陰影部分都是不規(guī)則圖形，但是它們的面積都是“大長(zhǎng)方形的面積-小長(zhǎng)方形的面積”（即面積差）。

除了在一維空間求相差數(shù)，在二維空間也可以求相差數(shù)，求面積差就屬于這種類(lèi)型。而且通過(guò)三種圖形的對(duì)比，學(xué)生在靜態(tài)圖中感受到了動(dòng)態(tài)地變化，同時(shí)感受到無(wú)論圖形如何變化，三張圖的本質(zhì)是一樣的，領(lǐng)悟到了“變中的不變”。

由于從形式上看，上面的式子都是用減號(hào)連接，因此，簡(jiǎn)稱(chēng)為“減法”模型。

3. “乘法”模型

（1）“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”模型

例15：?jiǎn)蝺r(jià)10元的皮球，小明買(mǎi)了8個(gè)，一共花了多少錢(qián)？

10×8=80（元）。

答：一共花了80元。

（2）“路程=速度×?xí)r間”模型

例16：曉東從學(xué)校到少年宮一共用了10分鐘，他每分鐘走60米，從學(xué)校到少年宮的路程是多少米？

60×10=600（米）。

答：從學(xué)校到少年宮的路程是600米。

（3）“多倍數(shù)=1倍數(shù)×倍數(shù)”模型

例17：紅阿姨到超市買(mǎi)了8個(gè)雞蛋，黃阿姨買(mǎi)的雞蛋是紅阿姨的5倍，那么黃阿姨買(mǎi)了幾個(gè)雞蛋？

8×5=40（個(gè)）。

答：黃阿姨買(mǎi)了40個(gè)雞蛋。

（4）度量模型

例18：下面是體育館的一個(gè)看臺(tái)，大約有多少名觀眾？

可能出現(xiàn)多種方法，如可以將這個(gè)看臺(tái)分成3部分，每部分有8行，因此每部分有7×8=56（人），3部分一共有7×8×3=168（人）。

本問(wèn)題解決的策略是“化整為零”，即把體育場(chǎng)的觀眾分成數(shù)目大體相同的幾個(gè)部分，想辦法估計(jì)出其中一個(gè)部分的數(shù)量，就可以用乘法估算整個(gè)體育場(chǎng)觀眾的數(shù)量。

例19：估一估，下面的角有多少度？

我們把∠1看成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，則∠2大約有3個(gè)∠1，大約30°;∠3大約比直角少一個(gè)∠1，大約80°。

對(duì)大數(shù)的估計(jì)或者對(duì)角度的估計(jì)的思想，就是度量思想。要先確定一個(gè)度量單位（標(biāo)準(zhǔn)），再數(shù)出單位數(shù)（有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)），就可以用乘法算出總量（角度）。

上面的這4個(gè)模型都是求“幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)”的問(wèn)題，都可以歸結(jié)為“總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)”這一數(shù)學(xué)“乘法”模型。

4. “除法”模型

（1）雞兔同籠問(wèn)題

兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）。

（2）追及問(wèn)題

追及時(shí)間=追及路程÷速度差。

（3）贏虧問(wèn)題

兩次分配結(jié)果的差（贏+虧）÷兩次分配數(shù)量的差=份數(shù)。

通過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn)，上面的三個(gè)模型都可以歸納為“相差數(shù)÷每份數(shù)的差=份數(shù)”的“減法”模型。

這些數(shù)學(xué)模型是學(xué)生經(jīng)常遇到的問(wèn)題，也都有各自的公式，但是我們發(fā)現(xiàn)，看似不一樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行二次抽象會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的數(shù)學(xué)模型（結(jié)構(gòu)）是一樣的。教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本模型時(shí)，如果可以在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“點(diǎn)撥”，對(duì)公式進(jìn)行一定的歸納提升，幫助學(xué)生認(rèn)清知識(shí)點(diǎn)之間的本質(zhì)聯(lián)系，將新知識(shí)整合到已有的知識(shí)框架中，學(xué)生的學(xué)習(xí)將更能夠融會(huì)貫通、事半功倍，也能促進(jìn)信息在人腦中的保持和提高提取信息的效率。這里需要補(bǔ)充的是，雖然這些“子模型”都可以歸納為同一種“母模型”，本質(zhì)是相同的，但是由于“母模型”太過(guò)抽象，更具一般性，而“子模型”比較容易推導(dǎo)，更好理解，有它的特殊性。因此，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，循序漸進(jìn)，先學(xué)習(xí)具體的（子模型），再體會(huì)它們都可以歸納為抽象的（母模型），是比較合理的。

模型思想是數(shù)學(xué)的三大基本思想之一，它是數(shù)學(xué)與外部世界溝通的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和問(wèn)題解決的核心。如何培養(yǎng)學(xué)生的模型思想前路漫漫，還有很多值得研究的地方。