朱明 馬正飛

[摘 要] 工程應(yīng)用數(shù)學(xué)課程涵蓋矩陣論、數(shù)值計(jì)算方法、最優(yōu)化方法、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和微分方程等教學(xué)內(nèi)容。文章著眼于研究生數(shù)據(jù)分析和處理能力的培養(yǎng)，以化工過(guò)程的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生掌握化工過(guò)程建模、求解和優(yōu)化的思路，利用豐富的計(jì)算資源和軟件資源解決復(fù)雜問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將精力主要放在方法的構(gòu)造上，而不是放在方法的實(shí)現(xiàn)上，以此提高運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

[關(guān)鍵詞] 工程應(yīng)用數(shù)學(xué);研究生培養(yǎng);工程應(yīng)用

[基金項(xiàng)目] 2019年度江蘇省高等學(xué)校自然科學(xué)面上項(xiàng)目“可控制備的電子化合物強(qiáng)化低溫Haber反應(yīng)基礎(chǔ)研究”（19KJB530006）

[作者簡(jiǎn)介] 朱 明（1984—），男，安徽合肥人，工學(xué)博士，講師，主要從事傳質(zhì)分離工程與過(guò)程強(qiáng)化方面研究;馬正飛（1960—），男，江蘇蘇州人，工學(xué)博士，教授，主要從事吸附分離領(lǐng)域研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）37-0308-02? ? [收稿日期] 2020-04-03

目前，各高校對(duì)研究生數(shù)學(xué)公共課程的教學(xué)都非常重視，期望以此提高研究生的數(shù)學(xué)素質(zhì)[1]?；?zhuān)業(yè)研究生培養(yǎng)的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)有其自身特點(diǎn)，學(xué)生需要了解數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的基本原理，并能熟練地運(yùn)用多種分析求解工具，從技術(shù)和經(jīng)濟(jì)層面實(shí)現(xiàn)對(duì)化工過(guò)程的優(yōu)化設(shè)計(jì)和操作。因此，在教學(xué)過(guò)程中適宜采用比較通俗易懂的語(yǔ)言、圖形化的方法闡述數(shù)學(xué)原理，不把著眼點(diǎn)放在過(guò)于深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)上;將數(shù)學(xué)工具軟件的應(yīng)用貫穿到每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容中，盡可能地應(yīng)用已有的軟件手段求解問(wèn)題，不追求軟件的內(nèi)核和源代碼的編寫(xiě);在教學(xué)過(guò)程中以化工過(guò)程的實(shí)例為引導(dǎo)，注重案例式教學(xué)，幫助學(xué)生抓住化工過(guò)程建模、求解和優(yōu)化的思路;在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，將精力主要放在方法的構(gòu)造上，而不是放在方法的實(shí)現(xiàn)上，以此提高運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的能力。

一、建立模型的步驟

工程應(yīng)用數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容涵蓋的范圍廣，包括數(shù)值計(jì)算、矩陣運(yùn)算、數(shù)據(jù)回歸與擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程的求解方法、偏微分方程的求解方法等內(nèi)容[2]。從數(shù)學(xué)概念到面向?qū)嶋H問(wèn)題的模型構(gòu)建是教學(xué)中的難點(diǎn)。模型通常分為兩類(lèi)：（1）基于物理理論的模型;（2）基于嚴(yán)格經(jīng)驗(yàn)描述的模型（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）?；谖锢砘瘜W(xué)定律的數(shù)學(xué)模型（如質(zhì)量和能量平衡、熱力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)）經(jīng)常被用于工程設(shè)計(jì)中[3]，而當(dāng)由于時(shí)間和資源的限制無(wú)法開(kāi)發(fā)物理模型時(shí)，更適宜采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

建立模型主要分為問(wèn)題定義、模型設(shè)計(jì)與模型評(píng)價(jià)三個(gè)步驟。在問(wèn)題的定義階段需要選定與問(wèn)題有關(guān)的要素以及它的求解方法[4]。為了評(píng)價(jià)模型的結(jié)構(gòu)以及復(fù)雜性，需要明確獨(dú)立變量數(shù)、求解獨(dú)立變量需要的方程數(shù)和模型中有待確定的參數(shù)的個(gè)數(shù)。比如在求解氣體狀態(tài)方程時(shí)，因?yàn)闅怏w的壓力、體積與溫度互相關(guān)聯(lián)，確定了兩個(gè)狀態(tài)參數(shù)剩下的參數(shù)唯一確定，所以描述氣體狀態(tài)的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)為2，狀態(tài)方程數(shù)為1，待求解變量為1。進(jìn)入設(shè)計(jì)階段，需要定義輸入和輸出變量，選用特定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以及把模型翻譯成計(jì)算機(jī)代碼。在用計(jì)算機(jī)代碼表示模型時(shí)，要對(duì)計(jì)算機(jī)軟硬件的可用性進(jìn)行檢驗(yàn)，開(kāi)發(fā)程序的算法及流程，定義程序模塊和結(jié)構(gòu)關(guān)系。模型評(píng)價(jià)涉及輸入—輸出歷史數(shù)據(jù)或與文獻(xiàn)的比較，按照在定義階段建立的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和測(cè)試方案實(shí)行。一個(gè)成功的模型，可能要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)的調(diào)試才能達(dá)到合適的精度，因此需要教給學(xué)生加快計(jì)算收斂速度的方法。

二、求解問(wèn)題的過(guò)程

在實(shí)際工程問(wèn)題中，沒(méi)有任何一個(gè)單獨(dú)的方法或算法可以通用地解決所有問(wèn)題。對(duì)于任意一個(gè)問(wèn)題的解決，所選定的方法主要依賴(lài)于：（1）目標(biāo)函數(shù)的特性以及對(duì)它描述的清晰程度;（2）是否存在約束條件;（3）獨(dú)立和相關(guān)的變量數(shù)。在求解問(wèn)題時(shí)，首先需要對(duì)過(guò)程本身進(jìn)行分析，對(duì)目標(biāo)變量和特定性質(zhì)進(jìn)行定義，必要的話(huà)可以建立一個(gè)全部變量的列表。第二，確定優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)，并用前面定義的變量和系數(shù)指定目標(biāo)函數(shù)。進(jìn)一步，采用數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立一個(gè)與過(guò)程輸入—輸出變量和系數(shù)相關(guān)的、有效過(guò)程模型或設(shè)備模型。建立模型可采用熟知的物理原理（質(zhì)量平衡、能量平衡、動(dòng)量平衡）、經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式、隱含的概念以及外部約束等。如果求解的問(wèn)題覆蓋范圍過(guò)大，可以將其分解為幾個(gè)容易處理的部分，或者簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù)或模型。在求解問(wèn)題的最優(yōu)解時(shí)，強(qiáng)化Matlab、Mathematics等計(jì)算軟件的應(yīng)用，要求研究生盡可能運(yùn)用已有的軟件手段來(lái)解決問(wèn)題，盡量不編程或少編程。比如在換熱器設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量可以包含換熱面積、流量、換熱管的數(shù)量、管殼的直徑、進(jìn)口溫度以及壓降等，對(duì)于一個(gè)具有很多變量的問(wèn)題情況可以變得十分復(fù)雜，在教學(xué)過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生思考哪些變量是獨(dú)立的、哪些變量是非獨(dú)立的，并通過(guò)組織小組討論的方式選擇關(guān)鍵的控制變量完成換熱器的設(shè)計(jì)。在問(wèn)題求解的最后一步，涉及驗(yàn)證可行解以及確定最優(yōu)解的步驟，通常的做法是通過(guò)重復(fù)的數(shù)值計(jì)算，表明在所有已知的解中目標(biāo)函數(shù)的值是最好的。另一個(gè)可行的辦法是通過(guò)敏感性分析確定各參數(shù)對(duì)問(wèn)題解的影響。

三、優(yōu)化的局限性

工程實(shí)際問(wèn)題中，由于存在大量的非線(xiàn)性因素，可能導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程失敗[5]。相對(duì)于連續(xù)的參數(shù)值，目標(biāo)函數(shù)或約束方程可能會(huì)有一些非連續(xù)值。比如，作為尺寸、壓力、溫度等變量函數(shù)的壓縮機(jī)和換熱器的價(jià)格，可能不會(huì)連續(xù)地變化。在某個(gè)范圍內(nèi)增加某一參數(shù)的水平，可能不會(huì)對(duì)成本造成任何影響，而在另一范圍內(nèi)則可能造成成本的突變。目標(biāo)函數(shù)所涉及的變量之間可能有復(fù)雜的相互作用，比如給定目標(biāo)函數(shù)f（x1，x2）=，若x1與x2之間存在相互作用，將無(wú)法確定唯一的x1與x2使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。在工程系統(tǒng)中，通常會(huì)包含更為復(fù)雜的相互作用。當(dāng)計(jì)算變量在最優(yōu)點(diǎn)附近時(shí)，這類(lèi)相互作用會(huì)表現(xiàn)出很多局部最優(yōu)的行為。需要對(duì)學(xué)生予以說(shuō)明，采用合理的線(xiàn)性化近似，以減少此類(lèi)問(wèn)題的出現(xiàn)。

四、結(jié)束語(yǔ)

為培養(yǎng)適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)發(fā)展需要的高素質(zhì)人才，必須提高廣大研究生的科研能力和動(dòng)手能力，并在此基礎(chǔ)上形成其科技創(chuàng)新能力。應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的高低是衡量研究生科研能力的一個(gè)重要標(biāo)志。將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到工程實(shí)際中，形成解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，不是簡(jiǎn)單地多學(xué)幾門(mén)數(shù)學(xué)課就可以獲得的。經(jīng)過(guò)多年對(duì)工程應(yīng)用數(shù)學(xué)課程改革的探索，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中抓住化工專(zhuān)業(yè)的學(xué)科特點(diǎn)，利用豐富的計(jì)算資源和軟件資源，使課程學(xué)習(xí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)，取得了較為滿(mǎn)意的教學(xué)效果，學(xué)生樂(lè)于接受，學(xué)習(xí)效率高。

參考文獻(xiàn)

[1]馬正飛，殷翔.工科研究生數(shù)學(xué)教改的探索與實(shí)踐[J].化工高等教育，2002（4）：60-62.

[2]馬正飛，殷翔.數(shù)學(xué)計(jì)算方法與軟件的工程應(yīng)用[M].化學(xué)工業(yè)出版社，2002.

[3]M.Zhu，C.J.Liu，W.W.Zhang et al.Transport Phenomena of Falling Liquid Film Flow on a Plate with Rectangular Holes[J].Ind.Eng.Chem.Res.，2010，49，11724-11731.

[4]W.Kevin，M.Mahdi，S.Collin et al.Column Absorption for Reproducible Cyclic Separation in Small Scale Ammonia Synthesis[J].AIChE J.，2017，63（7），3058-3068.

[5]T.F.Edgar，D.M.Himmelblau，L.S.Lasdon.Optimization of Chemical Processes [M].McGraw Hill，Inc.，2001.