從極限簡易定義談高等數(shù)學(xué)通俗化教學(xué)

孫波

[摘 要] 簡要分析了我國高等數(shù)學(xué)教育的歷史、現(xiàn)狀和大眾化教育下存在的問題與矛盾，以極限簡易教學(xué)設(shè)計(jì)探討高等數(shù)學(xué)通俗化教學(xué)。主要觀點(diǎn)是讓數(shù)學(xué)回歸生活，回歸自然，充分體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性目的與功能。

[關(guān)鍵詞] 高等數(shù)學(xué);通俗化教學(xué);極限簡易

[作者簡介] 孫 波（1965—），男，湖南澧縣人，博士，湖南科技學(xué)院理學(xué)院教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）39-0238-02 ? ?[收稿日期] 2019-12-31

一、引言

極限是微積分的靈魂，是貫穿微積分理論體系的線索。其精髓在于用ε和N嚴(yán)格定義了數(shù)列極限;用ε和δ嚴(yán)格定義了函數(shù)極限。正是有了這樣嚴(yán)格的定義，才使得數(shù)學(xué)史上似零又非零的無窮小得以澄清，使得憑直覺看出的結(jié)論經(jīng)過證明絕對可靠。然而，從數(shù)學(xué)教育和應(yīng)用角度來看，也恰恰因?yàn)闃O限定義之高深把很多學(xué)子攔在了門外。受前蘇聯(lián)高等教育的影響，我們的理工科教學(xué)一直偏重理論嚴(yán)謹(jǐn)。公共數(shù)學(xué)課盡管不像《數(shù)學(xué)分析》那樣嚴(yán)密，但基本上還是遵循著從定義到定理推導(dǎo)的理論模式，至少極限定義那一節(jié)還得把ε和N、δ擺弄一番。至于學(xué)生到底聽懂沒有，聽得厭倦與否似乎無暇顧及。當(dāng)然，我們的傳統(tǒng)教法有其歷史合理性，我國現(xiàn)代高等教育源于計(jì)劃經(jīng)濟(jì)年代的精英教育。幾十年以前的大學(xué)生是國家作為干部和專業(yè)技術(shù)人才計(jì)劃招收和培養(yǎng)的，基礎(chǔ)好，素質(zhì)高，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)理論功底很正常，也很必要。

時移世易，變法宜也。短短20余年，我國高等教育發(fā)生了滄桑巨變。隨著招生規(guī)模倍增，大學(xué)及大學(xué)生層次水平跨度拉大，既包含了才思敏捷勤奮好學(xué)的英才，也不乏初等數(shù)學(xué)都沒過關(guān)的。我就碰到過連（a+b）如何展開都不知道的數(shù)學(xué)專業(yè)本科生和120度角正弦都回答不了的工科生。當(dāng)然，產(chǎn)生這種奇怪現(xiàn)象的原因是多方面的，以升學(xué)率和考綱為指揮棒的中學(xué)教學(xué)目標(biāo)管理可能也是原因之一。用李大潛先生的話講：“他們只管把學(xué)生送進(jìn)大學(xué)，至于以后怎樣就不管了。”我們管不了中學(xué)教育，但我們面對的課堂現(xiàn)狀是，不管你怎么講，總有幾個聽不懂，不愛聽的。另外，手機(jī)這一天敵無時不在干擾課堂教學(xué)，可以說大學(xué)老師特別是數(shù)學(xué)老師已經(jīng)很難按傳統(tǒng)模式教下去了。而主導(dǎo)國內(nèi)高數(shù)教學(xué)的教材并沒有與時俱進(jìn)地簡化處理，任課教師也只好照書硬著頭皮講下去。

殘酷的現(xiàn)實(shí)逼得我們不得不考慮這樣一個問題：到底能不能忍痛割愛，淡化嚴(yán)格定義和推理體系，讓學(xué)生繞開那道高高的門檻和“九九八十一難”拿到工科計(jì)算需要的數(shù)學(xué)工具呢？

二、極限簡易教法

它山之石，可以攻玉?；蛟S是因?yàn)槊绹行W(xué)教育松散粗放，學(xué)生理論功底不高，他們的高數(shù)教程一般編得通俗簡捷，省去了大量抽象定義和證明，倒是把力氣花在了該花的地方，介紹大量物理工程及社會經(jīng)濟(jì)案例模型。他們甚至可以避開ε和δ講完微積分。本文摘錄Hofstra大學(xué)編寫的應(yīng)用微積分（Calculus with Applications）教材極限章節(jié)予以說明，以期拋磚引玉，和國內(nèi)同行共商高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革。

上述定義顯然非正式，或者說不嚴(yán)格，因?yàn)椤霸絹碓浇咏焙汀叭我饪拷辈]有進(jìn)一步定義。但這種非正式描述并不妨礙學(xué)生理解極限概念。正式嚴(yán)格定義的作用主要是為了證明極限運(yùn)算法則和一些后續(xù)高深結(jié)論，而極限的運(yùn)算法則本來就容易理解，甚至可以說無師自通。可以不加證明地直接給出。只要承認(rèn)了極限運(yùn)算法則，微積分主要結(jié)論基本上都可推導(dǎo)過去。除了極限的加減乘除基本運(yùn)算法則外，有些推論甚至也可作為運(yùn)算法則直接列出，如常值函數(shù)的極限等于它本身：

當(dāng)然實(shí)數(shù)α應(yīng)使得冪運(yùn)算有定義。

數(shù)列極限的定義也可類似簡化處理：省掉ε和N，同時不加證明地給出運(yùn)算性質(zhì)。國內(nèi)教材一般通過古老的割圓術(shù)導(dǎo)出數(shù)列和極限概念，應(yīng)該說是經(jīng)典之作。可現(xiàn)在很多大學(xué)生聽課自覺性不高，對一些遠(yuǎn)離生活的高深話題不感興趣?，F(xiàn)實(shí)對大學(xué)教學(xué)特別是數(shù)學(xué)教學(xué)提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，嚴(yán)格要求學(xué)生反過來又會影響他們對教師的教學(xué)評價(jià)。筆者拿銀行活期存款結(jié)息引入數(shù)列概念，首先擺出兩張存折圖片，然后引入話題：自然界和人類社會有些數(shù)量變化過程表現(xiàn)為離散形式，如中國農(nóng)業(yè)銀行活期存款每季度末的21號結(jié)息一次，于是每張存折每季度出現(xiàn)一個利息數(shù)字。假設(shè)某張存折永不銷戶，則其所有利息數(shù)字按時間順序排列起來構(gòu)成一數(shù)列。再把話題進(jìn)一步展開，隨意構(gòu)造幾個數(shù)列。

三、教學(xué)效果

筆者首次在二類本科院校拋開嚴(yán)格定義，只按描述性方式講解極限，大部分學(xué)生都能聽懂，課堂抬頭率明顯提高。四個教學(xué)班130名學(xué)生期中考試看圖像判斷極限答題正確率在95%以上，說明學(xué)生理解了極限概念。但課本現(xiàn)成例題數(shù)列（1+1/n）的極限卻丟分較多，很多學(xué)生填1，也有填∞的。有的這個題填對了（e），但接著把x趨于零時（1+x）的極限填成了1。或許這已不是個別現(xiàn)象，說明了大眾化教育下學(xué)生的抽象推理能力下降。按傳統(tǒng)命題風(fēng)格和課程考核標(biāo)準(zhǔn)就當(dāng)淘汰一大片，而現(xiàn)行教學(xué)和學(xué)位管理體制還是要讓學(xué)生都通過課程畢業(yè)。教師能做的就只能是降低門檻，簡化內(nèi)容和表述方式，基本滿足工科專業(yè)課的數(shù)學(xué)需要了。筆者萬般無賴之下發(fā)動學(xué)生用手機(jī)計(jì)算器算n=10，100時（1+1/n）的值，看出它向e靠攏;再算x=0.1，0.01時（1+x）的值，學(xué)生還是能說出它們的極限是e?？磥?，以算代推也是一種辦法。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時類型）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]Gilbert Strange，Calculus，Wellesley-Cambridge Press.

[5]M.L.Lial，Calculus with Applications，Springer-Verlag，2010.