淺談充分條件、必要條件題型的解題方法

■珠海市北京師范大學(xué)（珠海）附屬高級(jí)中學(xué) 李建波

充分條件、必要條件是“常用邏輯用語(yǔ)”中的重點(diǎn)及難點(diǎn)，充分條件、必要條件題型在高考中也是高頻率考點(diǎn)。因此本文例析五種常見(jiàn)的解題方法來(lái)處理此類(lèi)題目，希望對(duì)同學(xué)們的備考能有所幫助。

一、定義法

“一般地，用p和q表示兩個(gè)命題，若p?q，則p是q的充分條件；若q?p，則p是q的必要條件；若p?q，則p與q互為充要條件?！倍x法就是借助這種推導(dǎo)關(guān)系來(lái)判斷充分必要條件的。

例 1（2020年高考北京卷）已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ”是“sinα=sinβ”的（ ）。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：（1）當(dāng)存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ時(shí)：

若k為偶數(shù)，則sinα=sin（kπ+β）=sinβ；

若k為奇數(shù)，則sinα=sin（kπ-β）=sin[ （k-1）π+π-β]=sin（π-β）=sinβ。

（2）當(dāng)sinα=sinβ時(shí)，α=β+2mπ或α+β=π+2mπ，m∈Z，即α=kπ+（-1）k·β（k=2m）或α=kπ+（-1）kβ（k=2m+1），亦即存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ。

綜上可知，“存在k∈Z使得α=kπ+（-1）kβ”是“sinα=sinβ”的充要條件。

點(diǎn)評(píng)：與三角、向量有關(guān)的充要條件的判斷，在分清條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，必須堅(jiān)持“雙向推理”的原則，關(guān)鍵是先看由條件能否推出結(jié)論，再看由結(jié)論能否推出條件。能推出一定要說(shuō)明原因，推不出一定要舉出反例，只有這樣才能避免出錯(cuò)。

二、集合法或圖形法

兩個(gè)命題成立的元素組成的集合（或圖形）分別用p和q來(lái)表示，如果p?q，我們稱(chēng)p是q的充分條件；如果p?q，稱(chēng)p是q的必要條件；如果p=q，稱(chēng)p是q的充要條件。

例 2已知p：|x|≤1，|y|≤1，q：|x+y|+|x-y|≤2，則p是q的____條件。

解析：由題可知，|x|≤1，|y|≤1是以原點(diǎn)為中心，以邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部區(qū)域（包含邊界），如圖1。

先討論|x+y|+|x-y|≤2在第一象限內(nèi)的情況：①當(dāng)x＞0，y＞0，x≥y時(shí)，可得x≤1；②當(dāng)x＞0，y＞0，x＜y時(shí)，可得x≤1，因此，在第一象限內(nèi)可得到如圖2所示的圖像區(qū)域。

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可以得知兩個(gè)區(qū)域完全一致，因此p是q的充要條件。

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：集合或圖像是一種詮釋抽象數(shù)學(xué)概念的好方法，利用這種方法可以進(jìn)一步加深同學(xué)們對(duì)充分必要條件概念的理解。

三、巧取反例法

在數(shù)學(xué)中，若要判定一個(gè)命題是真命題，則需要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明；但要判定一個(gè)命題是假命題，只需要舉出一個(gè)反例即可。巧取反例法就是舉出反例判斷是假命題。

例 3（2020年浙江模擬）設(shè)a，b＞0，則“a＞b”是“aa＞bb”的（ ）。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：若即充分性不成立；

綜上可知，“a＞b”是“aa＞bb”的既不充分也不必要條件。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于很難推導(dǎo)出的命題，可以嘗試使用巧取反例法。

四、傳遞性法

充分條件和必要條件都具有傳遞性，請(qǐng)看下面的例題。

例 4已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的____條件。

解析：由題可得，p?r，r?s，s?q，所以p?r?s?q，故滿(mǎn)足p是q的充分條件；但由r推導(dǎo)不出p，故不滿(mǎn)足p是q的必要條件。

綜上可知，p是q的充分不必要條件。

五、逆否法

原命題如果很難判斷真假時(shí)，可以利用原命題與逆否命題是等價(jià)關(guān)系，判斷逆否命題的真假?gòu)亩_(dá)到目的。

例 5若命題p：x≠3且y≠2，命題q：x+y≠5，則p是q的____條件。

解析：p是q的什么條件等價(jià)于?q是?p的什么條件，由題可得?q：x+y=5，?p：x=3或者y=2，很顯然?q是?p的既不充分也不必要條件，故p是q的既不充分也不必要條件。