劉杰 譚忠

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力，使學(xué)生在情感態(tài)度和一般能力方面都得到充分的發(fā)展.數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力、發(fā)散性思維能力、歸納演繹思維能力，對于學(xué)生創(chuàng)造力的養(yǎng)成有顯著作用.本文從數(shù)學(xué)教學(xué)的若干問題淺析如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

【關(guān)鍵詞】創(chuàng)新思維;一題多變;一題多解

引言

新課程改革以來，每年的統(tǒng)考、中考中出現(xiàn)了許多立意新穎的創(chuàng)新性試題.這類試題的出現(xiàn)說明以前“填鴨式”“滿堂灌”的傳統(tǒng)教學(xué)方法不再適用，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，努力營造一個自然、和諧、輕松的教學(xué)環(huán)境，為激活學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力提供良好條件.作為教師，要認(rèn)真領(lǐng)會新課標(biāo)的核心理念——創(chuàng)新.在課堂教學(xué)中，教師要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索能力為目標(biāo).根據(jù)實際的教學(xué)實踐，本文將從以下幾方面談?wù)勗谡n堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

一、問題解決需要逆向思維

逆向思維是一種重要的思考能力，其對于學(xué)生的創(chuàng)造能力具有非常重大的意義.數(shù)學(xué)問題的順利解答需要學(xué)生具備一定的逆向思維能力.那么教師在平時教學(xué)中就應(yīng)經(jīng)常把思考幾何問題的方法和思路以明顯的方式呈現(xiàn)出來，或者通過設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生從什么角度思考.例如平行四邊形求解中有這樣的試題.

例1（廣東廣州）如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α<90°）.

（1）當(dāng)α=60°時，求CE的長.

（2）當(dāng)60°<α<90°時，

①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值;若不存在，請說明理由.

②連接CF，當(dāng)CE2-CF2取最大值時，求tan∠DCF的值.

解析（1）利用60°角的正弦值列式計算即可得解.

（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角角邊”證明△AFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解.

②設(shè)BE=x，在思考的過程中需要逆向思考，如求tan∠DCF的值，首先要求出CE2-CF2取最大值，然后才能求出tan∠DCF的值.在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.

解（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=CEBC，

即sin60°=CE10=32，解得CE=53.

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF.理由如下：

連接CF并延長交BA的延長線于點G，如圖2所示.

∵F為AD的中點，∴AF=FD.

在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF.

在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF，AF=FD，∠AFG=∠DFC，

∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD.

∵CE⊥AB，∴EF=GF，∴∠AEF=∠G.

∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，

∴AG=5，AF=12AD=12BC=5，∴AG=AF，

∴∠AFG=∠G.

在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF.

②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2.

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x.

∵CF=GF（①中已證），

∴CF2=12CG2=14CG2=14（200-20x）=50-5x，

∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-x-522+50+254.

∴當(dāng)x=52，即點E是AB的中點時，CE2-CF2取最大值.

此時，EG=10-x=10-52=152，

CE=100-x2=100-254=5152，

∴tan∠DCF=tan∠G=CEEG=5152152=153.

例2如圖3所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當(dāng)直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經(jīng)過點A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與CD交于點Q，設(shè)BP=x，CQ=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是（）.

分析從四個選項可知：y與x之間一定存在函數(shù)關(guān)系，y與x之間一定可通過三角形全等或相似等建立聯(lián)系.這就需要逆向考慮問題.

解從圖可知：△ABP∽△PCQ，則有ABPC=BPQC，

從而46-x=xy，y=14x（6-x）=-14x2+32x.

∵y是x的二次函數(shù)，它的圖像不是直線，

∴選項A、B錯誤.

∵當(dāng)x=3時，y=94，

∴從而可判斷選項C錯誤，選項D正確.

幾何證明題和解答題幾乎都要運(yùn)用反推的方法得解，那么逆向思維能力就顯得特別重要.教師在教學(xué)中要有意識地引導(dǎo)學(xué)生這樣來思考，進(jìn)而養(yǎng)成逆向思維能力.

二、一題多解（變）需要發(fā)散性思維

在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容，從新知與舊知、本類與它類、縱向與橫向等方面引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，弄清知識之間的聯(lián)系，以拓寬學(xué)生的知識面，開拓學(xué)生的思維，從而培養(yǎng)思維的廣闊性和創(chuàng)新性.例如在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)時，設(shè)計了這樣一個習(xí)題.

例3如圖4所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，試判斷∠A和∠D的關(guān)系.

分析先引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，思考∠A和∠D應(yīng)怎樣聯(lián)系起來.我們看到兩個三角形，即△ABC和△BCD，并且這兩個三角形的其他兩個角是平分關(guān)系的，因此結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)可以解出.

解∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

即∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）.

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），

∴∠DBC+∠DCB=12（180°-∠A）.

在△BCD中，∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，

∴∠D+12（180°-∠A）=180°.

化簡得∠D=12×180°+12∠A=90°+12∠A.

學(xué)習(xí)了外角的性質(zhì)后，題目改為：

[例3變式一]如圖5所示，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACM，試判斷∠A和∠D的關(guān)系.

分析相對于原題，這里改變的是內(nèi)角平分線變?yōu)橥饨瞧椒志€，那么我們是不是從外角的性質(zhì)考慮∠A和∠D的關(guān)系更加簡便呢？這是肯定的.外角的性質(zhì)定理：三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和.結(jié)合外角性質(zhì)定理和角平分線性質(zhì)可以找出∠A和∠D的關(guān)系.

解∵BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACM，

∴∠DBC=12∠ABC，∠DCM=12∠ACM.

∵∠ACM是△ABC的外角，∠DCM是△BCD的外角，

∴∠ACM=∠A+∠ABC，∠DCM=∠D+∠DBC，

∴12（∠A+∠ABC）=∠DCM=∠D+∠DBC，

12∠A+12∠ABC=∠D+∠DBC=∠D+12∠ABC，

∴12∠A=∠D.

[例3變式二]如圖6所示，BD平分外角∠NBC，CD平分外角∠BCM，試判斷∠A和∠D的關(guān)系.

這樣改變條件后，解題涉及的知識點就更加綜合了，包括三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)定理和角平分線的性質(zhì).一題多變，對于學(xué)生思維的廣闊性和創(chuàng)新性的養(yǎng)成很有好處，教師在日常教學(xué)設(shè)計中要多思考，適當(dāng)改變條件，給學(xué)生更加靈活的課堂內(nèi)容.

圖7

例4如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（6，0），點B（0，2），點P是直線y=-x-1上一點，且∠ABP=45°，則點P的坐標(biāo)是.

分析此題要求出點P的坐標(biāo)，就必須求出直線BP的表達(dá)式，然后聯(lián)立直線y=-x-1，從而求出點P的坐標(biāo).

現(xiàn)在已知點B坐標(biāo)，因此必須求出直線BP另一點坐標(biāo)或者求出直線BP的斜率.下面的思考就是利用已知條件和已掌握的知識入手，要進(jìn)行創(chuàng)造性思維，那就是要作輔導(dǎo)線，構(gòu)造三角形全等或相似等，從而獲得另一點坐標(biāo)或求出直線BP的斜率.

解法一如圖8所示，過點A作AC⊥AB，交PB于C，則由∠ABP=45°，得△ABC為等腰直角三角形.

再過點A作直線MN∥y軸，作BM⊥MN交于點M，作CN⊥MN交于點N.

∵點A（6，0），點B（0，2），

∴BM=OA=6，AM=OB=2.

∵∠ABM+∠BAM=90°，

且∠CAN+∠BAM=90°，

∴∠CAN=∠BAM.

∵∠M=∠N=90°，∴△ABM≌△CAN.

∵CN=AM=2，AN=BM=6，

∴C（4，-6），B（0，2）.

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，將B，C兩點代入，

∴-6=4k+b，2=b，

解得k=-2，b=2.

得直線BC表達(dá)式為y=-2x+2，

聯(lián)立y=-x-1，解得x=3，y=-4，

∴P（3，-4）.

解法二如圖9所示，過點B作BC⊥AB，截取點C，使得BC=AB，CD⊥y軸于點D，連接AC，交BP于點M，則BM是等腰三角形ABC底邊上的中線，△ABO≌△BCD，從而CD=BO=2，BD=OA=6，OD=6-2=4，則C點坐標(biāo)（-2，-4）.

∵M(jìn)是AC的中點，

∴M點坐標(biāo)（2，-2）.

設(shè)直線BP表達(dá)式為y=kx+b，

∴-2=2k+b，2=b，解得k=-2，b=2.

直線BP表達(dá)式為y=-2x+2，聯(lián)立y=-x-1，

解得x=3，y=-4.∴P（3，-4）.

解法三如圖10所示，過點B作BC⊥AB，在BC截取點C使得BC=AB.

作CD⊥y軸于點D，連接AC交BP于點M，

則BM是等腰三角形ABC底邊上的中線.

△ABO≌△BCD，從而

CD=BO=2，

BD=OA=6，

∴C點坐標(biāo)（-2，-4），

∴直線AC的斜率

kAC=yA-yCxA-xC=0-（-4）6-（-2）

=48=12.

∵直線AC⊥直線BP，

∴kAC×kBP=-1，

∴kBP=-2，從而得直線BP表達(dá)式為y=-2x+2.

聯(lián)立y=-x-1，解得x=3，y=-4，

∴P（3，-4）.

此題還有多種解法，大家可去研究.

三、特殊到一般需要?dú)w納演繹

歸納思維是一種重要的邏輯推理形式.完全歸納推理可以論證創(chuàng)新成果，不完全歸納推理可以產(chǎn)生新猜想，實現(xiàn)新創(chuàng)造.歸納與演繹辯證思維方法是培養(yǎng)創(chuàng)新性思維能力的基本方法，數(shù)學(xué)教學(xué)研究應(yīng)積極探索如何建立一種旨在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維能力的模式.幾何教學(xué)中經(jīng)常存在著需要?dú)w納與演繹的過程得出結(jié)論的例子.

例5如圖11所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=75°，求∠D.若∠A=60°，120°，135°，n時，∠D的大小呢？

分析∠D的大小與∠DCB+∠DBC的和有關(guān)，而∠A決定了∠DCB+∠DBC的大小.用數(shù)學(xué)式子表示出來，看看有什么聯(lián)系.

解在△ABC中，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，

∠ACB+∠ABC=180°-∠A=180°-75°=105°.

在△BCD中，∠DCB+∠DBC+∠D=180°，

∠D=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-12（∠ACB+∠ABC）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A=127.5°.

分別求出當(dāng)∠A=60°，75°，120°，135°，n時，∠D的度數(shù).解題過程中發(fā)現(xiàn)∠D=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-12（∠ACB+∠ABC）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A.

故當(dāng)∠A=n時，∠D=90°+n2.從這個問題的結(jié)論來看，∠D的大小與兩個因素有關(guān)：∠A和被幾等分，因此，可從另一個方面改變題目的條件.

[例5變式]如圖12所示，BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∠A=75°，求∠E和∠F.若被四等分呢？

分析∠E和∠F的大小與三角形的其他兩個角之和有關(guān)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理就可以解答了.

解

∠E=180°-13（∠ABC+∠ACB）

=180°-13（180°-∠A）

=23×180°+13∠A.

∠F=180°-23（∠ABC+∠ACB）

=180°-23（180°-∠A）

=13×180°+23∠A.

觀察答案的規(guī)律，是否可以猜想：當(dāng)∠ABC和∠ACB被n等

分時，形成的n-1個角，由下至上第i個角∠Ei=n-in×180°+in·∠A.猜想正確嗎？怎么驗證呢？有同學(xué)說可以設(shè)n=8，i=5的特例來驗證.

總之，數(shù)學(xué)問題變化無窮、生動活潑，新穎且有創(chuàng)新，條件復(fù)雜，結(jié)論不定，解法靈活.數(shù)學(xué)問題無現(xiàn)成模式可套用，教師應(yīng)消除學(xué)生模仿、死記解題的習(xí)慣，讓學(xué)生運(yùn)用多種思維方法，通過多角度的觀察、想象、分析、綜合、類比、歸納、概括等創(chuàng)造思維尋求多樣性的解題方法.以上僅僅是個人的一點教學(xué)心得，有不完善的地方還需要在今后的教學(xué)中不斷探索、實踐、總結(jié)，但我們的教學(xué)目標(biāo)是堅定的，為培養(yǎng)創(chuàng)造型人才而努力.

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