基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

張海燕 王懷習(xí) 胡波

【摘要】基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略為問(wèn)題教學(xué)策略的主要內(nèi)容進(jìn)行了深入分析，提出了專業(yè)問(wèn)題的設(shè)置、基于物元分析的問(wèn)題探索、問(wèn)題解答總結(jié)和研究性問(wèn)題的設(shè)置等具體內(nèi)容，針對(duì)數(shù)學(xué)課程以組合數(shù)學(xué)為例展開(kāi)教學(xué)，為更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，開(kāi)展教學(xué)研究，提升老師的教學(xué)能力進(jìn)行了有益的嘗試與探討。

【關(guān)鍵詞】物元分析;問(wèn)題教學(xué)策略;數(shù)學(xué)教學(xué)

1引言

教學(xué)策略是課堂教學(xué)的重要組成部分，可分為訓(xùn)練與練習(xí)策略，演繹策略，歸納策略，探究策略，問(wèn)題策略等。其中問(wèn)題策略是將知識(shí)點(diǎn)以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生在尋求和探索解決問(wèn)題的思維活動(dòng)中，掌握知識(shí)、發(fā)展智力、培養(yǎng)技能，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題的素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生思維的自主性和創(chuàng)新性，實(shí)現(xiàn)從能力到人格的整體發(fā)展。很多專家學(xué)者在方面進(jìn)行了研究和探討，諸如文獻(xiàn)[1]研究了教學(xué)策略的趨勢(shì)，從主體和客體兩方面進(jìn)行教學(xué)策略研究;文獻(xiàn)[2]采取多元化的教學(xué)方法和手段，利用問(wèn)題教學(xué)策略在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，取得了較好的效果。物元分析研究物元，探討如何求解不相容問(wèn)題的一種方法。它以研究促進(jìn)事物轉(zhuǎn)化，與思維科學(xué)，特別是與創(chuàng)造思維學(xué)有著密切的聯(lián)系[3]。物元分析的思想融入問(wèn)題教學(xué)策略中，能夠?qū)?wèn)題教學(xué)策略實(shí)施進(jìn)行有益的補(bǔ)充，提高教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和思維，值得探索和嘗試?；谖镌治龅膯?wèn)題教學(xué)策略怎樣設(shè)計(jì)，如何實(shí)施，效果怎樣，才能做到有效教學(xué)，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是教學(xué)中亟待解決的問(wèn)題。

2基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略的重要性

2.1問(wèn)題教學(xué)策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀分析

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教材中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題引入大多是經(jīng)典問(wèn)題，對(duì)新出現(xiàn)的問(wèn)題、專業(yè)相關(guān)的問(wèn)題引入甚少，問(wèn)題的更新度、與專業(yè)學(xué)科的緊密度不夠;問(wèn)題的解決方法仍舊是以往的方法，一題多解體現(xiàn)不夠，沒(méi)有解決方法的比較和分析;問(wèn)題的研究性不夠，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)從問(wèn)題的分析解決視角去學(xué)習(xí)，不是為了知識(shí)而學(xué)習(xí)，而是為了解決現(xiàn)實(shí)中亟待解決的問(wèn)題而學(xué)習(xí)，新問(wèn)題層出不窮，問(wèn)題的深度也不同，需要以對(duì)問(wèn)題研究的心態(tài)去對(duì)待學(xué)習(xí);問(wèn)題的闡釋不夠深入，沒(méi)有從多角度、多方位地解釋問(wèn)題，為什么引入這個(gè)問(wèn)題，闡釋到什么程度，怎樣理解，效果如何，能否讓人理解，并融入到知識(shí)點(diǎn)之中;問(wèn)題背后的方法總結(jié)和提煉不夠，一道題應(yīng)是一類題，學(xué)會(huì)了解題方法，應(yīng)該學(xué)會(huì)了同類題的解題，這樣知識(shí)才能融會(huì)貫通;同類問(wèn)題的設(shè)置不夠，需要全面考慮。基于上述問(wèn)題，提出基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略，通過(guò)實(shí)施來(lái)幫助學(xué)生深入理解知識(shí)，掌握知識(shí)的應(yīng)用技能，進(jìn)而提高創(chuàng)新思維能力。

2.2基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略的特點(diǎn)

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)中以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，問(wèn)題的選擇是一個(gè)特色，要求是本學(xué)科專業(yè)問(wèn)題或?qū)嶋H生活中與時(shí)俱進(jìn)的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心和主動(dòng)性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ);其次，問(wèn)題分析和解答融入物元分析思想，通過(guò)多種置換方式分析求解問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題內(nèi)部隱含的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生更易看透問(wèn)題的本質(zhì)，善于對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移、轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略

物元分析法中把事物，事物特征和事物關(guān)于特征的類別或量值稱為物元，物元可表達(dá)為多維形式，進(jìn)行物元變換，解決實(shí)際問(wèn)題。

基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略的模式：專業(yè)問(wèn)題的設(shè)置→基于物元分析的問(wèn)題探索→問(wèn)題解答→問(wèn)題討論、總結(jié)→研究性問(wèn)題的設(shè)置與解決。專業(yè)問(wèn)題的設(shè)置突出專業(yè)特色，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。問(wèn)題探索時(shí)尋根溯源，深入了解問(wèn)題的根源，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，根據(jù)已有的知識(shí)，建立知識(shí)與問(wèn)題的聯(lián)系，用物元分析方法來(lái)分析問(wèn)題。問(wèn)題解答中融入物元分析思想，通過(guò)物元分析的置換思想，包括置換變換、分解變換、擴(kuò)大變換、縮小變換等方法，使學(xué)生熟練掌握知識(shí)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問(wèn)題的意識(shí)。對(duì)提出的問(wèn)題進(jìn)行討論，問(wèn)題本身是否適合知識(shí)點(diǎn)，需要做什么調(diào)整，問(wèn)題的分析是否全面，需要增加什么內(nèi)容，通過(guò)討論，可以完善問(wèn)題內(nèi)容，方便提出更好的問(wèn)題。問(wèn)題討論總結(jié)和提煉是重要內(nèi)容，一方面對(duì)知識(shí)進(jìn)行深入理解，熟練掌握;另一方面，通過(guò)總結(jié)，可以提升老師的教學(xué)能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，為同類問(wèn)題提煉奠定基礎(chǔ)，也可提出新問(wèn)題，或者為不同類問(wèn)題提供解決的思路。研究性問(wèn)題的設(shè)置，更好地促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)，從對(duì)已知世界的認(rèn)知可以提升到對(duì)未知世界的判斷，對(duì)科研發(fā)展有促進(jìn)作用。

4案例分析

基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本文以組合數(shù)學(xué)為例[4]，在容斥原理、鴿巢原理、拉丁方教學(xué)中，應(yīng)用物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用有著重要的理論價(jià)值。

4.1基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略遵循的原則

在教學(xué)中，基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略遵循以下原則

（1）問(wèn)題專業(yè)性原則：選取的問(wèn)題具有專業(yè)特色，避免千篇一律，沒(méi)有重點(diǎn)。

（2）置換方法多樣性原則：盡可能列出講授知識(shí)點(diǎn)可以采取的各種置換方法，能夠深入理解知識(shí);

（3）知識(shí)提煉原則：在對(duì)原有知識(shí)點(diǎn)理解的基礎(chǔ)上，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的外延、內(nèi)涵做深入剖析，衍生出更具有普遍規(guī)律的定義、定理和重要結(jié)論，以加深和擴(kuò)大思維自由度，建立新的理論體系;

（4）各領(lǐng)域知識(shí)整合原則：將本課程的原理和其他領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)整合，以刺激思維，激發(fā)更多更好的解決方法;

（5）提問(wèn)原則：運(yùn)用現(xiàn)有的知識(shí)能夠解決問(wèn)題，但并不一定只有一種方法，問(wèn)題可以延伸，解決方法可以多樣，借助提問(wèn)方式以激勵(lì)和創(chuàng)造思維，產(chǎn)生新問(wèn)題，不斷尋求新的方法。

4.2基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（1）專業(yè)問(wèn)題的設(shè)置

在引入容斥原理時(shí)，依據(jù)學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，選取與專業(yè)相關(guān)的經(jīng)典問(wèn)題為引例，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，構(gòu)設(shè)學(xué)習(xí)該知識(shí)點(diǎn)的必要性，為有效地教學(xué)開(kāi)展打下良好的基礎(chǔ)。比如學(xué)生的專業(yè)是網(wǎng)絡(luò)工程，主要以數(shù)論與計(jì)算機(jī)的問(wèn)題為引例，這些問(wèn)題的理論知識(shí)是容斥原理，因此在講解容斥原理不會(huì)顯得突兀，順理成章地介紹知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到水到渠成的效果。在講授拉丁方時(shí)，拉丁方本身就是試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系更加緊密，因而在講授前，應(yīng)該尋找專業(yè)課程的問(wèn)題，用拉丁方求解適合而迫切。比如，秘密分享問(wèn)題，是密碼學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題，密鑰如何分給參與者，既能保證密鑰安全，又能復(fù)原，這里用到拉丁方設(shè)計(jì)，是一個(gè)很經(jīng)典的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，也是拉丁方方法的經(jīng)典應(yīng)用案例。因此專業(yè)問(wèn)題的設(shè)置特點(diǎn)在于能夠極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)的方式更易理解，增強(qiáng)了學(xué)生的求知欲。

（2）問(wèn)題探索

問(wèn)題探索是一個(gè)曲折、漫長(zhǎng)而無(wú)標(biāo)準(zhǔn)參考的過(guò)程。人們對(duì)問(wèn)題的理解并不統(tǒng)一，對(duì)問(wèn)題的探索方法也層出不窮，教育學(xué)者都在這方面做了諸多貢獻(xiàn)，提出了不同的見(jiàn)解?；谖镌治龅膯?wèn)題探索，運(yùn)用置換的思想分析問(wèn)題，不失為一個(gè)有效的探索方法。

第一，置換變換思想。指用一個(gè)物元直接地替換另一個(gè)物元，即思維由一個(gè)對(duì)象跳躍到另一個(gè)對(duì)象，其機(jī)制是聯(lián)想。比如在容斥原理的問(wèn)題講解時(shí)，首先問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合，問(wèn)題的求解是計(jì)數(shù)，其理論原理實(shí)質(zhì)是集合的計(jì)數(shù)問(wèn)題，為了使學(xué)生更易理解原理，聯(lián)系到學(xué)過(guò)的概率論知識(shí)，可將容斥原理的集合計(jì)數(shù)問(wèn)題置換為概率論中集合關(guān)系的概率計(jì)算，同是先考慮集合的交并關(guān)系，然后計(jì)算時(shí)一個(gè)是計(jì)數(shù)，一個(gè)是求面積。這樣，學(xué)生自然會(huì)用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)求解新的問(wèn)題了。

第二，分解變換思想。指將一問(wèn)題分解成它的各個(gè)組成部分，由對(duì)各部分作細(xì)節(jié)深入探索而找到該問(wèn)題的突破點(diǎn)。比如在鴿巢原理中，有三個(gè)任意的整數(shù)a1，a2，a3，而b1b2b3是這三個(gè)數(shù)的任一排列，得到a1-b1，a2-b2，a3-b3中至少有一個(gè)是偶數(shù)。首先，任選三個(gè)整數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們中至少有兩個(gè)同奇偶，背后的原理是鴿巢原理，再對(duì)三個(gè)數(shù)作任一排列，又會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論作怎樣的排列，三個(gè)中至少有兩個(gè)同奇偶的結(jié)論不會(huì)地改變，因而不妨設(shè)其中一個(gè)是奇數(shù)，排列后仍舊有一個(gè)奇數(shù)與先前的數(shù)相同，這樣做減法運(yùn)算自然是偶數(shù)。因此，問(wèn)題需要分解開(kāi)，一點(diǎn)一點(diǎn)去思考，這樣才會(huì)探索到本質(zhì)，進(jìn)而找到求解的方法。再比如講解鴿巢原理的推廣時(shí)，有一個(gè)計(jì)算機(jī)中的問(wèn)題編碼問(wèn)題，即設(shè)A=a1a2…a20是10個(gè)0和10個(gè)1組成的2進(jìn)制數(shù)。B=b1b2…b20是任意的2進(jìn)制數(shù)，C=c1c2…c40，則存在某個(gè)i，1≤i≤20，使得CiCi+1…Ci+19與a1a2…a20至少有10位對(duì)應(yīng)相等。這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)不易看懂，更不要說(shuō)怎么求解了。對(duì)待復(fù)雜的問(wèn)題，必須分解成若干部分，一步一步地分析，首先，C到底是什么，從問(wèn)題可以看出，其實(shí)C是由B的每個(gè)元素每做一步置換得到的，直到置換到原來(lái)的順序?yàn)橹?。那么，?wèn)題可以分解成先對(duì)B做置換，并把每步置換的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，然后A與B相應(yīng)位置的數(shù)做對(duì)比，如果相同，認(rèn)為是對(duì)應(yīng)相等，再把對(duì)應(yīng)相等的數(shù)計(jì)算出來(lái)，中間蘊(yùn)藏著所有置換后對(duì)應(yīng)相等數(shù)的平均數(shù)問(wèn)題，這里才用到了鴿巢原理的推廣原理，所以問(wèn)題得以解決。

第三，擴(kuò)大變換思想。指對(duì)原問(wèn)題某些特征的量值加以擴(kuò)大。比如從1到12的自然數(shù)中任取7個(gè)，則這7個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是建立鴿巢，用鴿巢原理求解，因?yàn)?-12的自然數(shù)中，有一半是奇數(shù)，有一半是偶數(shù)，而任取7個(gè)數(shù)，必定多1個(gè)數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，所以由鴿巢原理可知，這7個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)在一個(gè)巢中，而它們都除去一切2的因子后的素?cái)?shù)相同，故一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。既然1到12中有這樣的結(jié)論，那么自然想到，只要是奇偶對(duì)半的整數(shù)，應(yīng)該都有相同的結(jié)論，故這個(gè)問(wèn)題可以擴(kuò)大到一個(gè)新問(wèn)題，即從1到2n的正整數(shù)中任取n+1個(gè)，則這n+1個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。解決方法相同。

第四，縮小變換思想。指對(duì)原事物某些特征的量值加以縮小。比如上述編碼問(wèn)題，求解過(guò)程仍舊復(fù)雜，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：設(shè)A=a1a2…a4是2個(gè)0和2個(gè)1組成的2進(jìn)制數(shù)。B=b1b2…b4是任意的2進(jìn)制數(shù)，C=c1c2…c8，則存在某個(gè)i，1≤i≤4，使得CiCi+1…Ci+7與a1a2…a4至少有2位對(duì)應(yīng)相等。當(dāng)數(shù)值變小時(shí)，很容易計(jì)算，而且結(jié)論可作為推廣，所以縮小變換在這里起到了重要的作用，同時(shí)也體現(xiàn)了由具體到一般的思維方式。

（3）問(wèn)題解答總結(jié)

問(wèn)題解答力求簡(jiǎn)潔清晰，例如上述編碼問(wèn)題，用語(yǔ)言敘述是一種解答方法，但是如果將復(fù)雜問(wèn)題分解成多部分，用矩陣表示各部分的特征，通過(guò)矩陣的計(jì)算得到結(jié)論，不失為一種簡(jiǎn)潔可行的辦法。bi表示矩陣的第i行，aj表示矩陣的第j列，矩陣中的元素dij表示bi與aj中的二進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)結(jié)果，比如bi=1，aj=0，則dij=0，如果bi=1，aj=1，則dij=1，這樣形成矩陣之后，每行數(shù)為1的個(gè)數(shù)之和即為A與B對(duì)應(yīng)相等的數(shù)總數(shù)，而矩陣中元素的總數(shù)指對(duì)應(yīng)的次數(shù)，這種解釋更加自然易懂。通過(guò)解答，可以總結(jié)好的學(xué)習(xí)方法，利用更多的知識(shí)進(jìn)行交叉使用，會(huì)達(dá)到意想不到的效果。

（4）研究性問(wèn)題的設(shè)置

研究性問(wèn)題是對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步拓展，通過(guò)解決現(xiàn)有問(wèn)題，提出更多新問(wèn)題，可以幫助教學(xué)向研究方向發(fā)展，更好地促進(jìn)科研。比如區(qū)組設(shè)計(jì)一章中，在學(xué)習(xí)了拉丁方的基礎(chǔ)知識(shí)，拉丁方和正交拉丁方的定義、性質(zhì)，正交拉丁方的構(gòu)造方法等基礎(chǔ)上，可以完成較低階的正交拉丁方構(gòu)造，來(lái)解決一些問(wèn)題，但是構(gòu)造高階拉丁方仍是正在研究的問(wèn)題，在具體問(wèn)題中如何應(yīng)用也是待解決的問(wèn)題。

基于物元分析的問(wèn)題教學(xué)策略發(fā)揮了問(wèn)題教學(xué)策略的優(yōu)勢(shì)，采用問(wèn)題引入來(lái)講解知識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望，同時(shí)提出了專業(yè)問(wèn)題設(shè)置、基于物元分析的問(wèn)題解答、研究性問(wèn)題設(shè)置等，在教學(xué)上進(jìn)行了深入分析和探討，為進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，提升老師的教學(xué)和科研能力進(jìn)行了有益的探索。

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作者簡(jiǎn)介：張海燕（1977.6-），女，漢族，甘肅蘭州人，西安科技大學(xué)碩士研究生，國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院副教授，主要研究方向：網(wǎng)絡(luò)空間安全。