摘 要：數(shù)學(xué)建模是一種思想方法。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材沒(méi)有直接標(biāo)明教學(xué)“數(shù)學(xué)建?！钡恼n時(shí)內(nèi)容，它更多是以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為載體而隱藏存在的，需要教師以培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)為核心目標(biāo)，在教學(xué)中挖掘蘊(yùn)含于其中的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，從而真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值。理念決定行為，基于上述對(duì)數(shù)學(xué)建模的理念認(rèn)識(shí)，文章作者進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐。主要從兩個(gè)方面展開(kāi)：一是分析數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的過(guò)程結(jié)構(gòu);二是建構(gòu)數(shù)學(xué)建模課型的教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：育人價(jià)值;數(shù)學(xué)建模;結(jié)構(gòu)類(lèi)型;教學(xué)模式

作者簡(jiǎn)介：孫大偉（1985.12—），男，福建廈門(mén)人，福建省廈門(mén)市深田小學(xué)，一級(jí)教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

《“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要》指出，學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)發(fā)展具有獨(dú)特的價(jià)值。不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)本身的掌握，更為重要的是，要幫助學(xué)生提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，建構(gòu)起一種唯有在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中才有可能經(jīng)歷、體驗(yàn)和形成的思維方式，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生生命成長(zhǎng)的雙向轉(zhuǎn)化和雙向建構(gòu)。筆者在教學(xué)實(shí)踐中感受到，基于應(yīng)試教育的大環(huán)境，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)側(cè)重于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的掌握是不可否認(rèn)的事實(shí)。但如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)育人價(jià)值的問(wèn)題亦是我們不容忽視的。筆者在育人價(jià)值理念下進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)的實(shí)踐活動(dòng)，經(jīng)歷了以下過(guò)程。

一、數(shù)學(xué)建模的理念認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)建模的定義之一是：數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)思想方法，即根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、做出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)階段可簡(jiǎn)化理解為：建立解決一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)語(yǔ)言化（更多的是符號(hào)化）的方法，運(yùn)用所建立的方法模型高效解決一串同類(lèi)問(wèn)題。

正因?yàn)閿?shù)學(xué)建模是一種思想方法，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有直接標(biāo)明教學(xué)數(shù)學(xué)建模的課時(shí)內(nèi)容，它更多是以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為載體而隱藏存在的，需要教師以培養(yǎng)建模意識(shí)為核心目標(biāo)，在教學(xué)中挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，從而真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，對(duì)于教科書(shū)中的應(yīng)用問(wèn)題，大多都是以數(shù)學(xué)應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)出來(lái)。一提到應(yīng)用題，學(xué)生就會(huì)下意識(shí)地認(rèn)為所有問(wèn)題一定存在單一解。這是一種錯(cuò)誤的思想，有些數(shù)學(xué)應(yīng)用題并沒(méi)有完全正確和完全單一的答案。每一個(gè)問(wèn)題都對(duì)應(yīng)實(shí)際生活，在與現(xiàn)實(shí)進(jìn)行聯(lián)系的過(guò)程中，便存在著不同的解。比如，在對(duì)數(shù)學(xué)理論之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行解釋說(shuō)明的過(guò)程中，學(xué)生如果不具備良好的數(shù)學(xué)建模思想，很多數(shù)學(xué)理論、邏輯與知識(shí)并不能夠完全消化，從而容易逐漸喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。同時(shí)，與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模不同，本文所指的“數(shù)學(xué)建?！笔墙?shù)學(xué)建模的思維。

基于以上對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，教師首先要改變對(duì)于某些具有建模價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。例如，四年級(jí)的“烙餅問(wèn)題”、五年級(jí)的“探索圖形”和“植樹(shù)問(wèn)題”、六年級(jí)的“鴿巢問(wèn)題”等等。從數(shù)學(xué)知識(shí)層面看，這些問(wèn)題本身沒(méi)有任何關(guān)聯(lián)性，側(cè)重知識(shí)本身的教學(xué)必然是教解決每個(gè)問(wèn)題的具體方法。從數(shù)學(xué)育人價(jià)值層面看，數(shù)學(xué)知識(shí)本身很重要，但更重要的是以這些問(wèn)題為載體都能指向同一核心目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！蹦芰?。教師要明確在進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中，讓學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的建模過(guò)程進(jìn)行體驗(yàn)，在體驗(yàn)之后逐漸培養(yǎng)學(xué)生將具體問(wèn)題總結(jié)為抽象數(shù)學(xué)概念的能力，更好地理解數(shù)學(xué)理論，幫助數(shù)學(xué)課程乃至各科課程的學(xué)習(xí)。教師要學(xué)會(huì)有所側(cè)重、有所取舍。這些具有數(shù)學(xué)建模價(jià)值的問(wèn)題往往是思維拓展性問(wèn)題，有兩種目標(biāo)定位：一是定位解決問(wèn)題，關(guān)注方法經(jīng)歷，課堂教學(xué)體現(xiàn)出“重視多樣方法教學(xué)，重視方法對(duì)比優(yōu)化，重視同類(lèi)大量訓(xùn)練，重視變式靈活訓(xùn)練，重視逆向拓展提高，重視解題方法記憶”的特點(diǎn);二是定位數(shù)學(xué)建模，關(guān)注建模經(jīng)歷，課堂教學(xué)體現(xiàn)出重視“聚焦核心方法，問(wèn)題抽象化，建立符號(hào)化的方法模型，運(yùn)用模型解決問(wèn)題”的特點(diǎn)。側(cè)重解決問(wèn)題與側(cè)重?cái)?shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)顯然有一定的區(qū)別，兩者間有一定的難度，容易造成目標(biāo)定位不清晰，導(dǎo)致教學(xué)效果大打折扣。因此，在育人價(jià)值的理念之下，完善小學(xué)數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)模式，教會(huì)學(xué)生如何構(gòu)建數(shù)學(xué)建模思想，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的突破點(diǎn)，同時(shí)也是有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、綜合素養(yǎng)的有效措施。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的意義

首先，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，能夠幫助學(xué)生從生活、身邊尋找和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：通過(guò)數(shù)學(xué)建模的思維，使實(shí)際的問(wèn)題得到解決，通過(guò)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng)，幫助學(xué)生更加深刻地理解抽象數(shù)學(xué)概念，更好地將實(shí)際生活與數(shù)學(xué)相結(jié)合，提升學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣與意識(shí)。

其次，數(shù)學(xué)建模的實(shí)質(zhì)在于幫助學(xué)生構(gòu)建研究性學(xué)習(xí)思維。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，能夠使學(xué)生在后期對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，更好地從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在對(duì)周邊實(shí)際事例進(jìn)行觀察后，將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行判斷、解釋和運(yùn)用，并對(duì)其產(chǎn)生新的認(rèn)知，總結(jié)學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)和理論。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，能夠幫助學(xué)生不斷提升自主學(xué)習(xí)、探究意識(shí)，推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的更進(jìn)一步發(fā)展。

最后，數(shù)學(xué)建模課程的設(shè)立，輔助數(shù)學(xué)課程的實(shí)際應(yīng)用，改善了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的模式，創(chuàng)新了數(shù)學(xué)教學(xué)理念。

三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐

理念決定行為，基于上述對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的建模理念的認(rèn)識(shí)，筆者進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐。實(shí)踐主要從兩個(gè)方面展開(kāi)：一是分析數(shù)學(xué)建模結(jié)構(gòu)類(lèi)型;二是建構(gòu)數(shù)學(xué)建模課型的教學(xué)模式。具體實(shí)踐如下。

（一）分析“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)的結(jié)構(gòu)類(lèi)型

新基礎(chǔ)提出的結(jié)構(gòu)類(lèi)型主要有三類(lèi)，即知識(shí)整體的框架性結(jié)構(gòu)、知識(shí)形成的過(guò)程性結(jié)構(gòu)、學(xué)生學(xué)習(xí)的方法性結(jié)構(gòu)。前兩種結(jié)構(gòu)類(lèi)型重點(diǎn)在于對(duì)知識(shí)本身進(jìn)行分析，第三種結(jié)構(gòu)類(lèi)型更側(cè)重于對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行分析。從學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知過(guò)程的角度看，有些數(shù)學(xué)知識(shí)雖然表面不同，但是在認(rèn)知這些知識(shí)的過(guò)程中體現(xiàn)出共同的學(xué)習(xí)方法，我們稱(chēng)之為方法性結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思想方法，具體到實(shí)際操作層面就是一種具有建模意識(shí)的方法性結(jié)構(gòu)。比如前面提到的“烙餅問(wèn)題”“探索圖形”“植樹(shù)問(wèn)題”等問(wèn)題顯然截然不同。但一旦將核心目標(biāo)定位到數(shù)學(xué)建模，就可發(fā)現(xiàn)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)都體現(xiàn)“復(fù)雜問(wèn)題的提出，簡(jiǎn)單問(wèn)題的研究，問(wèn)題抽象化，解決問(wèn)題的方法模型化，運(yùn)用方法模型解決問(wèn)題”的學(xué)習(xí)方法。因此，學(xué)生就可以利用在數(shù)學(xué)建模課上學(xué)到的方法性結(jié)構(gòu)，主動(dòng)參與其他數(shù)學(xué)建模課的研究。不斷經(jīng)歷該數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)方法，方法性結(jié)構(gòu)將不斷內(nèi)化，逐步形成數(shù)學(xué)建模思想方法。

（二）探究數(shù)學(xué)建模課的教學(xué)模式

基于第一點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)所體現(xiàn)的方法性結(jié)構(gòu)的理解，在教學(xué)實(shí)踐中，筆者探究并形成數(shù)學(xué)建模課的教學(xué)模式，即“提出復(fù)雜問(wèn)題→從簡(jiǎn)單問(wèn)題展開(kāi)研究→問(wèn)題抽象化→建立解決問(wèn)題的模型→運(yùn)用模型解決這類(lèi)問(wèn)題”。從學(xué)生的角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模課的教學(xué)模式的明確，將使學(xué)生通過(guò)具有一定教學(xué)模式的課堂進(jìn)行方法性結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)得到實(shí)現(xiàn)。筆者以“探索圖形”為例，具體如下：

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出復(fù)雜問(wèn)題

創(chuàng)設(shè)在“8×8×8的大正方體表面涂色”的情境，交流明確小正方體的涂色情況有四種，即3面涂色、2面涂色、1面涂色和0面涂色后，提出復(fù)雜問(wèn)題：3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體分別有幾塊？在進(jìn)行涂色的過(guò)程中，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，提升學(xué)生的探索熱情以及學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生能夠不斷自主探索，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行更深一步的思考，結(jié)合理論知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在自主探索的體驗(yàn)之中，不斷明確復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題的解決思路和解決方法，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.化繁為簡(jiǎn)，從簡(jiǎn)單問(wèn)題展開(kāi)研究

教師引導(dǎo)學(xué)生思考遇到無(wú)法解決的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)應(yīng)怎么辦，明確數(shù)學(xué)上往往運(yùn)用化繁為簡(jiǎn)的思路，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。從同類(lèi)的簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，探究存在規(guī)律，尋找解決一類(lèi)問(wèn)題的方法;同時(shí)，充分將教材中所蘊(yùn)含的建模思想實(shí)際化，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。將教材與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，讓學(xué)生能夠在涂色過(guò)程中，自然而然地思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。具體來(lái)說(shuō)，教師要幫助學(xué)生在對(duì)涂色問(wèn)題初步的統(tǒng)計(jì)和觀察之中，找到相應(yīng)的規(guī)律，從而不斷提升學(xué)生的應(yīng)用能力和抽象概括能力。在具體的實(shí)踐中，教師組織學(xué)生從簡(jiǎn)單的3×3×3的大正方體表面涂色問(wèn)題展開(kāi)研究。學(xué)生探究3×3×3的大正方體涂色問(wèn)題顯然難度較低，通過(guò)具體的觀察、數(shù)數(shù)、分析、關(guān)聯(lián)等基本方法能找到解決3×3×3的大正方體涂色問(wèn)題的思路并列出具體算式。隨后運(yùn)用學(xué)會(huì)的思路，再一次列式分別解決4×4×4的大正方體涂色問(wèn)題、5×5×5的大正方體涂色問(wèn)題……經(jīng)歷簡(jiǎn)單問(wèn)題的研究過(guò)程，學(xué)生對(duì)于解決這類(lèi)問(wèn)題已經(jīng)有較為清晰的思路并能列出具體問(wèn)題對(duì)應(yīng)的具體算式。

3.問(wèn)題抽象化，建立解決問(wèn)題的模型

即使舉再多的例子，也始終處于具象的層面，距離真正的數(shù)學(xué)建模還差最重要的一步，即將問(wèn)題抽象化后，用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示解決問(wèn)題的方法。實(shí)踐中，教師適時(shí)提出建立數(shù)學(xué)模型的核心問(wèn)題：像這樣列舉得完嗎？如果是n×n×n的大正方體表面涂色問(wèn)題呢？學(xué)生基于上面簡(jiǎn)單問(wèn)題的探究，能逐步建立解決該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：0面涂色小正方體塊數(shù)為：（n-2）3;1面涂色小正方體塊數(shù)：6×（n-2）2;2面涂色小正方體塊數(shù)：12×（n-2）×12;3面涂色小正方體塊數(shù)為8。顯然，到目前為止，數(shù)學(xué)建模的重點(diǎn)環(huán)節(jié)已經(jīng)完成，學(xué)生的探究目標(biāo)就是獲得像上面這樣解決問(wèn)題的抽象化的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示的解決問(wèn)題的方法，也就是數(shù)學(xué)模型。

4.運(yùn)用模型，回歸解決實(shí)際問(wèn)題

建立數(shù)學(xué)模型之后，就可以運(yùn)用模型解決這類(lèi)問(wèn)題，解題難度基本上不受數(shù)據(jù)大小的影響。教師可以根據(jù)已經(jīng)構(gòu)建好的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行延伸擴(kuò)展，讓學(xué)生充分利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。教師將數(shù)學(xué)模型回歸實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生多樣練習(xí)，能夠幫助學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中不斷培養(yǎng)自身的綜合素養(yǎng)，特別是舉一反三、知識(shí)遷移的能力。實(shí)踐中，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決最開(kāi)始提出的8×8×8的復(fù)雜問(wèn)題，只需要將n=8代入相應(yīng)的公式中進(jìn)行計(jì)算即可，甚至數(shù)字更大的復(fù)雜問(wèn)題同樣也能用公式直接計(jì)算來(lái)解決。

筆者以探索圖形為例相對(duì)具體化地說(shuō)明小學(xué)數(shù)學(xué)建模課堂的教學(xué)模式，說(shuō)明學(xué)生所要經(jīng)歷的方法性結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)過(guò)程。其他具有數(shù)學(xué)建模價(jià)值的知識(shí)的教學(xué)開(kāi)展方式基本上與上面所說(shuō)相似。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模相比于生活實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模，考慮的因素經(jīng)過(guò)最簡(jiǎn)化的處理，學(xué)生經(jīng)歷的建模過(guò)程比實(shí)際難度明顯降低。雖然實(shí)際問(wèn)題比教材復(fù)雜很多，但數(shù)學(xué)建模作為一種數(shù)學(xué)思想方法，一種具有方法性結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，其最大的價(jià)值在于讓小學(xué)生在基礎(chǔ)學(xué)習(xí)階段通過(guò)學(xué)習(xí)形成建模意識(shí)、具備建模素養(yǎng)以及掌握一定的方法性結(jié)構(gòu)，在日后對(duì)實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用的過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模思想能夠起到至關(guān)重要的作用。學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行自主探索和合作交流的過(guò)程中，更好地統(tǒng)籌數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)優(yōu)化意識(shí)，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)過(guò)程中，提升解決問(wèn)題能力，感受數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值，并使知識(shí)、能力、情感等多方面得到同步發(fā)展。

隨著知識(shí)儲(chǔ)備的增加、綜合能力的提升，掌握了方法性結(jié)構(gòu)，學(xué)生就能進(jìn)行靈活應(yīng)用，或者創(chuàng)造性地應(yīng)用。在新基礎(chǔ)教育育人價(jià)值的理念下，教師應(yīng)積極擔(dān)任起學(xué)生的引導(dǎo)者，為學(xué)生提供廣闊的數(shù)學(xué)建模空間，提升學(xué)生的綜合能力，逐步形成數(shù)學(xué)建模思維，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率。同時(shí)，一線教師還可以更加重視挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)的獨(dú)特育人價(jià)值，在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，更要關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的成長(zhǎng)做更多的努力。

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