陳利民

摘? 要：通過對新、舊教材中“立體幾何”的對比，了解教材知識內(nèi)容、編排順序的調(diào)整情況，分析教材編排的意圖與亮點(diǎn)，重點(diǎn)感悟數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在章節(jié)知識中的培育和滲透，為立體幾何教學(xué)提出有益的意見和建議，從而實(shí)現(xiàn)從教材知識到核心素養(yǎng)的跨越.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)特征;編排順序;核心素養(yǎng);教學(xué)建議

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“新教材”）必修第二冊中的“立體幾何”內(nèi)容遵循從具體到抽象、從整體到局部的原則，在內(nèi)容的編排上更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 從生活中的實(shí)物出發(fā)，研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)，數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)是具有美感的. 從形狀入手抽象出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從大小入手探求表面積和體積的計(jì)算方式. 在此基礎(chǔ)上，抽象出立體幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，即空間點(diǎn)、線、面的三個(gè)基本事實(shí)，進(jìn)而重點(diǎn)研究空間線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系. 在這一過程中，初步體驗(yàn)直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算的立體幾何研究方法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得以有效提升.

一、新、舊教材結(jié)構(gòu)體系的差異

新教材的編排充分體現(xiàn)了“優(yōu)化結(jié)構(gòu)、突出主線、精選內(nèi)容”的12字理念，主體內(nèi)容基本保持穩(wěn)定. 與人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2必修》（以下統(tǒng)稱“舊教材”）相比，在部分內(nèi)容的順序和例題的選擇上有所增加或刪減. 新、舊教材之間的差異，主要體現(xiàn)在如下五個(gè)方面.

一是新教材刪除了三視圖這一內(nèi)容. 一方面，是因?yàn)檫@一內(nèi)容在初中教材中已經(jīng)有所涉及，高中信息技術(shù)教材中也有更加詳細(xì)的介紹，借助現(xiàn)代信息技術(shù)可以更好地展現(xiàn);另一方面，從章節(jié)的內(nèi)容主題上講，三視圖與空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征這一概念的構(gòu)建并沒有直接的關(guān)聯(lián)，刪除三視圖內(nèi)容可以更加凸顯學(xué)習(xí)目標(biāo).

二是將舊教材中的三個(gè)公理調(diào)整為三個(gè)基本事實(shí)，且編排順序進(jìn)行了調(diào)整. 基本事實(shí)1給出平面的確定性，描述點(diǎn)與平面的關(guān)系;基本事實(shí)2描述直線與平面的關(guān)系;基本事實(shí)3描述平面與平面的關(guān)系. 這樣依據(jù)從點(diǎn)到直線再到平面的順序來刻畫平面的概念，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，再用說理的方式給出三個(gè)推論，使學(xué)生對平面這一不加定義但又在空間無限延伸的概念有了更清晰的認(rèn)識，為后續(xù)研究線線、線面關(guān)系打好基礎(chǔ).

三是將舊教材中的平行公理改為基本事實(shí)4，內(nèi)容編排從原來的空間直線關(guān)系調(diào)整到研究平行關(guān)系這一章節(jié)中，使得知識體系更加自然化.

四是在研究空間平行與垂直這一重點(diǎn)內(nèi)容時(shí)，舊教材先研究線線平行和面面平行的判定，再研究他們各自平行所具備的性質(zhì)（線線垂直和面面垂直亦是如此）. 新教材在編排順序上進(jìn)行了調(diào)整：先研究線線平行的判定，接著給出線線平行的性質(zhì);先研究面面平行的判定，接著給出面面平行的性質(zhì)（線線垂直和面面垂直亦是如此）. 這樣的編排，體現(xiàn)單元小章節(jié)間知識的連續(xù)性和系統(tǒng)性，更有利于學(xué)生對知識的理解和掌握.

五是在球的體積公式的推導(dǎo)上，舊教材只表明“這個(gè)公式以后可以證明”，而新教材采用類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生通過“分割、求近似值、極限的思想”進(jìn)行推導(dǎo). 類似地，在臺體體積公式的推導(dǎo)上，舊教材也是直接給出公式，并提示學(xué)生思考柱體、錐體、臺體體積公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，而新教材不僅以歸納的方式和動態(tài)變化的觀點(diǎn)給出三個(gè)公式之間的本質(zhì)關(guān)系，還在描述線面距離和面面距離的含義后，以用大棱錐減去小棱錐的體積的方式對臺體的體積公式加以推理證明，有效設(shè)置思維坡度，讓學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)得到培養(yǎng).

二、新教材編排意圖亮點(diǎn)分析

1. 巧設(shè)思維梯度，培育學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力

新教材“立體幾何”整章內(nèi)容的編排更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，按照“整體入手—直觀特征—抽象本質(zhì)—研究關(guān)系”的思路層層展開，在盡量滿足數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的框架下，在許多細(xì)節(jié)的安排上巧設(shè)梯度，搭建思維循序漸進(jìn)的“腳手架”，為學(xué)生理解和掌握立體幾何的研究方法和核心知識提供由感性到理性的學(xué)習(xí)過程. 例如，針對“立體圖形的直觀圖”，舊教材在介紹長方體的斜二測畫法之后，立即給出一個(gè)圓錐和圓柱組合體的直觀圖，其實(shí)這個(gè)跨度還是有些大的，學(xué)生既要考慮圓的直觀圖如何畫，還要考慮組合體遮擋部分怎么處理，思路往往受到阻礙. 而新教材不僅在篇首給出“矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子”“遠(yuǎn)處的農(nóng)田”的實(shí)例圖片，還在長方體和組合體的斜二測畫法中增加了圓柱體的斜二測畫法，這一暗設(shè)的“腳手架”降低了方法遷移的難度，有效鋪設(shè)思維進(jìn)階的階梯，讓學(xué)生產(chǎn)生“跳一跳，夠得到”的愉快學(xué)習(xí)體驗(yàn)，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，培育他們的自主學(xué)習(xí)能力.

2. 依據(jù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)理論，幫助學(xué)生深入理解內(nèi)容本質(zhì)

“學(xué)科核心素養(yǎng)”一詞已經(jīng)逐漸被廣大一線教師接納和認(rèn)識，但是我們必須深刻認(rèn)識到，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不是教師教出來的，而是在教師的主導(dǎo)下，依據(jù)具體的問題情境，在問題解決的實(shí)踐中對學(xué)生潛移默化進(jìn)行培育涵養(yǎng)的. 新教材立足單元教學(xué)設(shè)計(jì)理論，立體幾何章節(jié)以核心知識系統(tǒng)為主線，將具有關(guān)聯(lián)性的知識合理整合，在內(nèi)容刪減、編排順序、例題選擇上科學(xué)安排，凸顯本單元蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和研究方法. 因此，我們要站在章節(jié)甚至數(shù)學(xué)課程的高度去研讀文本，連貫地理解目標(biāo)，突出學(xué)科知識的系統(tǒng)性. 新教材在部分內(nèi)容的處理上巧做調(diào)整，創(chuàng)設(shè)了一些具體問題探究情境. 例如，對三個(gè)基本事實(shí)的順序的調(diào)整;重點(diǎn)研究線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直時(shí)，遵循先判定定理再性質(zhì)定理，在小節(jié)點(diǎn)上形成內(nèi)部閉合系統(tǒng);推導(dǎo)球體和臺體的體積公式時(shí)，采用類比聯(lián)想、無限分割（整體減局部）、極限思維等數(shù)學(xué)常規(guī)轉(zhuǎn)化技能，把對公式的單純記憶和運(yùn)用，轉(zhuǎn)化為探究與發(fā)現(xiàn)，有效助推學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，幫助他們體驗(yàn)立體幾何學(xué)習(xí)的一般方法，強(qiáng)化提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

3. 滲透研究方法，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

幾何直觀和空間想象能力對學(xué)好立體幾何至關(guān)重要. 揚(yáng)長避短，借助實(shí)物教具和現(xiàn)代信息技術(shù)手段巧設(shè)問題情境，有效激發(fā)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，是學(xué)好本章知識的關(guān)鍵. 針對立體幾何的知識特點(diǎn)，新教材在章節(jié)開始設(shè)置了篇首語，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀，明確這一章的核心知識內(nèi)容，初步感知章節(jié)學(xué)習(xí)的基本思想方法：直觀感知（識圖）—操作確認(rèn)（畫圖）—推理論證（證圖）—度量計(jì)算（算圖）. 新教材在章節(jié)內(nèi)容安排上很好地體現(xiàn)了這一認(rèn)知過程. 高中生的形象思維強(qiáng)于抽象思維，因此，新教材采用了大量生活中的實(shí)物圖片，幫助學(xué)生更好地思考如何在二維平面上表述三維空間圖形，從實(shí)物模型抽象出幾何體結(jié)構(gòu)特征，再從斜二測畫法下的直觀圖想象還原成空間圖形. 在這一反復(fù)過程中架構(gòu)出空間結(jié)構(gòu)概念，體會空間問題平面化處理是立體幾何問題解決的一般化思路.

4. 依托問題鏈接，提升問題解決能力

具有核心主題的問題鏈，可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供脈絡(luò)清晰的骨架，引導(dǎo)學(xué)生的思維層層遞進(jìn)，在以往知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識的概念，實(shí)現(xiàn)一定跨度間的思維飛躍. 因此，新教材在許多章節(jié)中設(shè)置了一定數(shù)量的“思考”與“提示”，區(qū)別于舊教材，這些思考與提示往往是有中心、有主題、有序列、相對獨(dú)立而又相互聯(lián)系的問題鏈，指明數(shù)學(xué)節(jié)點(diǎn)問題研究的方向，避免學(xué)生走思維彎路，提升學(xué)生問題解決的能力. 例如，新教材對于兩個(gè)平面平行判定的研究，給出了如下一系列問題：① 類似線面平行判定，如何把面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題？② 如果一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面一定平行嗎？③ 如何判定任一直線平行于另一平面？有無簡便方法？④ 一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線或平行直線都平行于另一平面，能否判定兩個(gè)平面平行？⑤ 根據(jù)基本事實(shí)的推論，相交或平行的兩條直線都能確定平面，為何相交直線可以判定面面平行，而平行直線卻不能？你能從向量角度解釋嗎？這五個(gè)問題串聯(lián)起一條環(huán)環(huán)相扣、步步深入，指向面面平行本質(zhì)的問題鏈，以問題解決為最終指向，逆向?qū)で髥栴}成立的充分條件，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和問題解決方法，在步步為營的探究思考中錘煉學(xué)生的思維品質(zhì)，而向量知識的拷問又很好地串聯(lián)起跨章節(jié)知識間的聯(lián)系，說明數(shù)學(xué)知識是一個(gè)有機(jī)的整體. 這樣的問題情境，可以幫助學(xué)生在以往“記憶、理解、運(yùn)用”的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)向“分析、評價(jià)、創(chuàng)造”這一問題解決能力提升的高品質(zhì)思維跨越.

三、基于新教材的若干教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，學(xué)生通過學(xué)習(xí)，要在獲得“四基”、提高“四能”的過程中，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，自主學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展，并逐步樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識，提高對數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值的認(rèn)識水平. 基于核心素養(yǎng)視域，結(jié)合對新教材“立體幾何”章節(jié)編排的理解，筆者提出如下五個(gè)方面的教學(xué)建議.

1. 加強(qiáng)對一般觀念的引導(dǎo)，明晰基本思路方法

所謂一般觀念，是對研究對象所反映的數(shù)學(xué)思想和方法的一般性回答，旨在明晰研究什么、怎么研究的問題. 例如，平面是一個(gè)不定義的概念，如何理解平面的本質(zhì)屬性，我們可以借助集合的觀點(diǎn)，無論是直線還是平面，都是空間中無數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，直線的無限延伸性決定了平面的無限延伸性，結(jié)合三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，學(xué)生對空間研究中涉及的平面概念的理解就完全明晰了. 又如，本章節(jié)的核心知識點(diǎn)——研究空間直線、平面的平行與垂直問題和判定定理，都是從生活實(shí)踐中的直觀感受出發(fā)加以科學(xué)地推理論證，而對性質(zhì)問題的深層次理解，我們可以在基本章節(jié)學(xué)習(xí)之后，把直線與平面平行或垂直的性質(zhì)、平面與平面平行或垂直的性質(zhì)進(jìn)行對比分析，研究共性之后就會發(fā)現(xiàn)，這些性質(zhì)其實(shí)就是在一定的位置關(guān)系下，空間其他直線或平面與既定位置關(guān)系下的直線與平面確定的位置關(guān)系. 例如，研究直線[a]垂直于平面[α]的性質(zhì)，就是考量在線面垂直的前提下，空間其他直線[b]與平面[β]和它們之間的位置關(guān)系. 顯然，若直線[b]也垂直于平面[α]，則直線[a]平行于直線[b];若直線[b]平行于平面[α]，則直線[a]垂直于直線[b];若平面[β]垂直于平面[α]，則直線[a]平行于平面[β];若平面[β]平行于平面[α]，則直線[a]垂直于平面[β].

2. 利用空間幾何實(shí)物模型，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

立體幾何是研究空間物體形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科，對學(xué)生的空間概念、空間想象力要求比較高. 新教材中的整個(gè)章節(jié)，都是從具體的實(shí)例出發(fā)，既有生活中具有一定美感的建筑物（柱、錐、臺、球模型），也有與日常生活密切相關(guān)的諸如旗桿與地面、學(xué)校教室、體育館等，教師要引領(lǐng)學(xué)生分析共性，幫助學(xué)生抽象結(jié)構(gòu)本質(zhì)，使他們既能夠通過圖形來描述幾何體的本質(zhì)特征，又能夠通過本質(zhì)特征來想象幾何體的原型，發(fā)展空間想象力. 在這一過程中，幾何體實(shí)物模型可以起到很好的橋梁作用. 因此，教師要格外重視利用生活中的模型（如長方體型的橡皮擦、教室的空間等）引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)基本圖形中的平行與垂直關(guān)系，以及長方體切割后與棱柱和棱錐的關(guān)聯(lián)等，加強(qiáng)直觀引領(lǐng)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).

3. 把握循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，合理掌控教學(xué)要求

對高中生來說，立體幾何知識體系是全新的，不同于函數(shù)、向量等代數(shù)知識. 立體幾何歷來是一部分高中生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，原因在于其內(nèi)容比較抽象，需要學(xué)生具備良好的空間想象能力，這種能力的培養(yǎng)不可能一蹴而就，需要教師在教學(xué)中循序漸進(jìn)，合理掌控教學(xué)要求和難度，既要保障知識點(diǎn)的落實(shí)，又要保護(hù)好學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，通過激發(fā)興趣增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力. 因此，教師在教學(xué)中要具備“三觀”，即整體觀、核心觀和發(fā)展觀. 整體觀是指要整體思考和把握每一部分在整個(gè)章節(jié)中的地位和要求，切忌盲目拓展和拔高. 例如，棱柱的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，在師生共同描述棱柱的結(jié)構(gòu)特征后，教師往往會追問：有兩個(gè)平面平行、其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱嗎？學(xué)生一般會回答“是”，因?yàn)榛趯庵Y(jié)構(gòu)的認(rèn)識，腦海里想不出反例，教師可以借助信息技術(shù)呈現(xiàn)兩個(gè)面對接的凹多面體形態(tài)，但是切記不要補(bǔ)充太多，讓學(xué)生了解即可. 核心觀是指要重點(diǎn)分析講解本章的核心知識點(diǎn)，闡述核心知識的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，特別是研究學(xué)習(xí)的一般思路與方法. 例如，直線與平面平行或垂直、平面與平面平行或垂直，通過類比聯(lián)想、空間問題平面化處理等方法，讓學(xué)生知曉研究對象是什么，以及如何開展類似研究等，用數(shù)學(xué)眼光看世界、用數(shù)學(xué)思維思考問題遠(yuǎn)比掌握結(jié)論更重要. 發(fā)展觀是指用動態(tài)聯(lián)系的觀點(diǎn)思考問題，用發(fā)展的眼光看問題，掌握一類問題的解決方法，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ). 例如，對球體體積公式的推導(dǎo)，新教材采用分割、求近似值、求極限的思想方法;對臺體體積公式的推導(dǎo)，不是放在求表面積和體積這一節(jié)點(diǎn)，而是放在線面距離和面面距離的概念之后，用大棱錐的體積減去小棱錐的體積的方法推理論證. 這種思想方法的重要性大于自身結(jié)果的重要性，教學(xué)中也不宜過分強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)過程，過分渲染復(fù)雜計(jì)算，方法的體驗(yàn)有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的奇妙產(chǎn)生好奇，今后章節(jié)內(nèi)容的多次嘗試會使方法的掌握水到渠成.

4. 適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)文化元素，培養(yǎng)科學(xué)探索精神

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，幾何學(xué)發(fā)展的歷程，不僅昭示著歷代數(shù)學(xué)家偉大的科學(xué)智慧，更是他們不畏艱辛、勇于探索、求真務(wù)實(shí)的科學(xué)精神的偉大體現(xiàn). 教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生閱讀新教材上的拓展性材料，鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間，上網(wǎng)查找相關(guān)人物資料，了解幾何學(xué)發(fā)展史上的重要事件和時(shí)間節(jié)點(diǎn). 例如，蒙日和畫法幾何，歐幾里得和《幾何原本》，祖暅和體積計(jì)算原理，等等. 通過查找資料，學(xué)生能夠了解立體幾何產(chǎn)生的知識背景和數(shù)學(xué)人物事跡，感悟?qū)缀螌W(xué)發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家們的科學(xué)探索精神. 同時(shí)，通過對已有數(shù)學(xué)成果的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠體驗(yàn)到數(shù)學(xué)對人類文明做出的重大貢獻(xiàn)，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)探索精神，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 這也是數(shù)學(xué)育人功能的良好體現(xiàn).

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