數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)
——淺析四個(gè)“一次”之間的關(guān)系

黃 峰

(江蘇省泰興市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 225400)

一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì) (x、y) 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一次函數(shù)與二元一次方程之間的關(guān)系，一元一次不等式, 一元一次方程和一次函數(shù)之間的相互關(guān)系.這四個(gè)“一次”是有著緊密聯(lián)系的.但對(duì)于這四者之間究竟存在一個(gè)什么樣的關(guān)系, 學(xué)生就感到非常茫然了，下面我想就這方面的問題談?wù)剛€(gè)人膚淺的認(rèn)識(shí):

一、深入了解一次函數(shù)

破析一次函數(shù)，是弄清它們之間關(guān)系的關(guān)鍵所在，蘇科版初中數(shù)學(xué)教材八上第6章6.1給出的函數(shù)的定義是:一般地，在一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng), 那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量.6.2給出了一次函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是y=kx+b(k,b是常數(shù)，且k≠0) , 特別地，其b=0時(shí)就是正比例函數(shù), 通過該表達(dá)式更能體現(xiàn)x和y的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 只要確定了x(y) , 就能確定唯一的y(x) 與之對(duì)應(yīng).在初中數(shù)學(xué)中x和y組成了一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y).6.3學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖像.通過列表、描點(diǎn)、連線, 發(fā)現(xiàn)了一次函數(shù)是一條直線，正比例函數(shù)是過原點(diǎn)的直線.通過觀察圖像, 我們知道了一次函數(shù)圖像的性質(zhì)：如果k>0, 那么函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；如果k<0,那么函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小.一次函數(shù)y=kx+b的圖像可以由正比例函數(shù)y=kx的圖像向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位長度得到.

二、四個(gè)“一次”之間的關(guān)系

一元一次方程、二元一次方程 (組)、與一元一次不等式(組)側(cè)重于從數(shù)的方面解決問題, 而一次函數(shù)的圖象側(cè)重于從形的方面解決問題.我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用時(shí)，往往是數(shù)形結(jié)合, 相輔相成.

1.一次函數(shù)與二元一次方程(組)之間的關(guān)系

例1請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭嫵鲆淮魏瘮?shù)y=2x+4的圖像.

第一步：列表，恰當(dāng)?shù)剡x取自變量x的幾個(gè)值，計(jì)算函數(shù)y對(duì)應(yīng)的值；

x…-3-2-101…y…-20246…

第二步：一次函數(shù)圖像上可以取到無數(shù)多個(gè)點(diǎn).我們把表中各對(duì)x,y的值為點(diǎn)的坐標(biāo)：(-3,-2),(-2,0),(-1,2),(0,4),(1,6)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn).

第三步：順次連接描出的各點(diǎn).

例2已知直線y1=2x-4與直線y2=-2x+8的圖像，求出交點(diǎn)坐標(biāo).

圖1

一個(gè)二元一次方程就是一個(gè)一次函數(shù)，一個(gè)一次函數(shù)就是一條直線，一條直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)，每一個(gè)坐標(biāo)就對(duì)應(yīng)一個(gè)解，無數(shù)個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著二元一次方程的無數(shù)個(gè)解.而另一條直線也是這樣的.所以這兩個(gè)一次函數(shù)圖像的這個(gè)交點(diǎn)就是無數(shù)個(gè)點(diǎn)中的特殊一個(gè)，交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式成立，也就是同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)的兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組成立，所以二元一次方程組的解就是所對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo).反過來，如果我們知道兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可以直接得到對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解.這兩種方法一種是數(shù)，一種是形，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的好處.

2.一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系

例3如圖2，觀察一次函數(shù)y=2x+4的圖像，回答下列問題：

圖2

(1)一次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

解析通過圖像我們可以直接讀出交點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0)，我們之前的學(xué)習(xí)已經(jīng)知道一次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為0 ，在這里我們可以令y=0,得出它所對(duì)應(yīng)的一元一次方程2x+4=0來驗(yàn)證這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是不是-2.

(2)在一次函數(shù)圖像上我任意找出一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，你能說出這點(diǎn)的橫坐標(biāo)嗎？

解析第一種方法，借助圖像，我們可以通過這點(diǎn)作x軸的垂線段去確定這點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).第二種方法，可以令y=6，得出它所對(duì)應(yīng)的一元一次方程2x+4=6，來確定這點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3.一次函數(shù)與一元一次不等式(組)之間的關(guān)系

例4如圖2，觀察一次函數(shù)y=2x+4的圖像，回答下列問題：

(1)在一次函數(shù)的圖像上，當(dāng)函數(shù)值y>0時(shí)，位于圖像上哪一部分，此時(shí)自變量的取值范圍是多少？

解析通過圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y>0圖像位于x軸的上方，自變量x的取值范圍是x>-2;我們也可以通過它所對(duì)應(yīng)的一元一次不等式2x+4>0來確定它的自變量x的取值范圍.

(2)在一次函數(shù)的圖像上，當(dāng)自變量x>0時(shí)，位于圖像哪一部分，此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍是多少？

例5已知函數(shù)y1=2x-4與y2=-2x+8的圖像，觀察圖像并回答問題：

(1)x取何值時(shí)，2x-4>-2x+8？

解析本題若從數(shù)的角度可作如下思考:解不等式2x-4>-2x+8, 得x>3.而從形的角度就簡單多了, 不等式2x-4>-2x+8就是y1>y2, 在直角坐標(biāo)系中尋找y1的圖象在y2圖象之上的區(qū)域, 顯然為x>3.

(2)x取何值時(shí)，2x-4≥0與-2x+8≥0同時(shí)成立？

由以上論述可知, 一元一次函數(shù)與二元一次方程(組)、一元一次方程、一元一次不等式(組)之間是相互聯(lián)系，相互滲透的, 如果我們樹立數(shù)形結(jié)合的理念, 在解決問題時(shí)或數(shù)或形或數(shù)形結(jié)合, 那么在解決相關(guān)問題時(shí)必能做到快速準(zhǔn)確，融會(huì)貫通、游刃有余.