徐東輝

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)中，數(shù)學(xué)建模一直有著重要的地位. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模所起的作用既有承上又有啟下，且具有高度的概括性. 從認(rèn)知角度看數(shù)學(xué)建模而言，有著非常重要的啟發(fā)，從數(shù)學(xué)建模策略的角度來(lái)看，筆者以為應(yīng)當(dāng)有這樣兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：第一，數(shù)學(xué)建模要考慮學(xué)生的認(rèn)知表征;第二，學(xué)生數(shù)學(xué)建模過(guò)程中會(huì)運(yùn)用到模型猜想、模型建構(gòu)、模型運(yùn)用、學(xué)習(xí)反思等等，因此相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模策略就有模型假設(shè)策略、模型建構(gòu)策略、模型自我監(jiān)控策略等等. 在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中，教師除了要積累經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)之外，更應(yīng)當(dāng)從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的把握與運(yùn)用角度去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高效的數(shù)學(xué)建模.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;認(rèn)知規(guī)律

隨著最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布，以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為關(guān)鍵詞的、對(duì)數(shù)學(xué)課程的理解與認(rèn)識(shí)，越來(lái)越凸顯出對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視. 之所以在這里特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模，是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)中，數(shù)學(xué)建模一直有著重要的地位，當(dāng)數(shù)學(xué)建模成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六個(gè)要素之一時(shí)，不僅意味著在高中數(shù)學(xué)課程當(dāng)中，已然繼承了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)建模的傳統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，同時(shí)也意味著數(shù)學(xué)建模面臨著新的教學(xué)需要——在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模所起的作用既有承上又有啟下，且具有高度的概括性，一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，往往既用到數(shù)學(xué)抽象，又用到邏輯推理;既涉及學(xué)生的幾何直觀，也有可能涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析. 認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，就能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系當(dāng)中的地位. 然而一個(gè)不容樂(lè)觀的實(shí)際情況是，十年來(lái)的實(shí)踐表明，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果并不令人滿意，究其重要原因之一在于，缺乏基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)理論指導(dǎo). 這是一個(gè)值得高度重視的問(wèn)題，只有真正立足于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，才能為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地奠定基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知基礎(chǔ)

應(yīng)當(dāng)說(shuō)數(shù)學(xué)建模是需要學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)的，從宏觀的角度來(lái)看，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是受認(rèn)知規(guī)律支配的，數(shù)學(xué)建模作為一個(gè)思維含量極高的學(xué)習(xí)過(guò)程，自然也是受認(rèn)知規(guī)律來(lái)支配的. 只是認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，還不足以尋找到數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知基礎(chǔ). 有研究者基于科學(xué)研究方法的選擇，通過(guò)對(duì)比研究的方法，選擇專(zhuān)家被試與新手被試作為比較的對(duì)象進(jìn)行研究. 研究的結(jié)果表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，問(wèn)題表征、策略運(yùn)用、思路特點(diǎn)、建模結(jié)果及解題效率等方面存在顯著差異. 這種差異對(duì)于從認(rèn)知角度看數(shù)學(xué)建模而言，有著非常重要的啟發(fā)，從數(shù)學(xué)建模策略的角度來(lái)看，筆者以為應(yīng)當(dāng)有這樣兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

第一，數(shù)學(xué)建模要考慮學(xué)生的認(rèn)知表征. 數(shù)學(xué)知識(shí)有隱性與顯性之分，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知過(guò)程，更多的則是隱性的，但這并不意味著學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程不好把握，恰恰相反，大量的研究表明，數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的認(rèn)知表征有符號(hào)表征、方法表征和機(jī)理表征三種方式. 符號(hào)表征指向?qū)W生的形象思維，更多的是用文字、圖形、圖表等等描述學(xué)生的模型建立過(guò)程，而機(jī)理表征指向?qū)W生的抽象思維，強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)建模原理的把握，方法表征介于兩者之間. 當(dāng)學(xué)生用方法表征來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程時(shí)，往往會(huì)同時(shí)運(yùn)用到形象思維與抽象思維. 如此將思維形式與表征形式結(jié)合在一起，也就實(shí)現(xiàn)了從內(nèi)到外對(duì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中認(rèn)知方式的理解.

第二，學(xué)生數(shù)學(xué)建模過(guò)程中會(huì)運(yùn)用到模型猜想、模型建構(gòu)、模型運(yùn)用、學(xué)習(xí)反思等等，因此相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模策略就有模型假設(shè)策略、模型建構(gòu)策略、模型自我監(jiān)控策略等等. 這些策略都是相對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過(guò)程而提出的，比如模型假設(shè)策略，就是考慮到學(xué)生在面對(duì)現(xiàn)實(shí)事物或者現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，他們會(huì)通過(guò)數(shù)學(xué)抽象去尋找其中的數(shù)學(xué)元素，然后猜想可能的數(shù)學(xué)模型. 此時(shí)在學(xué)生的認(rèn)知當(dāng)中猜想是必然存在的，也正因?yàn)橛辛瞬孪?，學(xué)生才有了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生所猜想的模型可能存在一些缺陷，因此需要通過(guò)自我監(jiān)控來(lái)進(jìn)一步優(yōu)化模型.

由以上兩點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，確實(shí)有著豐富的認(rèn)知參與，而基于對(duì)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的把握，去培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，也應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教師的必然選擇.

基于認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

上面提到數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的表征方式，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中面向?qū)W優(yōu)生與一般學(xué)生，然后進(jìn)行比較研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)建模問(wèn)題表征的方式、廣度和方法方面，一般學(xué)生都習(xí)慣于采用符號(hào)表征和方法表征這兩種方式，但優(yōu)生更多地采用機(jī)理表征方式，這就意味著不同學(xué)生的思維方式，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中表現(xiàn)是有差異的. 進(jìn)一步比較研究才發(fā)現(xiàn)，優(yōu)生傾向于進(jìn)行多元表征，一般生傾向于進(jìn)行單一表征;優(yōu)生傾向于運(yùn)用循環(huán)表征方法，一般生傾向于運(yùn)用單向表征方法. 這一研究結(jié)果告訴我們，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中，優(yōu)生的思維角度是比較廣的，而一般學(xué)生的思維則相對(duì)比較狹窄. 同時(shí)優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生在數(shù)學(xué)建模策略運(yùn)用方面也有區(qū)別，前者一般習(xí)慣于運(yùn)用平衡性假設(shè)的策略，而后者習(xí)慣于運(yùn)用精確性假設(shè)策略，這是一個(gè)非常值得研究的現(xiàn)象. 筆者判斷優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的學(xué)習(xí)信心是不同的，一般學(xué)生迫切地想尋找到準(zhǔn)確的方向，而優(yōu)秀學(xué)生則相信即使方向模糊，依然能夠完成數(shù)學(xué)模型的建立. 在自我監(jiān)控策略的運(yùn)用上，研究也表明優(yōu)秀學(xué)生能夠運(yùn)用即時(shí)監(jiān)控策略，而一般生則更多地運(yùn)用回顧監(jiān)控策略;優(yōu)生傾向于運(yùn)用理論推演檢驗(yàn)策略和直覺(jué)判斷檢驗(yàn)策略，一般生傾向于運(yùn)用數(shù)據(jù)檢驗(yàn)策略;優(yōu)生傾向于運(yùn)用假設(shè)調(diào)整策略和建模方法調(diào)整策略，一般生傾向于運(yùn)用模型求解調(diào)整策略. 從這些認(rèn)識(shí)出發(fā)，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的思路也就會(huì)更加清晰.

例如，“對(duì)數(shù)函數(shù)”這一概念的教學(xué)，筆者就在開(kāi)門(mén)見(jiàn)山提出問(wèn)題的基礎(chǔ)上，立足于讓學(xué)生通過(guò)自身的認(rèn)知能力，去自主建構(gòu)起對(duì)數(shù)函數(shù)這一模型. 具體的設(shè)計(jì)包括問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)與問(wèn)題的提出：如果我國(guó)的人口基數(shù)是13億，且人口增長(zhǎng)率是1%，就可以根據(jù)y=13×1.01 算出任意一年的人口總數(shù);那么反過(guò)來(lái)能否根據(jù)某一年的人口總數(shù)，比如說(shuō)是18億或者20億，去判斷需要多少年呢？

顯然這既是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，又是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生在面對(duì)這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，能夠順利地經(jīng)過(guò)邏輯推理，判斷出這是一個(gè)已知y值要求出x值的問(wèn)題. 既然x處于指數(shù)位置，那么逆過(guò)來(lái)之后，就變成一個(gè)對(duì)數(shù)問(wèn)題. 這樣的邏輯推理對(duì)于學(xué)生而言并不具有很大的難度，因此這里可以讓學(xué)生自主探究，自主運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述. 實(shí)際教學(xué)表明，超過(guò)一半以上的學(xué)生都能夠在原先的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)之上，總結(jié)得出對(duì)數(shù)函數(shù)的基本表述，而大多數(shù)學(xué)生也能夠?qū)懗鰕=logax這一表達(dá)式，至于對(duì)數(shù)函數(shù)的具體表述及定義域與值域，只可以在后續(xù)的研究過(guò)程當(dāng)中逐步完善.

從認(rèn)知發(fā)展的角度來(lái)看，這樣一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生從對(duì)數(shù)學(xué)文字信息的加工，到后來(lái)借助于文字信息去描述對(duì)數(shù)函數(shù)，包括再后面的借助于函數(shù)圖像去豐富對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解，實(shí)際上都是一個(gè)抽象思維與形象思維結(jié)合的過(guò)程，這也就呼應(yīng)著上面提到的機(jī)理表征;同樣在這一過(guò)程中，學(xué)生建立對(duì)數(shù)模型的過(guò)程，也有一個(gè)猜想、驗(yàn)證及自我監(jiān)控的過(guò)程，這在客觀上說(shuō)明上述數(shù)學(xué)建模策略是有效的.

基于認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考

毫無(wú)疑問(wèn)的一點(diǎn)是，為了適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需求，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化及綜合應(yīng)用能力，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué). 文章開(kāi)頭已經(jīng)提到，數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)及其教學(xué)中重要性一直存在，而在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中，教師除了要積累經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)之外，更應(yīng)當(dāng)從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的把握與運(yùn)用角度去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高效的數(shù)學(xué)建模.

同樣可以肯定的是，數(shù)學(xué)建模過(guò)程中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是可以為教師所把握的. 無(wú)論是面對(duì)相對(duì)形象的生活事例，還是面對(duì)相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，往往就是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)抽象或者邏輯推理，打開(kāi)數(shù)學(xué)建模大門(mén)的過(guò)程. 在具體的數(shù)學(xué)建模過(guò)程當(dāng)中，無(wú)論是優(yōu)秀學(xué)生采用的模糊策略，還是一般學(xué)生所追求的精確策略，都必然存在著猜想過(guò)程. 猜想是決定數(shù)學(xué)建模方向的關(guān)鍵，猜想之后就是結(jié)合具體的實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證的過(guò)程當(dāng)中學(xué)生的自我監(jiān)控心理會(huì)發(fā)揮作用，這與認(rèn)知心理中所強(qiáng)調(diào)的元認(rèn)知是一脈相承的. 因此基于認(rèn)知視角看數(shù)學(xué)建模，實(shí)際上就是一個(gè)認(rèn)知與元認(rèn)知相結(jié)合的過(guò)程，這對(duì)于高中學(xué)生而言是一個(gè)非常適宜的認(rèn)知過(guò)程. 如果在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程當(dāng)中，教師能夠給學(xué)生提供豐富的問(wèn)題解決空間，那學(xué)生所建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型就可以得到鞏固的機(jī)會(huì)，這樣從數(shù)學(xué)模型的建立到數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用，就可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力得到充分的生長(zhǎng)，包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地，也就有了充分的保障.