小學(xué)數(shù)學(xué)教材解讀的問(wèn)題意識(shí)與方法統(tǒng)籌

摘要：教材是教師最主要的教學(xué)素材，只有準(zhǔn)確解讀教材，才能用好教材。解讀教材時(shí)要有明確的問(wèn)題意識(shí)，即教材“是什么”“為什么”“想什么”“有什么”。要解決這樣的四個(gè)問(wèn)題需要一定的方法統(tǒng)籌，其中，整體的觀念、比較的意識(shí)、結(jié)構(gòu)的視角、兒童的立場(chǎng)是最基本的策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);教材解讀;問(wèn)題意識(shí);方法統(tǒng)籌

教材是教師最主要的教學(xué)素材，只有準(zhǔn)確解讀教材，才能用好教材。筆者認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)教材解讀中尤其需要問(wèn)題意識(shí)與方法統(tǒng)籌。

一、樹(shù)立問(wèn)題意識(shí)：清楚回答四個(gè)“什么”

解讀小學(xué)數(shù)學(xué)教材要透過(guò)文字、圖形和符號(hào)等，知道其內(nèi)容和內(nèi)涵，明確教材要給學(xué)生傳遞什么知識(shí)、提升什么能力、學(xué)習(xí)什么數(shù)學(xué)思想方法等。教師一定要明確教材解讀的目標(biāo)，清楚回答四個(gè)“什么”。

（一）讀清“是什么”：理解知識(shí)的內(nèi)涵本質(zhì)

菲利克斯·克萊因指出：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單;一個(gè)稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過(guò)程，以及數(shù)學(xué)教育的演化經(jīng)過(guò)。也就是說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該了解初等數(shù)學(xué)的體系和結(jié)構(gòu)，了解初等數(shù)學(xué)史。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的《確定位置》，教學(xué)內(nèi)容是用數(shù)對(duì)確定位置。例1的情境比較現(xiàn)實(shí)，教室是學(xué)校生活的主要場(chǎng)所，確定教室里的座位是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，學(xué)生聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)容易接受有關(guān)數(shù)對(duì)的知識(shí)，也容易體驗(yàn)數(shù)對(duì)表示位置的思想方法。在此基礎(chǔ)上，把平面圖上表示的建筑、場(chǎng)所看作方格紙上的點(diǎn)，用數(shù)對(duì)確定它們的位置就水到渠成了。例1著重教學(xué)用數(shù)對(duì)確定位置的有關(guān)知識(shí)與基本方法。而例2的情境則有些抽象，應(yīng)用數(shù)對(duì)確定位置，提高了數(shù)學(xué)化程度，有利于培養(yǎng)學(xué)生確定位置的能力。放眼中學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，例2其實(shí)就是直角坐標(biāo)系中的第一象限。用數(shù)對(duì)確定位置，本質(zhì)上就是在平面直角坐標(biāo)系中，用一對(duì)有序的實(shí)數(shù)確定一個(gè)點(diǎn)的位置;反過(guò)來(lái)，任意一點(diǎn)的位置都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示，這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)叫作點(diǎn)的坐標(biāo)。這樣來(lái)理解用數(shù)對(duì)確定位置，這里的數(shù)對(duì)其實(shí)就是點(diǎn)的坐標(biāo)?；谶@樣的理解，就不會(huì)把教學(xué)停留在生活應(yīng)用上，局限于用數(shù)對(duì)表示生活中物體的位置。這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是為今后建立直角坐標(biāo)系打基礎(chǔ)的，意在培育數(shù)形結(jié)合的思想。綜觀數(shù)學(xué)史，笛卡爾坐標(biāo)系絕不是僅僅用數(shù)對(duì)表示物體的位置，而是用數(shù)對(duì)的方法計(jì)算幾何問(wèn)題。這樣實(shí)現(xiàn)了圖形中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，有助于更深入地理解數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)。

再將四年級(jí)下冊(cè)的《確定位置》與六年級(jí)下冊(cè)的《確定位置》做比較，四年級(jí)下冊(cè)是用一對(duì)有序的數(shù)表示平面上某個(gè)點(diǎn)的位置，而六年級(jí)下冊(cè)是用方向和距離表示平面中某個(gè)點(diǎn)的位置，再到中學(xué)中用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示平面上某個(gè)點(diǎn)的位置，本質(zhì)上都用兩個(gè)量確定平面上某一點(diǎn)的位置。由于學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的不同，用數(shù)對(duì)確定位置只能表示直角坐標(biāo)系中的第一象限，而六年級(jí)的用方向和距離則可以表示四個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)。中學(xué)學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，也可以用一對(duì)有序的實(shí)數(shù)表示四個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)，就是點(diǎn)的坐標(biāo)。由此可見(jiàn)，一維空間只需要一個(gè)數(shù)則能確定點(diǎn)的位置，而要確定三維空間中某個(gè)點(diǎn)的位置則需要三個(gè)有序的數(shù)。

（二）讀懂“為什么”：溝通學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界

教材中，例題之間、例題與“試一試”之間都有一定的順序。教師理解了為什么這么編排，就能很好地溝通知識(shí)與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法》一課為例，教材安排了一個(gè)例題與一個(gè)“試一試”。例1：“量杯里有45升果汁，平均分給2個(gè)小朋友喝，每人喝多少升？”試一試：“如果把45升果汁平均分給3個(gè)小朋友喝，每人喝多少升？”先平均分給2個(gè)小朋友，再分給3個(gè)小朋友，這當(dāng)中既有編者的智慧，更是考慮學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)。把45升平均分給2個(gè)小朋友，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚪鉀Q。學(xué)生會(huì)有多種方法，可以是借助畫圖，直觀地看出把45升平均分成2份，每份就是25升;可能會(huì)想，45中有4個(gè)15，把4個(gè)15平均分成2份，每份是2個(gè)15，就是25;也有學(xué)生會(huì)從圖形中發(fā)現(xiàn)，把45升平均分成2份與求45升的12同樣多。需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)與這個(gè)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)的結(jié)果相等。從學(xué)生已經(jīng)有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：一個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)等于這個(gè)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。接下來(lái)，讓學(xué)生完成把45升果汁平均分給3個(gè)小朋友喝，每人喝多少升？交流時(shí)，提醒學(xué)生思考：你是如何計(jì)算的？這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，不再有學(xué)生用畫圖的方法了，也沒(méi)有用4個(gè)15除以3了，幾乎都是用45×13。這樣的教學(xué)既尊重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，也將多種方法進(jìn)行了優(yōu)化。學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)改成分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)具有一般意義，而前面的兩種方法有一定局限性。

（三）讀透“想什么”：凸顯學(xué)習(xí)的思維方式

在理解教材編排結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，還要進(jìn)一步讀透教材，理解教材知識(shí)的呈現(xiàn)方式，把握內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法。教材中相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)背景、學(xué)生認(rèn)知方式、內(nèi)化途徑等決定其呈現(xiàn)的方式。

如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《平行四邊形的面積計(jì)算》，其公式的推導(dǎo)教材安排了三個(gè)例題，三個(gè)例題之間有著怎樣的邏輯關(guān)系呢？怎樣引領(lǐng)學(xué)生的思維，使其能夠通過(guò)對(duì)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)學(xué)習(xí)，掌握一般平面圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法呢？這是我們解讀任何教學(xué)內(nèi)容都需要思考的問(wèn)題。研讀教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含這樣的思考探究過(guò)程——

例1通過(guò)轉(zhuǎn)化前后的面積是否相等，告訴學(xué)生圖形的轉(zhuǎn)化要以面積相等為基礎(chǔ);同時(shí)，也正是由于面積相等，所以才能通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)推導(dǎo)圖形的面積計(jì)算公式，這是面積公式推導(dǎo)的基石。

例2直接提出問(wèn)題：“你能把右邊的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？”這讓很多教師疑惑：這樣不是會(huì)減少學(xué)生圖形轉(zhuǎn)化的靈活性嗎？其實(shí)不然。有向轉(zhuǎn)化，正是面積計(jì)算公式推導(dǎo)的思維基礎(chǔ)。要求推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式，那就必須轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形。因此，就要以長(zhǎng)方形的特征為思維基礎(chǔ)，進(jìn)行有向轉(zhuǎn)化——只有概括長(zhǎng)方形的特征，才能得出“沿高剪”的正確結(jié)論，也為以后面積計(jì)算公式推導(dǎo)提供思維路徑。

例3則通過(guò)教材第115頁(yè)提供各種形式各異的平行四邊形，讓學(xué)生從中任選，并提供表格讓學(xué)生交流比較，意在讓學(xué)生明確這樣的關(guān)系比較的普遍;最后，通過(guò)與長(zhǎng)方形對(duì)比中的簡(jiǎn)單演繹推理過(guò)程，得出平行四邊形面積計(jì)算公式。這樣從等積變形（轉(zhuǎn)化后與轉(zhuǎn)化前面積相等）到有向轉(zhuǎn)化（沿高剪開(kāi)轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)面積公式圖形），再到更多舉例（經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納過(guò)程）、公式表達(dá)（由圖形各要素關(guān)系導(dǎo)出計(jì)算公式）。

就是這樣的三個(gè)例題蘊(yùn)含的思考過(guò)程，把平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的思維路徑展開(kāi)得科學(xué)、合理。教學(xué)時(shí)，要把這樣的展開(kāi)邏輯讓學(xué)生充分經(jīng)歷體悟，形成思維結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生在今后的平面圖形面積計(jì)算公式乃至立體圖形體積計(jì)算公式等推導(dǎo)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，自覺(jué)運(yùn)用形成正向遷移，實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的升級(jí)。

（四）讀出“有什么”，形成整體的結(jié)構(gòu)意識(shí)

教材解讀時(shí)，不能只盯著一課時(shí)的內(nèi)容，需要有整體結(jié)構(gòu)的意識(shí)，全面地看教材，還要能看出一些教材中沒(méi)有直接或顯性表達(dá)出來(lái)的內(nèi)容。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的《多邊形的面積》，僅看例題中三角形及梯形的面積公式的推導(dǎo)，都是運(yùn)用兩個(gè)完全相同的三角形（梯形）拼成一個(gè)平行四邊形，比較拼成的平行四邊形與三角形（梯形）的關(guān)系，推導(dǎo)出三角形（梯形）的面積計(jì)算公式。而在本單元的《你知道嗎》中，又介紹了《九章算術(shù)》中的“半廣以乘正從”。劉徽用“以盈補(bǔ)虛”對(duì)這種方法加以說(shuō)明。一個(gè)單元結(jié)束后，在《整理與練習(xí)》中有這樣一道思考題：“在方格紙上畫一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，通過(guò)剪、拼分別把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形。你能根據(jù)轉(zhuǎn)化的平行四邊形與原來(lái)圖形的關(guān)系，推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式嗎？”由此可以看出，編者希望運(yùn)用多種方法推導(dǎo)出圖形的面積計(jì)算公式，希望在研究多邊形的面積時(shí)，適當(dāng)介紹古代數(shù)學(xué)的研究成果，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感與民族自豪感，這也是一種學(xué)科育人。

再如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的《小數(shù)乘法和除法》，之前一版教材是分兩個(gè)單元教學(xué)的，《小數(shù)乘除法（一）》和《小數(shù)乘除法（二）》。這樣分散教學(xué)不利于學(xué)生掌握，然而，小數(shù)乘除法計(jì)算的能力又需要進(jìn)行一定量的練習(xí)，集中學(xué)習(xí)之后練習(xí)的時(shí)間會(huì)減少。教材為了解決這一問(wèn)題，在學(xué)完小數(shù)乘除法新知之后，每個(gè)練習(xí)中都安排了小數(shù)乘除法計(jì)算的練習(xí)。這就提醒我們，小數(shù)乘除法的學(xué)習(xí)，需要集中教學(xué)、長(zhǎng)期練習(xí)。唯有如此，才能助力學(xué)生形成一定的運(yùn)算能力。

二、講究方法統(tǒng)籌：重點(diǎn)關(guān)注四個(gè)維度

教材解讀是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。教師根據(jù)自己的實(shí)際情況或者遇到的實(shí)際問(wèn)題，需要采用不同的方法，其中，整體的觀念、比較的意識(shí)、結(jié)構(gòu)的視角、兒童的立場(chǎng)是不可或缺的。

（一）整體的觀念：在森林中看樹(shù)木

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是以數(shù)學(xué)自身的體系結(jié)構(gòu)以及小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)，把數(shù)學(xué)基本概念、規(guī)律、思想方法等構(gòu)建成一個(gè)有機(jī)的整體。這個(gè)整體不是知識(shí)的簡(jiǎn)單堆砌，而是一個(gè)上下縱橫交錯(cuò)、各部分緊密聯(lián)系，循序漸進(jìn)、螺旋上升的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。因此，我們應(yīng)樹(shù)立整體意識(shí)，厘清各個(gè)部分知識(shí)的邏輯關(guān)系，把握教材體系。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《簡(jiǎn)易方程》為例，我們?cè)诮庾x這一單元教材內(nèi)容時(shí)，不能單看這一單元的內(nèi)容，要有整體的觀念，至少可以從兩個(gè)維度去看。

其一，以本冊(cè)教材為一個(gè)整體，整體認(rèn)識(shí)整本教材之后，再看這一單元的內(nèi)容。本冊(cè)教材一共安排了8個(gè)單元。中間還有2個(gè)綜合與實(shí)踐活動(dòng)——《蒜葉的生長(zhǎng)》和《球的反彈高度》，和一個(gè)探索規(guī)律的專題活動(dòng)——《和與積的奇偶性》?？梢钥闯?，第一，代數(shù)初步知識(shí)多了，以前更多的是算術(shù)知識(shí)，從五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)開(kāi)始引入代數(shù)知識(shí)。第二，數(shù)的認(rèn)識(shí)從之前的整數(shù)、小數(shù)，到這學(xué)期開(kāi)始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識(shí)了。第三，平面圖形的認(rèn)識(shí)在直線平面圖形的基礎(chǔ)上開(kāi)始教學(xué)曲線平面圖形。在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法更多了。有關(guān)方程的知識(shí)和思想，將極大地突破算術(shù)知識(shí)與方法，從此，“已知”與“未知”不再是矛盾、對(duì)立的兩種數(shù)量，而是有機(jī)聯(lián)系、內(nèi)在統(tǒng)一的兩個(gè)方面。研究與表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，也不再局限于“整數(shù)倍”范圍內(nèi)，可以用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量之間的倍比關(guān)系，也可以把較小的數(shù)量與較大的數(shù)量相比較。解決問(wèn)題的策略教學(xué)不只是解答那些傳統(tǒng)“應(yīng)用題”式的實(shí)際問(wèn)題，還能解答“非常規(guī)”的比較新穎的實(shí)際問(wèn)題;至于《圓的認(rèn)識(shí)》中，“曲”與“直”的相互轉(zhuǎn)化，滲透了初步的辯證法?！逗?jiǎn)易方程》的學(xué)習(xí)是學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的發(fā)展，這一單元的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生體會(huì)：方程是為了求未知數(shù)，方程是表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的等量關(guān)系，方程運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以求出未知?shù)的值。

其二，從知識(shí)體系來(lái)看《簡(jiǎn)易方程》，它屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中“式與方程”的內(nèi)容。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中關(guān)于“式與方程”在第二學(xué)段提出了4條要求：

1.在具體情境中能用字母表示數(shù)。

2.結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示。

3.能用方程表示簡(jiǎn)單的情境中的等量關(guān)系（如3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用。

4.了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材依據(jù)新課標(biāo)在“式與方程”這一內(nèi)容分三次安排教學(xué)內(nèi)容（見(jiàn)表1）。

內(nèi)容冊(cè)次用字母表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系，公式五年級(jí)上冊(cè)用方程表示等量關(guān)系，等式的性質(zhì)，解簡(jiǎn)易方程，列方程解決實(shí)際問(wèn)題五年級(jí)下冊(cè)列方程解決有關(guān)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題六年級(jí)上冊(cè)五年級(jí)下冊(cè)就《簡(jiǎn)易方程》又安排了10個(gè)例題和一個(gè)《整理與練習(xí)》（見(jiàn)表2）。

例題教學(xué)內(nèi)容練習(xí)例1等式的含義例2方程的意義例3等式的性質(zhì)（一）例4用等式的性質(zhì)（一）解一步計(jì)算的方程例5等式的性質(zhì)（二）例6用等式的性質(zhì)（二）解一步計(jì)算的方程練習(xí)一例7列方程解答一步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題例8至

例10列方程解答兩、三步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題練習(xí)二

練習(xí)三整理與練習(xí)例1、例2是在認(rèn)識(shí)等式的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)方程的含義。例3到例6，邊學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)，邊運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程。例7則是學(xué)習(xí)運(yùn)用列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)完整過(guò)程。例8到例10是列方程解答兩、三步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題。這里不僅要指導(dǎo)學(xué)生如何找等量關(guān)系，還要指導(dǎo)他們選擇合適的等量關(guān)系列方程。方程求解的過(guò)程會(huì)簡(jiǎn)單一些，這一過(guò)程中還要教學(xué)如何解稍復(fù)雜的方程等。

（二）比較的意識(shí)：在對(duì)比中找異同

對(duì)比分析不同版本教材，有助于教師選擇適當(dāng)?shù)膬?nèi)容及其處理方式，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教材的再加工和再創(chuàng)造。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“瞻前顧后”“左顧右盼”，要“承前啟后”“繼往開(kāi)來(lái)”。不僅要縱向融通，還要橫向融通?？v向融通，有助于教師將知識(shí)置于發(fā)展性的知識(shí)脈絡(luò)之中，從而讓新舊知識(shí)得到更好的鏈接。橫向融通，則有助于教師在知識(shí)差異的基礎(chǔ)上比較、反思，從而獲得深刻的啟迪、合理的優(yōu)化，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系。

例如，五年級(jí)下冊(cè)的《圓的周長(zhǎng)》，和實(shí)驗(yàn)版教材相比，教材編排就發(fā)生了變化。

教材中的例4到例6，教學(xué)圓的周長(zhǎng)，依循“觀察比較—形成猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—?dú)w納應(yīng)用”的路徑。與實(shí)驗(yàn)版教材相比，例5前多了這樣一個(gè)部分：“在正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓。你知道正方形的周長(zhǎng)是圓直徑的幾倍嗎？在圓內(nèi)再畫一個(gè)正六邊形，六邊形的頂點(diǎn)都在圓上，六邊形的周長(zhǎng)是圓徑的幾倍？想一想：圓的周長(zhǎng)大約是直徑的幾倍？”

為什么要增加這一內(nèi)容呢？我們整體來(lái)看這一部分內(nèi)容——

例4著重教學(xué)圓周長(zhǎng)的含義，引導(dǎo)學(xué)生形成圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)的猜想。聯(lián)系實(shí)際以及生活經(jīng)驗(yàn)，提示圓周長(zhǎng)的意義，有助于原有的周長(zhǎng)概念遷移到新的平面圖形上來(lái)。比較3個(gè)車輪的直徑與周長(zhǎng)，形成圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)的猜想。

例5分兩部分。第一部分，正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，在圓內(nèi)再畫一個(gè)內(nèi)接正六邊形。從教材的圖中可以看出，圓的周長(zhǎng)比正方形周長(zhǎng)短一些，比六邊形的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些，即圓的周長(zhǎng)在直徑的3倍到4倍之間。教材這樣安排至少有兩點(diǎn)意圖。第一，我們的祖先曾經(jīng)像這樣探索圓周長(zhǎng)的計(jì)算方法，并取得了輝煌的成就，讓學(xué)生簡(jiǎn)單經(jīng)歷這樣的過(guò)程，能獲得良好的情感體驗(yàn)。第二，初步得出圓周長(zhǎng)是它直徑的3倍多一些，能給后面探索圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式一些引導(dǎo)，也可以驗(yàn)證后面的計(jì)算是否合理。

第二部分是測(cè)量圓的周長(zhǎng)，體會(huì)圓的周長(zhǎng)與直徑之間的確定關(guān)系，認(rèn)識(shí)圓周率，最終形成圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式。這一部分讓學(xué)生測(cè)量一些圓的周長(zhǎng)與直徑，驗(yàn)證前面的猜想，圓的周長(zhǎng)的確是直徑的3倍多一些，至于學(xué)生算出的結(jié)果是3倍多多少，并不是很重要。事實(shí)上，圓周率不是算出來(lái)的，圓周率是一個(gè)無(wú)理數(shù)，測(cè)量出的圓周長(zhǎng)和圓直徑是兩個(gè)有理數(shù)，兩個(gè)有理數(shù)的商不可能是無(wú)理數(shù)。這里的計(jì)算只是幫助學(xué)生去感知。上述活動(dòng)的價(jià)值，有助于學(xué)生建立一種圓周長(zhǎng)與圓直徑關(guān)系的猜想，讓學(xué)生更好地體會(huì)圓周率的豐富內(nèi)涵，感受圓的無(wú)限魅力。

實(shí)驗(yàn)操作之后，要引導(dǎo)學(xué)生去閱讀，客觀地介紹圓周率的歷史，再介紹圓周率的含義，以及中外數(shù)學(xué)家在圓周率研究方面的杰出思想和貢獻(xiàn)。

教材這樣編排，是還原的圓周率的研究史，讓學(xué)生按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史經(jīng)歷圓周率的研究過(guò)程。事實(shí)上，我們還需要進(jìn)一步介紹當(dāng)今對(duì)圓周率的研究，也是書中第95頁(yè)《你知道嗎》中所介紹的內(nèi)容。按照數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，也就是所謂的再創(chuàng)造。

（三）結(jié)構(gòu)的視角：在結(jié)構(gòu)間找邏輯

美國(guó)教育家布魯納說(shuō)：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。”教師要想讓學(xué)生真正理解與建立學(xué)科結(jié)構(gòu)體系，必須高屋建瓴地認(rèn)識(shí)、理解與掌握教材中的學(xué)科基本結(jié)構(gòu)。教材中的數(shù)學(xué)常將學(xué)科數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解重編，讓學(xué)生一點(diǎn)一點(diǎn)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不斷循環(huán)，螺旋上升。教師要還原數(shù)學(xué)的本來(lái)結(jié)構(gòu)，看到或觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)核心及完整的樣子，感悟隱藏于知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想。只有科學(xué)、準(zhǔn)確、深入理解教材，才能用好教材，才能創(chuàng)造適合每一位兒童的數(shù)學(xué)教育。

平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱是“圖形與幾何”領(lǐng)域里關(guān)于“圖形的運(yùn)動(dòng)”的知識(shí)，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分兩次編排了《平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱》，分別在三年級(jí)上冊(cè)和四年級(jí)下冊(cè)。同樣的課題，教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)存在很大的差別。

三年級(jí)上冊(cè)是結(jié)合實(shí)例，要求學(xué)生感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱現(xiàn)象;能辨認(rèn)簡(jiǎn)單圖形平移后的圖形;通過(guò)觀察、操作，初步認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形。這些要求相對(duì)比較低，只要從身邊的實(shí)際事例中感知，初步形成表象，能辨認(rèn)簡(jiǎn)單的圖形平移后的圖形，幫助學(xué)生積累一些有關(guān)物體或圖形運(yùn)動(dòng)變化的初步體驗(yàn)。

而到了四年級(jí)下冊(cè)，要求在方格紙上把簡(jiǎn)單圖形水平平移或豎直平移，在方格紙上把簡(jiǎn)單圖形按順時(shí)針?lè)较蚧蚰鏁r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度;通過(guò)把圖形對(duì)折，找到軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，在方格紙上畫出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，或者在方格紙上補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形。所有畫圖與操作活動(dòng)，都是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)平稱、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的含義，鍛煉學(xué)生的空間思維。與三年級(jí)上冊(cè)比較，有了一定的提升，但對(duì)難度還是有所控制的，都是強(qiáng)調(diào)在方格紙上去完成。到了中學(xué)，還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱，探索軸對(duì)稱圖的性質(zhì)。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排注重知識(shí)之間的聯(lián)系與遞進(jìn)，從三年級(jí)上冊(cè)結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)到四年級(jí)下冊(cè)方格紙上簡(jiǎn)單圖形的探究，再到中學(xué)對(duì)圖形性質(zhì)的研究。通過(guò)“縱向深入”，不斷推動(dòng)學(xué)生深入對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)。

（四）兒童的立場(chǎng)：從學(xué)生處想困難

美國(guó)心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾認(rèn)為，“影響學(xué)習(xí)最主要的因素是學(xué)生已知的內(nèi)容，弄清了這一點(diǎn)之后，進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)”。只有學(xué)生真正地把將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容與自己頭腦中的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，才會(huì)產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教材解讀也應(yīng)樹(shù)立學(xué)情意識(shí)，貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維特點(diǎn)出發(fā)，分析學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容會(huì)有怎樣的理解障礙，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難會(huì)發(fā)生在何處。教師要溝通教材內(nèi)容與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界，使二者相融相通，促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展和提升。

在學(xué)習(xí)五年級(jí)下冊(cè)的《圓》時(shí)，學(xué)生對(duì)圓的本質(zhì)“圓，一中同長(zhǎng)也”的理解有一定的困難。教材從三個(gè)方面幫助學(xué)生理解。一是在呈現(xiàn)常見(jiàn)圓形物體的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步列舉生活中所見(jiàn)過(guò)的圓形物體、自然現(xiàn)象、運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。二是結(jié)合用圓規(guī)畫圓的過(guò)程去理解，“兩腳叉開(kāi)”就是定長(zhǎng)，“固定針尖”就是定點(diǎn)，“旋轉(zhuǎn)成圓”就是使無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)集合成圓。三是通過(guò)利用所學(xué)知識(shí)解釋相關(guān)生活現(xiàn)象來(lái)理解。自行車的車輪為什么做成圓的，車軸應(yīng)該裝在什么位置等。在這一系列的活動(dòng)中，幫助學(xué)生理解圓的本質(zhì)特征。

準(zhǔn)確解讀教材，對(duì)教師而言是有挑戰(zhàn)的。尤其是新入職的教師，要根據(jù)自己的認(rèn)知基礎(chǔ)，明確解讀目標(biāo)，探索解讀方法。在解讀之后，更需根據(jù)教材的內(nèi)容與學(xué)生的實(shí)際情況活用教材。如此，才能設(shè)計(jì)出一節(jié)節(jié)既符合知識(shí)本質(zhì)、符合學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律，又能提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好課。

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