李霞
[摘? 要] 某位數(shù)學(xué)大師語,“不善于歸納總結(jié)的課堂是‘形散且神散的課堂,善于歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)課堂是‘雖形散,但神不散的課堂”. 由此可見,一堂好的數(shù)學(xué)課缺少不了在老師的引導(dǎo)下,由學(xué)生進行知識和思想方法的總結(jié). 只有這樣的數(shù)學(xué)課堂才是有深度、有潛力的課堂.
[關(guān)鍵詞] 歸納總結(jié);落實雙基;坐標求法
“在平面直角坐標系中,探求符合一定條件點的坐標”這一知識方法既是初中階段研究函數(shù)的基礎(chǔ),也是高中階段研究解析幾何的必備知識,更是“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想運用的典范. 然而,眾多學(xué)生面對那些立意新、既重“雙基”又重能力的求點的坐標問題,卻往往力不從心. 這是因為,他們疏于對基本知識和基本方法的總結(jié)與反思. 筆者試結(jié)合典型題目,歸納總結(jié)出求符合一定條件點的坐標的具體方法,以期達到“既見樹木,也見森林”的目的,更希冀于初三專題復(fù)習時,對師生有所啟發(fā)和幫助. 若有不當,敬請批評指正.
一、 借助網(wǎng)格,直觀求解
例題1:如圖1,A點坐標為(3,2),將線段OA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到對應(yīng)線段OA′,則點A′的坐標為_______.
分析:線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,相當于“3×2的矩形OBAC”繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到“2×3的矩形OB′A′C′”. 因此,點A的對應(yīng)點A′坐標易得為A′(-2,3).
二、回歸定義——距離+符號
1. 從坐標的定義可推出:求一點P的坐標就是先求出點P到y(tǒng)軸、x軸的距離,這兩個距離分別作為點P橫坐標和縱坐標的絕對值,最后再根據(jù)點所在象限的符號規(guī)律求出點P的坐標.
2. 反過來,若點P的坐標為(x,y),則點P到x軸、y軸的距離分別為y,x.
例題2:若例題1隱去網(wǎng)格背景,那如何求點A′的坐標呢?
分析:如圖2,分別過A、A′作AB⊥x軸,A′C⊥x軸. 因為A(3,2),所以AB=2,OB=3. 易證△ABO≌△OCA′. 所以O(shè)C=AB=2,A′C=OB=3. 又因為點A′在第二象限,所以A′(-2,3).
例題3:如圖3,矩形OABC的一個頂點在坐標原點,另兩個頂點A、C分別在y軸與x軸上,OB是矩形的一條對角線,已知OA=5 cm,OB=13 cm,動點M從點A開始,以1 cm/s的速度向終點O運動,點N從點O開始,以2 cm/s的速度向終點C運動. 當其中一點到達終點時,另一點便停止運動. 設(shè)運動時間為t(s),過N作OC的垂線,交OB于P,連結(jié)MP.
(1)用含t的代數(shù)式表示P點的坐標;
(2)略;
(3)略.
分析:因為ON=2t,所以P點的橫坐標為2t. 欲求P點的縱坐標,只需求PN的長度. 易知△ONP∽△OCB且OC=12 cm. 所以 = ,所以PN= ,所以P2t, .
【反思】 定義法(距離+符號)是最為基本也最為靈活的方法. 它涉及求線段、求角度等一些重要知識和方法,幾乎涵蓋了初中階段所有有關(guān)度量計算的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想,因此,掌握定義法求點的坐標是何等的重要. 另外,運用此法常需過“已知點”和“所求點”向坐標軸引垂線,以便構(gòu)建點坐標定義的基本幾何圖形.
三、運用函數(shù)解析式
1. 若點P(a,b)在函數(shù)y=f(x)圖像上,則P點坐標滿足函數(shù)解析式,即有f(a)=b.
2. 若點P是函數(shù)y=f(x),y=g(x)兩圖像的交點,則點P的坐標是方程組y=f(x),y=g(x)的一組解.
例題4:對于例題3除了利用定義法,還有其他方法嗎?
分析:已知點P橫坐標為2t,只需求出直線OB的解析式即可. 易求直線OB解析式為y= x,將x=2t代入,得y= ,所以P2t, .
例題5:如圖4,直線y=x-2與雙曲線y= 交于兩點A、B,求△AOB的面積.
分析:易求直線與x軸的交點坐標為C(2,0). 根據(jù)S△AOB=S△AOC+S△BOC可知,只需求出A、B兩點坐標即可. 因為A、B點是兩個函數(shù)圖象的交點,所以y=x-2,y= ,解得A(3,1),B(-1,-3). 所以S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4.
【反思】運用此法需以點在函數(shù)圖像上為前提,求出函數(shù)解析式為關(guān)鍵.
四、運用圖形變換下對應(yīng)點的坐標變換規(guī)律
1. 點P(x,y)? Q(x±a,y±b) P點沿x軸方向向右(左)平移a個單位,沿y軸方向向上(下)平移b個單位.
2. 點P(x,y)與點Q(x,-y) 點P、Q關(guān)于x軸對稱;
點P(x,y)與點Q(-x,y) 點P、Q關(guān)于y軸對稱;
點P(x,y)與點Q(-x,-y) 點P、Q關(guān)于原點對稱.
例題6:(2008年威海)如圖5,點A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函數(shù)y= 的圖像上.
(1)求m,k的值;
(2)如果M為x軸上一點,N為y軸上一點,以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,試求直線MN的函數(shù)表達式.
分析:易求A(3,4),B(6,2). 欲求符合條件的解析式,關(guān)鍵是確定點M、N的坐標. 據(jù)題意應(yīng)分兩種情況進行討論.
①如圖5,當M點在x軸的正半軸上,N點在y軸的正半軸上時,設(shè)M1點的坐標為(x1,0),N1點的坐標為(0,y ). 因為四邊形AN1M1B為平行四邊形,所以AB∥N1M1且AB=N1M1.
所以點A到點B的平移方式和點N1到點M1的平移方式一樣. 由A(3,4) B(6,2)知:點A沿x軸方向向右平移了3個單位,沿y軸方向向下平移了2個單位. 所以0+3=x1;y1-2=0,所以x1=3,y1=2,從而M1(3,0),N1(0,2).
②如圖5,當M點在x軸的負半軸上,N點在y軸的負半軸上時,設(shè)M2點坐標為(x2,0),N2點坐標為(0,y2). 因為AB∥N1M ,AB∥M N ,AB=N M ,AB=M2N2,所以N1M1∥M2N2,N1M1=M2N2,所以易證△N1OM1≌△N2OM2. 所以N1O=N2O,OM1=OM2. 所以點M1與點M2,點N1與點N2均關(guān)于原點成中心對稱,所以M2(-3,0),N2(0,-2).
【反思】運用此法需要十分熟悉圖形在特定變換下對稱點的坐標變換規(guī)律,而且更需要善于將新的問題進行化歸處理,例如“在平面直角坐標系中,任意給定不在一直線上的三點,探求第四個點的坐標,使它們構(gòu)成平行四邊形”問題,就可轉(zhuǎn)化為“點的平移”問題來處理.
以上所列,是初中階段求點的坐標的常見方法. 對于方法的靈活選擇問題,還需教者立足“雙基”,對學(xué)生進行變式訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的鑒別能力,思維的靈活性、深刻性,從而真正達到數(shù)學(xué)育人的目的.
數(shù)學(xué)家華羅庚說得好:“怎樣把書讀?。科鋵?,就是要把書中的知識徹底消化,變?yōu)榉浅V庇^的、非常概括的材料,最后只留下最精髓的那一點,當然書就變薄了. ”在現(xiàn)今“減負增效”的學(xué)校教育中,教師讓學(xué)生學(xué)會:①按數(shù)學(xué)的某一重要知識形成過程、所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法、與其他知識的聯(lián)系等方面進行“知識系統(tǒng)型”總結(jié);②按為解決某個特定的數(shù)學(xué)問題而經(jīng)常采用的思想方法進行“思想方法型”總結(jié);③或其他方面總結(jié). 作為數(shù)學(xué)教育工作者的我們,如果能采用這種教學(xué)策略,也應(yīng)該是有意義的!