從高一配方法教學(xué)中看高中普通生抽象思維的培養(yǎng)

羅柳英

【摘要】配方法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的方法，隨著高中數(shù)學(xué)知識的深入，初中所學(xué)的配方方法不能滿足高中學(xué)習(xí)的需求.通過對比試驗發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀學(xué)生可以自學(xué)適應(yīng)高中學(xué)習(xí)，但是普通高中校普通學(xué)生卻需要數(shù)學(xué)教師的專項訓(xùn)練，而且這種專項訓(xùn)練需要分層進(jìn)行.第一層，掌握對二次三項式的配方方法;第二層，把換元法與配方法結(jié)合;第三層，先恒等變形，然后換元，最后配方求解.因此，對于普通高中校普通班學(xué)生來說，配方法的學(xué)習(xí)不僅僅是運算能力的培養(yǎng)，同時也是幫助學(xué)生逐步體驗數(shù)學(xué)抽象思維形成的過程.普通生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)需要數(shù)學(xué)教師的智慧與策略，對學(xué)生抽象思維的形成過程先降低起點，搭建臺階并分解動作，讓學(xué)生拾級而上，同時放慢節(jié)奏降低難度，一步一個腳印地落實.雖然教學(xué)進(jìn)度慢點，只要教師方法得當(dāng)，抽象思維能力和運算能力的提升也能達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】配方法;抽象思維;運算能力;普通高中;對比試驗

一、背景介紹

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.其中，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的兩個方面.也是決定初、高中銜接中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能否順利度過的關(guān)鍵.本文對普通高中高一配方法教學(xué)進(jìn)行了對比試驗，目的是研究學(xué)生抽象思維與數(shù)學(xué)運算能力提升的途徑，尋找?guī)椭鷮W(xué)生快速提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的方法.

配方法是指將一個式子（包括有理式和超越式）或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和.這種方法常常被用到恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一.高中數(shù)學(xué)中這種解題方法可廣泛應(yīng)用于因式分解、解方程、代數(shù)求值等，特別是求函數(shù)值域，證明不等式等數(shù)學(xué)問題離不開配方法.也是提升學(xué)生運算能力的有力手段之一.

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中配方法與其他方法比較，顯然是微不足道的方法，常常被忽視.高中生需要對含指數(shù)式、對數(shù)式、根式、三角函數(shù)等復(fù)雜的函數(shù)式配方.優(yōu)秀生在初中已經(jīng)掌握基本的配方法，并且在高中學(xué)習(xí)中不斷自我完善與提升.但對于基礎(chǔ)較差的學(xué)生卻有著無窮的煩惱.因為高中教師不講，就直接用，自己又不會，特別是把高中數(shù)學(xué)知識加入后的配方更是無從入手.所以，他們只能死記公式，慢慢地，部分高一的學(xué)生就跟不上了.從而導(dǎo)致高一數(shù)學(xué)成績的劇烈分化，好的越學(xué)越好，差的越來越差.

對于普通高中校普通班學(xué)生來說，配方法的學(xué)習(xí)不僅僅是運算能力的培養(yǎng)，同時也是幫助學(xué)生逐步體驗數(shù)學(xué)抽象思維形成的過程.特別是當(dāng)二次三項式與根式、指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)等結(jié)合時，更能體驗數(shù)學(xué)的抽象思維形成過程，幫助普通學(xué)生提升抽象思維能力.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等，可以說數(shù)學(xué)的抽象性，決定了數(shù)學(xué)思維的核心形式是抽象思維.數(shù)學(xué)對象都是抽象思維的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)教學(xué)除了知識的傳授，更重要的是幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的抽象過程，提升學(xué)生的抽象能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、對比試驗

筆者在普通高中校，所教兩個班級學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差距比較大，A班數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，B班級數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，便于做對比試驗.為了掃除學(xué)生高中學(xué)習(xí)障礙，初、高中銜接時統(tǒng)一安排了配方法教學(xué).

兩個班級的學(xué)生基本狀態(tài)是：初中所學(xué)的配方法只記得公式法，對二次項系數(shù)不是1的二次三項式不會配方，而且對于非整數(shù)運算有排斥性.經(jīng)過初、高中銜接課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本上掌握了對二次三項式的配方方法.

考慮到較弱班級B班學(xué)生的抽象思維能力的不足，安排在學(xué)習(xí)完成指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后進(jìn)行第二次配方法的教學(xué)，以及學(xué)習(xí)完三角函數(shù)后安排第三次配方法教學(xué).A班按正常高中數(shù)學(xué)進(jìn)度進(jìn)行日常教學(xué)，沒有另外再進(jìn)行配方法的教學(xué).經(jīng)過一年的試驗，發(fā)現(xiàn)B班學(xué)生配方法學(xué)習(xí)效果好，學(xué)生的抽象思維能力顯著提升.下面把試驗情況匯報如下：

（一）理解配方的基本方法，養(yǎng)成配方習(xí)慣

高一新生初、高中銜接教學(xué)，配方法是常規(guī)課.課前對所教兩個班級74人進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：

從調(diào)查結(jié)果看，有超過60%的學(xué)生不會配方.特別是二次項系數(shù)不是1，對稱軸不是整數(shù)的問題.同時，了解到大部分學(xué)生對問題（1）配方只是套用公式ax2+bx+c=ax-b2a2+4ac-b24a，自己不會靈活配方.所以說，初中掌握的配方法不足以適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需求，需要在高中進(jìn)一步鞏固與提高.于是在初、高中銜接時安排了兩個課時配方法教學(xué)訓(xùn)練.經(jīng)過學(xué)習(xí)，學(xué)生基本上掌握了配方法，知道了對于二次式可以通過配方進(jìn)行恒等變形為完全平方式.對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式基本上可以進(jìn)行配方，更主要是養(yǎng)成了對二次三項式配方的習(xí)慣，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

（二）配方法與換元法結(jié)合，學(xué)生思維的第一次飛躍

對數(shù)學(xué)的抽象性的領(lǐng)悟是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的分水嶺.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)高，則能力強，成績就好，否則數(shù)學(xué)成績差.因為數(shù)學(xué)抽象能力不強，造成對數(shù)學(xué)公式中的字母含義理解不清.例如，y=ax2+bx+c都知道如何配方.但是當(dāng)公式中的x被其他數(shù)學(xué)式代替時，大部分學(xué)生不能接受，更不會把配方法遷移到其他知識上.

在完成了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學(xué)之后，需要求復(fù)合函數(shù)的值域，如求函數(shù)f（x）=22x-2x+3的值域，但是學(xué)生不會，所以在B班安排了把換元法與配方法結(jié)合的小專題課.A班由于基礎(chǔ)較好，沒有單獨安排，但是教學(xué)中已講授了把換元法與配方法結(jié)合的方法與例題.兩個班做的對比試驗如下：

從實驗結(jié)果可以看出，兩個班的學(xué)生對于單純的配方方法已經(jīng)掌握.A班由于教師沒有系統(tǒng)講解，但有55.3%的學(xué)生抽象水平高，能自覺把2x或log2x抽象成t，然后把問題轉(zhuǎn)化為y=t2-3t+3的值域，然后通過配方求解.其中47.2%學(xué)生發(fā)現(xiàn)了t=2x中t>0的限定條件，把問題圓滿解決.這部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力強，抽象思維水平高，所以運算能力強.