羅曉玲 羅利偉

【摘 要】高質(zhì)量、層層遞進(jìn)的問題探究，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的內(nèi)在機(jī)制，并能使他們在參與學(xué)習(xí)的活動中得到愉悅的情感體驗。文章通過“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計，以問題為驅(qū)動，在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)內(nèi)在機(jī)制的有效發(fā)揮，充分激發(fā)學(xué)生獲取知識的愿望。

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動;合作學(xué)習(xí);內(nèi)在機(jī)制;教學(xué)設(shè)計

【作者簡介】羅曉玲，正高級教師，全國優(yōu)秀教師，首批春城計劃高層次人才教學(xué)名師，昆明市名師工作室主持人;羅利偉，云南省安寧中學(xué)高中數(shù)學(xué)教師。

【基金項目】昆明市“十三五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)內(nèi)在機(jī)制的實踐研究”（ZY18041） 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，教學(xué)要把重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上，積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流等。在合作性的課堂教學(xué)中，師生、生生之間的交互活動是多邊進(jìn)行的，學(xué)生有更多的機(jī)會發(fā)表自己的看法，學(xué)習(xí)環(huán)境更為寬松，自主發(fā)揮的空間更為廣闊;而通過高質(zhì)量、層層遞進(jìn)的問題探究，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的內(nèi)在機(jī)制，促使他們在參與學(xué)習(xí)的活動中得到愉悅的情感體驗。筆者以“直線和圓的位置關(guān)系”高三復(fù)習(xí)課教學(xué)為例，通過以問題為驅(qū)動，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)內(nèi)在機(jī)制的有效發(fā)揮，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。

一、教前思考

（一）教學(xué)疑難點的思考

本節(jié)課的內(nèi)容為高三復(fù)習(xí)課，直線和圓是解析幾何的基礎(chǔ)，它對學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高。作為復(fù)習(xí)課，教學(xué)的重點應(yīng)放在對直線和圓的位置關(guān)系的運用上，尤其需要關(guān)注以下問題：代數(shù)法對二次曲線具有普適性，那為什么要選擇幾何法來處理？應(yīng)注意哪些問題？在動態(tài)過程中需準(zhǔn)確把握幾何關(guān)系，其轉(zhuǎn)化條件是什么？如何聯(lián)系相關(guān)知識解決問題？等等。

（二）教學(xué)環(huán)節(jié)的思考

首先，傳統(tǒng)課堂教學(xué)大多以教師為中心，主要通過教師講授達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，這在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中尤為突出。在教學(xué)中，學(xué)生的“學(xué)”緊緊跟隨著教師的“教”，“教什么”和“怎么教”是根據(jù)經(jīng)驗預(yù)設(shè)的，教師往往一講到底，不注重課堂的生成。顯然，這樣的課堂不僅缺乏靈動性，而且缺乏學(xué)生的合作交流和深度思考，不利于學(xué)生的自主能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。其次，在傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課中，雖然有的教師也會在其中加入合作學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)，但往往受限于教學(xué)任務(wù)量和時間，難以充分進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，基本上是流于形式。鑒于此，本節(jié)教學(xué)內(nèi)容采取大單元的形式實施教學(xué)，對教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行調(diào)整，將2課時的教學(xué)內(nèi)容以大單元內(nèi)容為線索，大體分為3個環(huán)節(jié)：課前（自主學(xué)習(xí)）→第1課時（合作學(xué)習(xí)）→第2課時（交流展示、精講提升），教學(xué)設(shè)計圖如圖1所示。調(diào)整后的教學(xué)設(shè)計能夠讓不同層次的學(xué)生都參與到學(xué)習(xí)活動中，通過知識的連續(xù)性和層次遞進(jìn)，不斷激發(fā)學(xué)生的合作意識，提升學(xué)生的合作技能。

（三）教學(xué)內(nèi)容的思考

該教學(xué)內(nèi)容是解析幾何的基礎(chǔ)，但它對數(shù)形結(jié)合、運算、綜合能力的要求較高。為了讓學(xué)生從基礎(chǔ)入手，由低階思維向高階思維過渡，本單元基于“一題一課”為教學(xué)設(shè)計線索，以典例作為題根，立足基礎(chǔ)，同時又能引出基本知識——圓的三種位置關(guān)系及判斷方法。教師通過變式設(shè)計，讓學(xué)生不斷挑戰(zhàn)高階思維，為學(xué)生創(chuàng)造合作學(xué)習(xí)的機(jī)會，把直線從y=x+m變?yōu)閥=kx+1，即從平移變?yōu)樾D(zhuǎn);在圓x2+y2=4不變的情況下，分別探究位置關(guān)系、弦長等問題，營造一源多枝的生生不息的生態(tài)課堂。因此，本教學(xué)內(nèi)容從基本知識和方法出發(fā)，逐步引申拓展，從簡單的定性分析、定量計算到變式探究、分類討論，再到綜合探究、解決動態(tài)問題、滲入函數(shù)思想（如圖2）。

（四）學(xué)生活動的思考

本教學(xué)設(shè)計將教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行分解，便于學(xué)生充分自主探究，合作學(xué)習(xí)，展示交流。課前，教師首先讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)。第1課時，教師組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí);第2課時，學(xué)生交流展示和教師精講提升。學(xué)生從自主學(xué)習(xí)到小組交流合作，再到小組交流展示，最后到教師精講歸納，整個過程充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。學(xué)生活動設(shè)計如下。

學(xué)生活動一：自主練習(xí)。自主完成知識性和基礎(chǔ)性的練習(xí)，并通過逐漸深入的變式題組，使一題多用，多題重組，給人以新鮮感，能夠喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的意識和意愿。

學(xué)生活動二：小組合作。第1課時通過小組合作式教學(xué)，讓學(xué)生一方面展示自己在自主學(xué)習(xí)過程中好的解題思路，另一方面通過同伴思維的碰撞，解答自己的學(xué)習(xí)疑惑，或是在已解決問題的基礎(chǔ)上習(xí)得更簡便的解題方法。

學(xué)生活動三：交流展示。在第2課時的交流展示環(huán)節(jié)，教師一方面讓有成果的學(xué)習(xí)小組充分展示，另一方面也要讓有困惑的學(xué)習(xí)小組提出質(zhì)疑，使得各小組之間形成良好的交流氛圍。教師在學(xué)生成果展示的基礎(chǔ)上進(jìn)行方法總結(jié)提煉，以及知識精講拓展，通過豐富的學(xué)生活動，學(xué)生的探索能力得到進(jìn)一步提升，培養(yǎng)了學(xué)生問題意識和合作精神。[1]

二、教學(xué)實踐過程

（一）課前學(xué)習(xí)，產(chǎn)生疑惑

教師讓學(xué)生課前自主探究典例和變式題，回顧圓的三種位置關(guān)系——相離、相切和相交，以及兩種判定方法——“Δ-0”法和“d-r”法。

典例 已知圓O：x2+y2=4，直線l：y=x+m。問：直線l與圓O有怎樣的位置關(guān)系？

問題1：若直線變?yōu)閥=kx+1，還有其他的判定方法嗎？

根據(jù)圖象特征，該直線過圓內(nèi)定點。對于如何確定直線與圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生在質(zhì)疑中學(xué)會主動探究。

問題2：若直線l與圓O交于A、B兩點，求AB。

該問題旨在幫助學(xué)生學(xué)會總結(jié)直線和圓的位置關(guān)系，掌握弦長的兩種計算方法：幾何特征法2r2-d2和代數(shù)特征法1+k2·x1-x2。

問題3：若∠AOB=60°，求直線方程。

問題3讓學(xué)生感悟從不定（含參數(shù)）到定（限制條件）的過程，同時引發(fā)學(xué)生思考開放性問題，例如如圖3，除了可以添加條件“∠AOB=60°”，還能不能添加其他條件？

（二）課堂合作，交流展示

由于學(xué)生基礎(chǔ)的差異性，他們會產(chǎn)生不同的想法和疑問，于是便有了合作的動機(jī)。教師設(shè)置以下四種類型的探究性問題，難度逐漸上升，思維逐漸縱深，不斷激發(fā)學(xué)生合作的意愿。

1.平移類問題探究

【變式1】在典例中，當(dāng)m為何值時，圓O上恰有3個點到直線l的距離為1？

學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)基本上能夠解決這個問題。通過圖形可知，該問題其實就是圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系。

師：你還能提出什么問題呢？

生：如果恰好有2個，1個，0個點到直線l的距離為1時，m分別為何值？

通過問題的進(jìn)一步提出，以及幾何畫板的演示，教師讓學(xué)生一起討論。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)軸進(jìn)行總結(jié)（如圖4）。

追問：如果直線固定，平移圓呢？

探究：已知直線l：y=x+2，圓O：x2+y2=r2（r>0），圓O上恰有2個點到直線l的距離為1，求r的取值范圍。

該問題既是典例的變式，又是課本中的習(xí)題，其把典例中簡單的三種位置關(guān)系上升到更深層次的位置關(guān)系，讓學(xué)生加深對直線和圓的位置關(guān)系的理解。

以上教學(xué)設(shè)計在典例的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，契合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。學(xué)生通過合作探究從動直線到動圓，認(rèn)識到直線和圓的位置關(guān)系的本質(zhì)是圓心到直線的距離d和半徑r的關(guān)系，讓學(xué)生感受知識的內(nèi)在聯(lián)系和一致性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新能力。[2]

2.旋轉(zhuǎn)類問題探究

【變式2】將典例中的直線改為l：y=kx+2，圓O向左平移一個單位變?yōu)閳AC：（x+1）2+y2=4，若直線l與圓C相切，則實數(shù)k的值為 ? ?。

變式2從旋轉(zhuǎn)的角度研究直線和圓的位置關(guān)系，意在讓學(xué)生認(rèn)識到無論是從固定斜率到固定截距，抑或直線從平移到旋轉(zhuǎn)，直線與圓的位置關(guān)系從本質(zhì)上都沒有發(fā)生改變。

3.對稱類問題探究

【變式3·2018年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第22題改編】若上述直線l改為l：y=kx+2，當(dāng)直線l與圓C有3個交點時，求直線l的方程。

該題旨在讓學(xué)生感受高考題其實就是源于一些基礎(chǔ)的問題，只是考查的角度比較新穎。另外，在教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解該題時在對絕對值的處理上會遇到麻煩，教師適時進(jìn)行以下引導(dǎo)。

師：變式3與變式2相比，有什么變化？

生1：多了一個絕對值。

生2：它是一個偶函數(shù)。

師：那它還是一條直線嗎？

（學(xué)生沉思不語。）

師：如果從偶函數(shù)的角度考慮，有絕對值應(yīng)該怎么處理呢？

生（多數(shù)學(xué)生）：分類討論，去絕對值。

生（少數(shù)學(xué)生）：畫一半圖形就可以了。

師：很好，那現(xiàn)在請大家進(jìn)行小組合作一起來探究一下吧。

本題作為直線和圓的高考題有一定的難度，經(jīng)過分析和提示后，很多學(xué)習(xí)小組能夠畫出大概圖形，但是要準(zhǔn)確地解出該題還是有一定難度。由于圖形受絕對值和參數(shù)k的影響，這時需要教師引導(dǎo)學(xué)生先從代數(shù)分析得到直線的特征，再利用幾何畫板動態(tài)演示驗證猜想，讓學(xué)生直觀感知k對直線l的影響，進(jìn)而可以通過數(shù)形結(jié)合討論直線l與圓C的位置關(guān)系。

4.綜合類問題探究

【變式4】如圖5，過點P（0，1）作圓O：x2+y2=4的兩條互相垂直的弦AB，CD，求四邊形ACBD面積的最大值。

該題學(xué)生在自主學(xué)習(xí)時較難順利解答，但通過合作學(xué)習(xí)后，學(xué)習(xí)小組探究出以下解題方法。

方法一：利用待定系數(shù)法設(shè)直線方程，再利用弦長公式表達(dá)出弦長AB，CD，但得到面積的表達(dá)式較復(fù)雜，無法求出最大值。

方法二：設(shè)直線的斜率為k，可利用垂徑定理表達(dá)出弦長，得到 S=24-1k2+1·4-k2k2+1。

教師讓方法二的學(xué)習(xí)小組展示解題過程，但學(xué)生仍然無法根據(jù)函數(shù)關(guān)系求出最大值。

師：一定需要乘開嗎？可否采用基本不等式處理呢？

這時學(xué)生發(fā)現(xiàn)，S=24-1k2+1·4-k2k2+1≤2·4-1k2+1+4-k2k2+12=7，當(dāng)且僅當(dāng)4-1k2+1=4-k2k2+1，即k2=1時等號成立。

師：結(jié)合圖形，你知道1k2+1，k2k2+1分別表示什么嗎？

生：圓心到直線距離的平方。

師：通過上述計算，可以知道它們有什么關(guān)系呢？

生：和為1（定值）。

師：結(jié)合圖形你知道為什么是定值嗎？

生：因為是矩形。

通過教師的引導(dǎo)，設(shè)點到兩直線的距離分別為d1和d2，學(xué)生得到AB=2r2-d21=24-d21，CD=2r2-d22=24-d22，其中d21+d22=1，所以S=24-d21·4-d22≤2·（4-d21）+（4-d22）2=7。

在該展示環(huán)節(jié)，教師對展示的小組給予了充分的肯定，讓學(xué)生體會到合作學(xué)習(xí)的好處。同時，這個過程也是學(xué)生能力提升和認(rèn)知建構(gòu)最重要的過程，問題解決的重點不在于解題結(jié)果，而在于如何想到這樣做，如何與學(xué)生所學(xué)知識建立起聯(lián)系，從形式到內(nèi)容，增加學(xué)生對合作學(xué)習(xí)的認(rèn)可，這也是學(xué)生對合作學(xué)習(xí)進(jìn)行自我效能的階段。

（三）課后合作，拓展升華

【變式5】若將上述點P改為直線2x+y-10=0上任意一點，過點P作x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A，B，你能想到哪些可以研究的問題并解決呢？

①求切線長PA的最小值。

②分別求出△AOP和四邊形AOBP的面積的最小值。

③求切點弦長AB的取值范圍。

④當(dāng)四邊形AOBP的面積最小時，求直線AB的方程。

⑤當(dāng)四邊形AOBP的面積最小時，求其外接圓方程。

⑥求PA·PB的取值范圍。

設(shè)置課后探究的目的，首先是繼續(xù)鞏固直線和圓的位置關(guān)系，尤其是切線問題，這是高考的熱點問題之一，除此之外更重要的是再次強(qiáng)化小組合作學(xué)習(xí)的作用，從課前、課堂、課后的設(shè)置讓學(xué)生體會到合作學(xué)習(xí)不拘泥于課堂，而是隨時可以進(jìn)行的自發(fā)的學(xué)習(xí)方式。

三、教學(xué)反思

1.問題導(dǎo)學(xué)驅(qū)動學(xué)生合作

問題導(dǎo)學(xué)的策略，使學(xué)生明確了自己的“知”與“不知”，并且可以準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)的重難點，同時，基于認(rèn)知壓力，激發(fā)學(xué)生學(xué)的動機(jī)、合作的意愿;問題引導(dǎo)可以使學(xué)生對整堂課了然于心，便于學(xué)生安排自己的學(xué);在問題的導(dǎo)引下，以解決問題為目標(biāo)，進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，碰撞出思維的火花，使得問題解決成效最大化，體會合作的樂趣，培養(yǎng)合作精神。[3]

2.合作學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變學(xué)生角色

在合作學(xué)習(xí)過程中，教師的講或其他同學(xué)的講都是學(xué)的資源，使學(xué)成為主動吸收和利用資源的過程，而不是“別人注入我接納”的過程。學(xué)生的交流展示實質(zhì)是講解，是將自己學(xué)的過程和結(jié)果講出來。學(xué)生由聽眾變?yōu)橹v演者，并且講演中要時刻面臨其他同學(xué)和老師的評判、質(zhì)疑和追問。為此，學(xué)生會積極調(diào)動各種資源，做全面的準(zhǔn)備，這個準(zhǔn)備過程就是自主地學(xué)的過程[4]，在這樣的學(xué)習(xí)中，學(xué)生才真正是學(xué)習(xí)的主人。

3.自我效能認(rèn)同合作學(xué)習(xí)

不論是在課前的小組互助，還是在小組乃至班級的展示活動中，學(xué)生會感到自己不再是孤獨的學(xué)習(xí)者，周圍有幫助他的人也有他能幫助的人。合作沒有彼此的競爭，只有分享理解、共享意義。當(dāng)合作有了實質(zhì)性的成果，自我的價值在合作中得以體現(xiàn)，學(xué)生就會對合作學(xué)習(xí)產(chǎn)生更多的認(rèn)同感。

總之，通過課堂實踐發(fā)現(xiàn)，在問題導(dǎo)向下的合作學(xué)習(xí)課堂，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性要遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)課堂。在此過程中，教師的引導(dǎo)作用也尤為重要，只有有效的高質(zhì)量的問題設(shè)計，才能為學(xué)生提供合作學(xué)習(xí)的契機(jī)，這樣的合作學(xué)習(xí)才是高效和可持續(xù)的。

參考文獻(xiàn)：

[1]祁平.新課程背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報，2007（2）：18-22.

[2]談雅琴.讓思維貫通教學(xué) 讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生：以“直線與圓的位置關(guān)系”高三復(fù)習(xí)課為例[J].數(shù)學(xué)通報，2017（9）：18-21.

[3]崔麗平.高中數(shù)學(xué)自主互助學(xué)習(xí)型課堂教學(xué)研究[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2011.

[4]張小鳳.基于合作學(xué)習(xí)的高中生數(shù)學(xué)問題意識及培養(yǎng)策略研究[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2019.

（責(zé)任編輯：陸順演）