學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算中的“乘法分配律泛用”問題探微

王小梅 湯強(qiáng)

【摘要】學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)一般會(huì)不自覺地將乘法分配律遷移過來，造成運(yùn)算錯(cuò)誤，教師往往采用特殊值法進(jìn)行驗(yàn)算后便不再進(jìn)行深入分析，這便錯(cuò)過了一次改進(jìn)教學(xué)和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì).本文對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行深入分析，總結(jié)出這類運(yùn)算錯(cuò)誤的原因有：對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不深刻;對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)認(rèn)識(shí)不充分;對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)或形式認(rèn)識(shí)比較單一.所以，在教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，有意識(shí)地加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué).

【關(guān)鍵詞】乘法分配律;數(shù)學(xué)運(yùn)算;負(fù)遷移

一、問題提出

學(xué)生在運(yùn)算過程中經(jīng)常出現(xiàn)以下幾種錯(cuò)誤：（a+b）2=a2+b2，am+n=am+an，loga（M+N）=logaM+logaN，sin（α+β）=sin α+sin β，教師往往僅通過特殊值法或者數(shù)形結(jié)合法驗(yàn)證以上運(yùn)算是錯(cuò)的，沒有對(duì)其進(jìn)行深入分析，這種做法簡單易操作，成效大，但是，這只是暫時(shí)解決了當(dāng)前的問題，沒有從根本上分析學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這類錯(cuò)誤，那么今后學(xué)生還會(huì)出現(xiàn)類似錯(cuò)誤.例如，已知a是非零向量，且b≠c，求證：a·b=a·c a⊥（b-c）[1].很多學(xué)生直接利用乘法分配律求證，在沒有證明（a+b）·c=a·c+b·c時(shí)直接拿來用，雖然結(jié)果是正確的，但是這種做法是極其不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，向量與實(shí)數(shù)有本質(zhì)上的區(qū)別.我們知道，在人教版中向量的內(nèi)容在必修4，函數(shù)在必修1，學(xué)生是先學(xué)函數(shù)再學(xué)向量，經(jīng)過多次糾正，學(xué)生可能在函數(shù)中不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤了，但是在向量中又會(huì)犯類似的錯(cuò)誤，這說明學(xué)生并未認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤行為產(chǎn)生的根本原因，因此，我們很有必要對(duì)其進(jìn)行深入研究.

二、問題分析

1.對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不深刻

《數(shù)學(xué)辭?！分蟹峙渎傻亩x：乘法對(duì)加法（或減法）的分配律，簡稱乘法分配律.兩個(gè)數(shù)的和（或差）與一個(gè)數(shù)相乘的積等于被加數(shù)（或被減數(shù)）和加數(shù)（或減數(shù)）分別與這個(gè)數(shù)相乘，所得的積的和（或差），即（a±b）c=ac±bc[2] .這里，涉及的是乘法與加法或減法的運(yùn)算，但是（a+b）2不僅僅涉及加法運(yùn)算，還有乘方，同理，其他錯(cuò)誤也是一樣的道理.從另一個(gè)角度分析，乘法分配律中涉及的字母本意是數(shù)，而sin（α+β），loga（M+N）中涉及的是sin，log，是一種運(yùn)算符號(hào)，并不能代表數(shù)，所以不能進(jìn)行遷移.

2.對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)認(rèn)識(shí)不充分

首先，我們對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，抽象出共同特征，如下圖.

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在運(yùn)算時(shí)，把a(bǔ)（b+c）=ab+ac 與f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）人為地強(qiáng)行聯(lián)系起來，在實(shí)數(shù)的運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)間建立了非實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，這不是一種有意義的學(xué)習(xí)，相反，是一種機(jī)械學(xué)習(xí).

進(jìn)一步分析，最終原因是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)認(rèn)識(shí)不充分，錯(cuò)把f當(dāng)成a，同樣是字母，但是所代表的意義不一樣，在f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中，“f”是一種運(yùn)算符號(hào)，表示按某種規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算的符號(hào)稱為運(yùn)算符號(hào)，例如，加、減、乘、除、開方、冪、sin、log、行列式等，

而a（b+c）=ab+ac中“a”是一種元素符號(hào)，表示數(shù)和幾何圖形的符號(hào)稱為元素符號(hào)[3]，在a（b+c）=ab+ac中，“a”代表的是數(shù).因此，在教學(xué)過程中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)的教學(xué)，明確符號(hào)所表示的概念，防止概念與符號(hào)之間脫節(jié).

再補(bǔ)充一點(diǎn)，從上圖中我們可以看到，滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）性質(zhì)的函數(shù)是正比例函數(shù)y=kx，同樣的，我們對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行抽象，發(fā)現(xiàn)不同函數(shù)有不同的特征，具體內(nèi)容見表1（表中抽象函數(shù)一列采用的符號(hào)是x和y，與前面符號(hào)不一致，因?yàn)樵诳荚囍薪?jīng)常遇到的抽象函數(shù)表達(dá)式中用的是x和y），而學(xué)生錯(cuò)誤地將所有函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的抽象形式歸結(jié)于f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）.

3.對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)或形式認(rèn)識(shí)比較單一

從上述分析中可以看出，a（b+c）=ab+ac 與f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）雖然形式差不多，但是內(nèi)容相差很大，而抽象函數(shù)與特殊函數(shù)，比如，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）與y=kx從形式上看起來毫無聯(lián)系，但本質(zhì)是一樣的.從更特殊的角度看，甚至有些形式或符號(hào)完全一樣，但可以用多種數(shù)學(xué)語義解釋，比如，a2+b2最基本的含義是a2+b2的算術(shù)平方根;在直角三角形中，可以表示以a，b為直角邊的斜邊;在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，可以表示點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)（0，0）的距離;在復(fù)數(shù)域中，表示復(fù)數(shù)（a+bi）的模[4].反過來，同一數(shù)學(xué)內(nèi)容也可以用不同的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，例如，兩條直線垂直關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)里就有多種表達(dá)形式：在平面幾何中，兩直線 l1和l2垂直指的是兩直線的夾角是90°，表示為l1⊥l2;在三角形中，如果α+β=90°就有sin α=cos β;在解析幾何里，如果兩直線方程用點(diǎn)斜式表示，即y1=k1x1+b1和 y2=k2x2+b2k1k2≠0，那么兩直線的垂直關(guān)系就是k1k2=-1[5].

綜上可知，數(shù)學(xué)中的同一個(gè)數(shù)學(xué)表示形式可以做不同的語義解釋，同一種數(shù)學(xué)語義的內(nèi)容可以用不同的數(shù)學(xué)語言形式表示.而學(xué)生往往只認(rèn)識(shí)到符號(hào)或形式的一種含義，沒有意識(shí)到符號(hào)在不同內(nèi)容中有不同的意義，這也說明了數(shù)學(xué)符號(hào)的意義是發(fā)展的、變化的，不是絕對(duì)不變的.符號(hào)意義的變化發(fā)展實(shí)際是其所代表的概念意義的變化發(fā)展，因此，我們應(yīng)該用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)符號(hào).

三、問題解決

1.重視數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式[6]，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是其他內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念理解的準(zhǔn)確程度直接影響后續(xù)學(xué)習(xí)的效率.前面分析到學(xué)生不自覺地將乘法分配律移到數(shù)學(xué)運(yùn)算中是因?yàn)閷?duì)乘法分配律概念理解不到位，如果學(xué)生理解到乘法分配律中只涉及加法、減法、乘法，不涉及其他運(yùn)算，就不會(huì)隨意地將其遷移到其他數(shù)學(xué)運(yùn)算中去.另外，三角函數(shù)是刻畫客觀世界中周期變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，如果學(xué)生頭腦中有三角函數(shù)的圖像，并且知道sin（α+β）其實(shí)指的是兩個(gè)角的和的正弦值，可能就不會(huì)簡單地將a（b+c）與sin（α+β）建立非實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.所以，教師在教學(xué)中要花時(shí)間和精力去揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，闡明數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，而教學(xué)中“掐頭去尾燒中段”的做法看似效率高，實(shí)際上是對(duì)短期目標(biāo)的追求，忽視了長期目標(biāo)，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.