【摘 要】本文對一道立體幾何題進(jìn)行了深入的探究，從幾何法、建系法、基底法等視角給出了解答，并對立體幾何解題教學(xué)提出了一些建議。

【關(guān)鍵詞】立體幾何;幾何法;建系法;基底法

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0168-03

《中國高考評價體系》指導(dǎo)下的高考數(shù)學(xué)試題命題注重體現(xiàn)考查內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性和全面性，重點考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和探究意識[1]。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要聚焦主干問題與方法，注重對學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本能力和基本素養(yǎng)的訓(xùn)練，幫助學(xué)生建構(gòu)全面合理的知識結(jié)構(gòu)，同時也要注重學(xué)科內(nèi)容的整合，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角探求問題的

解法。

1? ?問題及分析

如圖1，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PA=PD=，E為PA的中點，點F在PD上，EF⊥平面PCD，M在DC的延長線上，且MC=CD。

（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD。

（2）證明：EF∥平面PBM。

（3）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值。

（4）過點C作BD的平行線，與直線AB相交與點G，①若點Q為CD中點，求E到平面PDQ的距離。②若點Q為CG上的動點，則二面角E-DQ-A能否等于60°？請說明理由。

問題分析：本題主要考查了空間中面面垂直和線面平行的證明、點面距離、線面角的求解及二面角存在性探究等問題，對學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)表達(dá)等能力提出了較高的要求。本題的每個小問的解法均不唯一，教師可以引導(dǎo)、鼓勵學(xué)生從不同角度探求問題的解法，是一道典型的能夠培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好題。

2? ?問題解法探究

2.1? 解題視角一：用幾何法解題

解：（1）證明：∵ EF⊥平面PCD，CD平面PCD，∴ EF⊥CD，又∵ ABCD為正方形，∴ AD⊥CD，而AD與EF共面且不平行，故AD與EF相交，∴ CD⊥平面ADP，又CD平面ABCD，∴ 平面PAD⊥平面ABCD。

（2）證明：如圖2所示，取BP的中點N，連接EN，過F作FK∥CD，連接NK，過A作AH⊥PD，∴ NF=AB

=1且NF∥AB，由題意知，EF=AH=，PF=

，又∵ ?PFK∽?PMD，∴ KF=1，則有，所以EF∥NK，又NK平面PBM，EF平面PBM，∴ EF∥平面PBM。

（3）將四棱錐P-ABCD擴(kuò)成長方體ABCD-A'B'C'D'，如圖2所示。因為EF∥AH，則求直線EF與平面PBC所成角正弦值的問題可轉(zhuǎn)化為求直線AH與平面A'BCD'所成角正弦值的問題。過H作H'∥AD，過H'作

H'K⊥CD'，過D作DT⊥CD'，因平面A'BCD'⊥平面CDD'C'，且平面A'BCD'∩平面CDD'C'=CD'，所以H'K⊥平

面A'BCD'，DT⊥平面A'BCD'，即H'K，DT分別為點H'、

點D到平面A'BCD'的距離，由（2）可知AH=，則DH==，DH：HP=2：15，又因H'H∥D'P，?D'KH'∽?D'TD，

∴ ，且DT =，則

有H'K =，

又∵ AD∥平面A'BCD'，HH'∥平面A'BCD'，∴ 點A、H平面A'BCD'的距離分別為，，設(shè)直線EF與平面PBC所成角為θ，∴ sin θ=。

（4）①如圖3所示，連接ED，EQ，過Q作QR⊥AD，連接RP，∴ QR=（AG+DC）=3，DQ== ，DQ==5，由秦九韶公式可知

，

設(shè)E到平面PDQ的距離為d，由VE-PDQ=VQ-DEP，得d==。

②如圖3所示，過E作ES⊥AD，過S作SU⊥DQ，易知∠EUS為二面角E-DQ-A的平面角，由題意知ES=2，SD=，當(dāng)點Q從G運(yùn)動到C時，∠SDQ由∠SDG變?yōu)椤蟂DC，而sin∠SDG=，sin∠SDC=sin 90°=1，

∴ sin∠SDQ∈[，1]。假設(shè)二面角E-DQ-A能等于60°，則SU==，sin∠SDQ==。顯然[，1]

∴ 當(dāng)點Q在CG上運(yùn)動時，二面角E-DQ-A不能等于60°。

2.2? 解題視角二：通過建立空間直角坐標(biāo)系解題

解：（1）同解題視角一。

（2）如圖4所示，以AD中點O為坐標(biāo)原點，以過點O且垂直于AD的直線為x軸，以O(shè)D為 y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O（0，0，0），A（0，?1，0），B（2，?1，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，4），E（0，?，

2），M（，1，0），G（4，?1，0），設(shè)F（0，y，z），則=（0，y+，z?2），=（0，1，?4），∵ EF⊥PD，

∴ =0，即 y?4z=? ，又∵F在PD上，有4y+z=4，則F（，），∴=（0，，），又=（2，?1，?4），=（，2，0），設(shè)平面PBM的法向量為=（x1，y1，z1），由，得=（1，，

），由，知⊥，

∴ EF∥平面PBM。

（3）=（2，?1，?4），=（0，2，0），設(shè)平面PBC的法向量為=（x2，y2，z2），由，得=（2，0，1），又∵=（0，，），設(shè)EF與平面PBC所成的角為α，則。

（4）①由Q為CG中點，知Q（3，0，0），=（3，?1，0），=（0，?1，4），設(shè)平面PDQ的法向量為=（x3，y3，z3），由，得=（4，12，3），而=（0，，?2），設(shè)E到平面PDQ的距離為d，則d=。

②因Q為CG上的動點，可設(shè)，且0 ≤ λ ≤1，∵ =（2，?2，0），∴ =（2λ，?2λ，0），=+

=（2+2λ，?2λ，0），=（0，?，2），設(shè)平面EDQ的法向量為，由=（x4，y4，z4），，得=（4λ，4+4λ，3+3λ），平面ADQ的法向量可取=（0，0，1），假設(shè)二面角E-DQ-A能等于60°，則有

，

經(jīng)整理得5λ2?22λ?11=0，解之得λ1=，

λ1=，λ1，λ2[0，1]，所以當(dāng)點Q為CG上運(yùn)動時，二面角E-DQ-A不能等于60°。

2.3? 解題視角三：利用基底法解題

解：（1）同解題視角一。

（2）在Rt?POD中，OD=1，OP=4，PD=，

∴ cos∠ODP=，=，=2，=2，由（1）知CD⊥PD，CD⊥AD，如圖4所示，以，，

為基底，∴，，，則=，，，設(shè)平面PBM的法向量為，由，得=，

由，知⊥，∴ EF∥平面PBM。

（3）由（2）知，，

設(shè)平面PBC的法向量為，由，得，又，設(shè)直線EF與平面PBC所成角為θ，則有sin θ=

。

（4）①，設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，又，設(shè)E到平面PDQ的距離為d，則d==。②設(shè)，且0 ≤ λ ≤1，即，所以，，設(shè)平面EDQ的法向量為，由，得

，因OP⊥平面

ADQ，可取作為平面ADQ的法向量，=，假設(shè)二面角E-DQ-A能取到60°，則有

=，

整理得5λ2?22λ?11=0，解之得λ1=，λ1=，λ1，λ2[0，1]，∴ 當(dāng)點 Q 為CG上運(yùn)動時，二面角E-DQ-A不能等于60°。

3? ?對立體幾何解題的教學(xué)建議

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng)的重要載體，教師可在立體幾何解題教學(xué)中通過一題多變、一題多解等方式引導(dǎo)學(xué)生全面思考，盡可能探求同一問題的多種解法，讓學(xué)生在較少的題量訓(xùn)練中獲得較大進(jìn)步。

幾何法、建系法、基底法是解決立體幾何問題的常用方法。運(yùn)用幾何法解題需有一定的平面幾何、立體幾何相關(guān)知識;運(yùn)用建立空間直角坐標(biāo)系法解題的關(guān)鍵在于如何建系及求點的坐標(biāo);運(yùn)用基底法解題需要幾何體中具有三條長度已知的不共面且兩兩夾角可求的線段作為基底。在立體幾何解題教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生從多個視角去探求問題的解法，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修2[M].北京：人民教育出版社，2009.

【作者簡介】

楊清華（1986～），男，苗族，廣西柳州人，本科，中學(xué)一級教師。研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題。