數(shù)學(xué)模型用于“種群數(shù)量的變化”的教學(xué)設(shè)計(jì)

劉田田

摘要：數(shù)學(xué)模型是培養(yǎng)學(xué)生理性思維和科學(xué)探究的重要科學(xué)方法，將其貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程，以細(xì)菌問(wèn)題入手，逐步改變條件，建構(gòu)“J”型曲線、“S”型曲線，提升學(xué)生的建模能力和理性思維，突破教學(xué)重難點(diǎn)，區(qū)分兩種模型成立條件，結(jié)合酵母菌數(shù)量變化的預(yù)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生探究能力，感悟科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;種群數(shù)量;理性思維;科學(xué)探究

1 教學(xué)背景分析

1.1課標(biāo)分析

課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于本節(jié)的具體內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)是：“嘗試建立數(shù)學(xué)模型解釋種群的數(shù)量變動(dòng)”，并提出“探究培養(yǎng)液中酵母種群數(shù)量的動(dòng)態(tài)變化”[1]。引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)關(guān)系描述生命現(xiàn)象，運(yùn)用邏輯推理揭示生命活動(dòng)規(guī)律是本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)。

1.2教材分析

“種群數(shù)量的變化”是人教版高中生物必修3《穩(wěn)態(tài)與環(huán)境》第4章“種群和群落”的第2節(jié)內(nèi)容，共三部分。第一部分，建構(gòu)種群增長(zhǎng)模型的方法;第二部分，種群數(shù)量的變化情況;包括種群增長(zhǎng)的“J”型曲線、種群增長(zhǎng)的“S”型曲線、種群數(shù)量的波動(dòng)和下降;第三部分是“探究”——“培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的變化”，共計(jì)2課時(shí)。為方便學(xué)生理解，第1課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“J”型曲線和“S”型曲線的數(shù)學(xué)模型，并將酵母菌實(shí)驗(yàn)作為預(yù)實(shí)驗(yàn)引入課堂;第2課時(shí)再詳細(xì)講解各曲線的生物學(xué)意義。

1.3學(xué)情分析

本課時(shí)主要以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型為主，需要學(xué)生有相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本節(jié)為高中必修3第4章的內(nèi)容，對(duì)象是高二學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)，具有一定的數(shù)學(xué)歸納能力，在教師的引導(dǎo)下能夠構(gòu)建簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。本章第1節(jié)，學(xué)生已有種群密度的概念，掌握了種群的特征，根據(jù)提示，他們可以將生命現(xiàn)象進(jìn)行量化，以數(shù)量關(guān)系描述生命現(xiàn)象，再運(yùn)用邏輯推理、求解和運(yùn)算等達(dá)到對(duì)生命現(xiàn)象進(jìn)行研究的目的。

2 教學(xué)目標(biāo)

2.1 知識(shí)目標(biāo) 說(shuō)出建構(gòu)種群增長(zhǎng)模型的方法;明確數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的步驟。

2.2 能力目標(biāo) 學(xué)會(huì)建構(gòu)種群增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型;用數(shù)學(xué)模型解釋種群數(shù)量的變化趨勢(shì);運(yùn)用種群數(shù)量變化規(guī)律解決生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題。

2.3 情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)學(xué)習(xí)，意識(shí)到環(huán)境因素（尤其是人類活動(dòng)）對(duì)生物種群數(shù)量變化的影響;領(lǐng)悟建立模型的科學(xué)方法及其在科學(xué)研究中的作用。

3 課前準(zhǔn)備

生物興趣小組進(jìn)行預(yù)實(shí)驗(yàn)——“探究培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的變化”（詳細(xì)過(guò)程見4.3.2）。

4 教學(xué)過(guò)程

4.1 案例引入，激發(fā)興趣

教師用圖片和文字講述“水葫蘆”（即鳳眼蓮）和大熊貓的種群數(shù)量差異。指出：在夏季的長(zhǎng)江流域水葫蘆泛濫成災(zāi)，環(huán)衛(wèi)工人每日打撈515噸也難以控制其數(shù)量;大熊貓瀕臨滅絕，為增加數(shù)量，需建立自然保護(hù)區(qū)，進(jìn)行人工繁殖。兩者數(shù)量為何會(huì)有如此大的差異？從而引出本節(jié)內(nèi)容。

設(shè)計(jì)意圖：以日常生活常見現(xiàn)象為切入點(diǎn)，引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生興趣，促使學(xué)生從簡(jiǎn)單問(wèn)題中提煉生物學(xué)問(wèn)題。

4.2 數(shù)學(xué)模型概念，探究細(xì)菌數(shù)量的變化

教師向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)模型的概念，以及在種群數(shù)量研究中的重要作用，以細(xì)菌為例，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的研究方法。

假設(shè)：若某細(xì)菌每20min 繁殖一代，一分為二，20min，40min，60min……后，會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)細(xì)菌？填寫教材第66頁(yè)表格內(nèi)容。提出以下問(wèn)題：①你能否快速準(zhǔn)確地說(shuō)出10000h后細(xì)菌的數(shù)量？②若N表示繁殖后的細(xì)菌數(shù)量，n表示分裂次數(shù)，請(qǐng)寫出1個(gè)細(xì)菌n次分裂后的數(shù)量計(jì)算公式。③除了公式，能不能換一種數(shù)學(xué)形式，可以直接看出細(xì)菌數(shù)量變化的趨勢(shì)？④假如細(xì)菌的起始數(shù)不是1而是N0，n次分裂后細(xì)菌數(shù)量計(jì)算公式又是什么呢？⑤細(xì)菌可以一直按照這個(gè)公式增長(zhǎng)嗎？為什么？

組織學(xué)生進(jìn)行3分鐘的討論，再請(qǐng)學(xué)生逐一回答上述問(wèn)題。根據(jù)問(wèn)題①和問(wèn)題②，得出1個(gè)細(xì)菌n次分裂后的數(shù)量計(jì)算公式N=2n;由問(wèn)題③總結(jié)數(shù)學(xué)模型的兩種表現(xiàn)形式——公式N=N02n和曲線圖，并由此比較兩種方式的優(yōu)缺點(diǎn);問(wèn)題④將具體問(wèn)題普遍化;問(wèn)題⑤強(qiáng)調(diào)公式成立的條件——“環(huán)境和資源無(wú)限多”的理想條件。

教師出示資料：科學(xué)家在實(shí)驗(yàn)室條件下培養(yǎng)細(xì)菌，定期分裝，并向其中加入營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)，使細(xì)菌始終生活在營(yíng)養(yǎng)和空間資源無(wú)限多的環(huán)境中。經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，繪制出曲線圖，和學(xué)生的曲線圖對(duì)比，進(jìn)行驗(yàn)證，由此提出“J”型曲線。結(jié)合細(xì)菌數(shù)量變化的探究歷程，總結(jié)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：用問(wèn)題啟發(fā)式進(jìn)行教學(xué)，層層遞進(jìn)，啟發(fā)學(xué)生推測(cè)出一個(gè)細(xì)菌的增長(zhǎng)公式，N0個(gè)細(xì)菌增長(zhǎng)公式，歸納公式成立的條件;引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，總結(jié)數(shù)學(xué)模型研究方法的一般步驟。

4.3 數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用

4.3.1 模型一 種群增長(zhǎng)的“J”型曲線

教師提問(wèn)：科學(xué)家在人工實(shí)驗(yàn)的條件下，為細(xì)菌提供了一個(gè)理想條件，使它呈“J”型增長(zhǎng)。那同學(xué)們猜一下，自然界中會(huì)存在這種資源空間無(wú)限多的的理想條件嗎？根據(jù)學(xué)生的回答，檢查預(yù)習(xí)效果。

教師結(jié)合教材，出示環(huán)頸稚和澳大利亞野兔在一定時(shí)間內(nèi)數(shù)量增長(zhǎng)的圖文資料，兩者均呈“J”型增長(zhǎng)。由學(xué)生歸納野兔瘋狂增長(zhǎng)原因：氣候適宜，食物充足，缺少天敵，生存空間大，教師指出這就是理想條件的具體含義。質(zhì)疑：野兔和環(huán)頸稚“J”型增長(zhǎng)的方程式也能用細(xì)菌N=N02n來(lái)表示嗎？組織學(xué)生進(jìn)行分組合作、交流討論，學(xué)生根據(jù)細(xì)菌個(gè)案，建構(gòu)模型一。

提示學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)：①對(duì)類似環(huán)頸稚、野兔數(shù)量的檢驗(yàn)修正可通過(guò)對(duì)實(shí)際數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后繪制;②“J”型增長(zhǎng)的公式表達(dá)N=N0入t和曲線圖均要在理想條件下才能形成，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)室條件設(shè)置，也可以把種群遷入新環(huán)境的最初一段時(shí)間看成理想條件。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從細(xì)菌個(gè)案分析一般種群，能運(yùn)用類比的方法研究問(wèn)題;學(xué)會(huì)從資料中歸納提取關(guān)鍵詞，總結(jié)規(guī)律;學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生小組討論，學(xué)會(huì)合作。

4.3.2 模型二 種群增長(zhǎng)的“S”型曲線

教師提問(wèn)：細(xì)菌的“J”型增長(zhǎng)，要在理想條件下才會(huì)發(fā)生。但討論問(wèn)題⑤時(shí)，有同學(xué)認(rèn)為在資源有限時(shí)，不會(huì)以這樣的趨勢(shì)增長(zhǎng)。那么在環(huán)境資源有限的情況下，細(xì)菌數(shù)量會(huì)如何增長(zhǎng)呢？請(qǐng)大家猜想，并畫出細(xì)菌增長(zhǎng)的曲線。

學(xué)生畫圖，并說(shuō)出畫圖理由，允許學(xué)生出錯(cuò)。這一過(guò)程實(shí)際已經(jīng)完成數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的前三步，建構(gòu)出曲線圖形式的模型。

為了驗(yàn)證學(xué)生構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型曲線圖是否正確，生物興趣小組探究了有限環(huán)境中種群數(shù)量的變化，進(jìn)行了預(yù)實(shí)驗(yàn)。由于細(xì)菌不便于直接觀察和技術(shù)，他們以酵母菌為實(shí)驗(yàn)材料，對(duì)“培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的變化”進(jìn)行探究。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模禾骄拷湍妇N群數(shù)量變化，建構(gòu)培養(yǎng)液中酵母菌種群增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。

提出問(wèn)題：酵母液中酵母菌種群的數(shù)量是怎樣隨時(shí)間變化的。

作出假設(shè)：合理即可。

實(shí)驗(yàn)材料：顯微鏡、血球計(jì)數(shù)板、蓋玻片、試管、膠頭吸管、馬鈴薯葡萄糖肉湯等。

操作過(guò)程：取9支試管，每只試管中放入10ml培養(yǎng)液，放入等量酵母菌培養(yǎng)。將9支試管分為A、B、C三組，在10：00、15：00、20：00估算出10mL培養(yǎng)液中酵母菌的初始數(shù)量（N0）。在此之后于同一時(shí)間連續(xù)觀察7天，分別記錄下7天的數(shù)值。根據(jù)血球計(jì)數(shù)板計(jì)數(shù)室的酵母菌數(shù)目，估算試管中酵母菌總數(shù)，計(jì)算平均數(shù)，繪制酵母菌數(shù)據(jù)記錄表，填寫數(shù)據(jù)。

注：學(xué)生已使用過(guò)顯微鏡，教師需對(duì)其操作進(jìn)行指導(dǎo)，尤其注重轉(zhuǎn)換高倍鏡后的使用;學(xué)生第一次接觸血球計(jì)數(shù)板，教師應(yīng)在學(xué)生初次使用時(shí)講解計(jì)數(shù)要求，辨別計(jì)數(shù)室，學(xué)會(huì)計(jì)算方法;培養(yǎng)過(guò)程中提醒學(xué)生適時(shí)搖晃試管;小格中酵母菌數(shù)量過(guò)多難以數(shù)清時(shí)，學(xué)會(huì)稀釋方法。

課上，小組成員對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行描述，并展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

組織學(xué)生進(jìn)行分組合作、交流討論，學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，修正模型，對(duì)錯(cuò)誤的模型進(jìn)行糾正。

教師出示資料：科學(xué)家也進(jìn)行過(guò)類似的實(shí)驗(yàn)，如高斯的大草履蟲實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在有限的環(huán)境中，種群經(jīng)過(guò)一定時(shí)間增長(zhǎng)后，數(shù)量趨于穩(wěn)定，這種曲線稱為“S”型曲線。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生描述實(shí)驗(yàn)過(guò)程，鍛煉歸納總結(jié)能力。鍛煉學(xué)生膽量，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，提高糾錯(cuò)意識(shí)，嘗試?yán)硇苑治鰡?wèn)題。體驗(yàn)探究實(shí)驗(yàn)的全過(guò)程，體會(huì)模型修正過(guò)程，感受實(shí)驗(yàn)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

4.4 學(xué)以致用，回顧問(wèn)題

教師再次提出課前問(wèn)題：鳳眼蓮的增長(zhǎng)趨勢(shì)符合哪種模型？學(xué)生能夠輕松回答。教師解釋：鳳眼蓮在原產(chǎn)地南美洲天敵眾多，種群增長(zhǎng)有限，但引入我國(guó)后，由于缺少天敵，氣候適宜，生長(zhǎng)在理想條件下，便無(wú)節(jié)制的生長(zhǎng)，最終泛濫成災(zāi)。但是，關(guān)于大熊貓為什么是瀕危動(dòng)物并沒(méi)有解決，這個(gè)問(wèn)題涉及到“S”型曲線的生物學(xué)意義，下一課時(shí)再來(lái)重點(diǎn)講解。

設(shè)計(jì)意圖：前后結(jié)合，聯(lián)系實(shí)際。經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)能夠回答課前的問(wèn)題，并為第2課時(shí)講解曲線的生物學(xué)意義、如何利用曲線圖變化因素對(duì)種群進(jìn)行保護(hù)或控制做鋪墊，利于下一節(jié)課的開展。

5 教學(xué)反思

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)，以生活常見現(xiàn)象為引，以精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題串為導(dǎo)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是用來(lái)描述一個(gè)系統(tǒng)或它的性質(zhì)的數(shù)學(xué)形式。將數(shù)學(xué)和生物聯(lián)系起來(lái)，促使學(xué)生從生物問(wèn)題找規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，又將數(shù)學(xué)模型置于新情境中解決問(wèn)題。鍛煉了學(xué)生的邏輯推理，提升“理性思維”的生物核心素養(yǎng)。

同時(shí)，將教材中的“探究”引入課程的一部分，也強(qiáng)調(diào)了“科學(xué)探究”的精神。學(xué)生通過(guò)提出問(wèn)題，作出假設(shè)，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)操作，對(duì)數(shù)據(jù)分析處理，結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析模型的過(guò)程，體驗(yàn)了科學(xué)方法的流程，更強(qiáng)化了小組合作學(xué)習(xí)的能力。但是，由于實(shí)驗(yàn)條件有限，無(wú)法嚴(yán)格控制無(wú)菌環(huán)境，學(xué)生對(duì)顯微鏡的操作并不成熟，計(jì)數(shù)過(guò)程難免產(chǎn)生誤差。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠促使學(xué)生根據(jù)兩種模型的形成條件，反思人類活動(dòng)對(duì)種群數(shù)量的影響，強(qiáng)化“生命觀念”和“社會(huì)責(zé)任”。

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