郭麗巍

摘? ? 要：探究動(dòng)態(tài)問(wèn)題，妙用特殊思想。如果一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論對(duì)一般情況成立，那么對(duì)于特殊值的情況必然成立。因此在解決某些問(wèn)題時(shí)就可以利用特殊值法，選擇恰當(dāng)?shù)奶厥庵?、特殊點(diǎn)、特殊圖形來(lái)解決，這對(duì)煩瑣問(wèn)題的求解意義重大。本文將針對(duì)特殊值在動(dòng)態(tài)軌跡中的巧妙運(yùn)用進(jìn)行說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng);特殊值;歸納推理;動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.研究目標(biāo)

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析?？梢?jiàn)邏輯推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位。邏輯推理包括歸納推理和演繹推理，它在幾何證明中占有重要的地位。邏輯推理的訓(xùn)練能力應(yīng)該從小培養(yǎng)，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中給出了邏輯能力的界定：通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等）進(jìn)行邏輯思考（觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、演繹），從而做出推論;再進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例說(shuō)明給出推論的合理性的綜合能力。

2.應(yīng)用廣度

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類(lèi)題型，因其綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)點(diǎn)多、解答能力要求較高等特點(diǎn)，一直受到命題者的青睞。在近幾年各地的中考、高考試卷中，以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為主的動(dòng)態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中，成為全卷的難點(diǎn)，考查學(xué)生對(duì)圖形的直覺(jué)能力以及從變化中看到不變實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。史寧中教授認(rèn)為，教學(xué)不僅要教給知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧。知識(shí)的主要載體是書(shū)本，智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中，形成于學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的教育教學(xué)實(shí)踐中。今天我們淺談下數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”中的“歸納推理”。它主要體現(xiàn)在特殊值情況代替題設(shè)中的普遍條件，得出特殊的結(jié)論，從而在解決問(wèn)題時(shí)做出正確判斷。這種方法叫做“特殊值法”。題目中已知條件中含有某些不確定的量，而題目的結(jié)論是唯一的或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將變量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情況來(lái)求出這個(gè)定值，從而簡(jiǎn)化了推理、論證的過(guò)程。這種方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊點(diǎn)、特殊位置等），進(jìn)行合理科學(xué)的判斷——否定或肯定，從而達(dá)到快速解題的目的。

下面以實(shí)例說(shuō)明特殊值在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。

3.案例展示

（1）解題策略——運(yùn)用函數(shù)模型，靜化動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例：已知A是雙曲線(xiàn)y=在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊做等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限，已知點(diǎn)C的位置始終在一函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)解析式為（? ? ）

A.y=-（x>0）? ? ? ? ? B.y=（x>0）

C.y=-6x（x>0）? ? ? ? ? D.y=6x（x>0）

[分析]：A為動(dòng)點(diǎn)，AB為動(dòng)線(xiàn)?？紤]A及AB的特殊位置，使得點(diǎn)A及直線(xiàn)AB為定點(diǎn)和定直線(xiàn)，把動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題。

解：如右圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為45？紫時(shí);當(dāng)直線(xiàn)AB為一三象限的角分線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)AB為y=x，此時(shí)可求出點(diǎn)A（，），∠ACO=30？紫，OC=2，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，-? ），k=×-=-6，即函數(shù)解析式為y= （x>0）

解：如下圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為60？紫時(shí);當(dāng)直線(xiàn)AB為一三象限的角分線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)AB為y=x，此時(shí)可求出點(diǎn)A（? x，x ），且k=x×x=2。則OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3x，- x ），k=3x×- x=-3x2=6，即函數(shù)解析式為y= ?（x>0）

解：如下圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為30？紫時(shí);當(dāng)直線(xiàn)AB為一三象限的角分線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)AB為y= x ，此時(shí)可求出點(diǎn)A（x，x ），且k=x×x=2。則OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，-3x ），k= 3x×- x=-3x2=6，即函數(shù)解析式為y= ?（x>0）

[解析]首先判斷點(diǎn)C的軌跡，若是選擇題，便可直接帶入點(diǎn)去驗(yàn)證，若本題為填空題，無(wú)論特殊點(diǎn)A選在哪里，都會(huì)得到一個(gè)確定的C點(diǎn)，嘗試兩次即可發(fā)現(xiàn)此軌跡為反比例函數(shù)的一支。代入點(diǎn)求出函數(shù)表達(dá)式。

（一般證明求解。）

解：過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)F。

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30？紫;

OC=OA;

△AOE∽△OCF;

===;

OF=AE，CF=OE;

∴OF×CF=3AE×OE=6

即函數(shù)解析式為：y=（x>0）

[評(píng)析]本題是考查反比例函數(shù)的綜合題。自然解法源于高觀點(diǎn)的統(tǒng)領(lǐng)[1]，本題涉及了直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多。解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。由于本題是選擇題，引導(dǎo)學(xué)生自然化的解決問(wèn)題，化動(dòng)點(diǎn)為定線(xiàn)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，簡(jiǎn)單巧妙地解決問(wèn)題。此題要想求出函數(shù)解析式，只要求點(diǎn)C函數(shù)軌跡，即點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)。由于此題中點(diǎn)C是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因此讓直線(xiàn)AB選取特定的位置，選定A、B點(diǎn)C的位置就很容易確定了。若要規(guī)范地證明此題需要一個(gè)完整的思考體系，一般的學(xué)生很難得到標(biāo)準(zhǔn)答案。因此在做選擇填空題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)匕盐罩骶€(xiàn)、學(xué)會(huì)巧妙化動(dòng)為定。

（2）嘗試運(yùn)用——打破思維定式，尋找最優(yōu)解法

例：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交邊AD、BC于點(diǎn)E，F(xiàn)。且EF=6。則AE2+BF 2的值為（? ?）

（A）9? ? ? ? ? ? （B）16? ? ? ? ? ? ? ?（C）18? ? ? ? ? ? ?（D）36

[分析]本題直接解對(duì)有些學(xué)生來(lái)講比較困難。因此此題可以選取特殊點(diǎn)的方法，讓點(diǎn)E、點(diǎn)F都取線(xiàn)段的中點(diǎn)，很容易得到答案。由此可見(jiàn)特殊點(diǎn)的選取在做題時(shí)很實(shí)用，即很快能得到答案。

解：由平方加平方形式考慮到構(gòu)造勾股定理，在BA上取BG=AE，則△AEG≌△BGF，AE2+BF 2=FG2，易得出答案。

[評(píng)析]對(duì)于這類(lèi)特殊值的帶入方法，若教師在平時(shí)的教學(xué)中能有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)總結(jié)，形成固定的套路方法，那么學(xué)生在解題時(shí)就能主動(dòng)運(yùn)用“特殊值”來(lái)解決這樣的問(wèn)題，打破思維定式，尋找最優(yōu)解法[2]。

（3）問(wèn)題遷移——精選思維起點(diǎn)，巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題

哈師大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科期末檢測(cè)試卷中選擇題第十二題作為選擇題中的壓軸題得分率較低，下面探究能否運(yùn)用特殊值法去解決問(wèn)題。

下列關(guān)于一元二次方程x2+bx+c=0 的四個(gè)命題：

① 當(dāng)c=0，b≠0時(shí)，這個(gè)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

② 當(dāng)c≠0時(shí)，若p是方程x2+bx+c=0 的一個(gè)根，則是方程cx2+bx+1=0 的一個(gè)根;

③ 若c<0，則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m

④ 若p，q是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則p-q=。

其中是假命題的序號(hào)是

（A）①? ? ? ? ? ? （B）②? ? ? ? ? ?（C）③? ? ? ? ? （D）④

[分析]（1）很容易判斷出b2-4ac=b2<0 即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。

（2）由p是方程的一個(gè)根可知p2+bp+c=0，方程兩邊同時(shí)除以p2可推導(dǎo)++1=0 。若用特殊值法可以選取p=2代入x2+bx+c=0，得2b+c=-4，把代入cx2+bx+1=0， 得++1=0 ，2b+c=-4，因此②正確。

（3）c<0 ，b2-4ac=b2>0，函數(shù)y=x2+bx+c=0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖象一定可以找到兩個(gè)實(shí)數(shù)m

（4）以通過(guò)韋達(dá)定理去求p-q的值，也可以選取特殊的p，q帶入驗(yàn)證。例如若選取p=2，q=3為方程的根，此時(shí)方程為x2-5x+6=0 ，即b=-5，c=6。通過(guò)驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)p-q=不成立，因此本題答案是D。

[點(diǎn)評(píng)]本題是哈師大附中某次期末考試中選擇題的最后一道題。對(duì)于難題我們應(yīng)該巧妙地選取特殊值?！疤厥饣辈呗圆坏墙鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要工具。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有必要加強(qiáng)“特殊值法”的教學(xué)。

4.思考與分析

（1）反思——螺旋上升，層層深入

邏輯推理能力是學(xué)生創(chuàng)造力的基礎(chǔ)，是構(gòu)成優(yōu)秀人才的要素之一。具有較高邏輯思維能力的學(xué)生，能夠依據(jù)已有的知識(shí)和事實(shí)，遵循一定的法則，按照嚴(yán)密的步驟進(jìn)行抽象、概括、判斷、推理，從已知到未知，把握事物的本質(zhì)?？梢?jiàn)，在日常教學(xué)中教師應(yīng)該注重學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，讓他們學(xué)會(huì)精巧地解決問(wèn)題。

眾所周知，數(shù)學(xué)選擇題只有四個(gè)選項(xiàng)，并且只有一項(xiàng)是正確答案，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。正是它的嚴(yán)密性和唯一性，才使得我們敢大膽地使用“取特殊值法”來(lái)找出答案。所謂的 “取特殊值法”就是對(duì)題目中的某些變量賦值[3]。動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題是熱門(mén)題型，如果考生能夠熟練地運(yùn)用特殊值法常常會(huì)起到事半功倍的效果。

（2）分析——單因素方差分析對(duì)比真實(shí)數(shù)據(jù)

根據(jù)海倫市第一中學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)和本題的得分情況，區(qū)里統(tǒng)考統(tǒng)批，盡可能地排除誤差，年級(jí)總?cè)藬?shù)1231，通過(guò)對(duì)6個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)比分析數(shù)據(jù)如下：

單因素方差分析結(jié)果（參考水平P值選取0.05），利用假設(shè)檢驗(yàn)的思想;原假設(shè)為u1=u2=u3=u4=u5=u6;即假設(shè)無(wú)差異。

通過(guò)分析可發(fā)現(xiàn)P值為0.228，即拒絕原假設(shè)，因此6個(gè)班的成績(jī)有差異。假定方差的齊性，下面進(jìn)行LSD多重比較，同樣參考水平P值選取0.05，考慮95%的置信區(qū)間。

*.均值差的顯著性水平為 0.05.

參照上表可以發(fā)現(xiàn)801班和806班顯著性是0.046， 804班和806班的顯著性是0.018。這兩組數(shù)據(jù)的差異性比較大，有理由拒絕原假設(shè)。因此通過(guò)分析后的結(jié)論是6個(gè)班的成績(jī)存在差異，即四班和一班成績(jī)相對(duì)較好。

本題702班做錯(cuò)的人數(shù)17人，明顯差異大于其他幾個(gè)班級(jí)的人數(shù)，比例明顯高于其他班級(jí)。因此702班的老師在合情推理方面多加滲透，雖然作為選擇題的壓軸題還是有難度，本題做的好的班級(jí)并不是成績(jī)好的班級(jí)。所以相對(duì)于學(xué)情而言，應(yīng)該選擇適合學(xué)生的得分方式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）回歸——自然通法，循序漸進(jìn)

張景中先生認(rèn)為：“一種方法解很多題，要好過(guò)很多方法解一個(gè)題。這一種方法絕不是靈機(jī)一動(dòng)的妙法，而應(yīng)是最基本、最重要、最自然的通法。”其實(shí)站在數(shù)學(xué)思維的角度看，自然的解法才是最好的方法，才是學(xué)生能想到的方法，也是能引起思維共鳴的方法。因此，在處理特定的問(wèn)題時(shí)，我們可以打破思維定式，自然而常規(guī)地解決高考選擇、填空題中的難題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張青云.從“直接探索”“到幾何直觀”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（1-2）.

[2]李建華.精選思維起點(diǎn)，巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題[J].學(xué)術(shù)研究，2013（1）.

[3] 韓新正. 巧用旋轉(zhuǎn) 整合條件 通法解題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2016（1）.

編輯/魏繼軍