“證明”：探尋數學本質的最佳路徑

徐凱

[摘 要]如果對于知識的教學只是浮于表面，過于注重結論、方法以及習題，學生就無法深入探究數學知識的本質內涵。文章立足于“數學證明”，深層剖析“證明”在小學數學教學中的內涵和價值，并針對如何利用小學生力所能及的“證明”展開探討，給出“剖析教材，發(fā)掘素材”“以錯引措，以誤換悟”“探本溯源，突破界限”和“多樣證明，活化認知”等策略，力求將“數學證明”融入課堂，使之成為學生探尋數學本質的最佳路徑，讓課堂充滿濃濃的“數學味”。

[關鍵詞]數學證明;數學本質;小學數學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0001-04

如果說問題是數學的心臟，那么“證明”就是數學的靈魂。數學家匈菲爾德對于“證明”的解讀是“證明是尋找數學意義的活動”?？梢?，“證明”就是讓學生理解概念、公式、法則、定律等的發(fā)生和發(fā)展過程和原因，即探索數學知識本質的過程，而非把數學證明看作推理過程的“固化痕跡”。

作為教師，要注重培養(yǎng)學生對于數學本質的感悟，讓學生學習“帶得走”的數學，而非遨游于“數學題?！薄Ｕ鐢祵W教育家米山國藏所言“唯有深深銘刻在心中的數學精神、數學思想方法、研究方法、推理方法和看待問題的著眼點等，隨時隨地地發(fā)生作用，使他們終身受益” ，“數學證明”的深刻性就具有這樣的“威力”。

一、審視：當下課堂教學中“數學證明”的現狀剖析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出“四基”，即“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。關于數學基本活動經驗，史寧中教授指出“數學基本活動經驗是親身經歷和感悟了歸納推理和演繹推理的過程，尤其是歸納推理過程后的一種結果”，這與“數學證明”不謀而合。反觀當下的數學課堂，難有“證明”的身影，即使有，也大都如走馬觀花一般，重知識、技能，輕活動經驗的現象比比皆是。

1.對小學“數學證明”概念理解狹隘

有些教師覺得“數學證明”伴隨著嚴謹的思考、高深的定理以及極其規(guī)范的格式，對小學生來說遙不可及，非小學生所能掌控。其實不然，在小學階段，“數學證明”通常只涉及一些非形式的推理和論證，這個階段的“數學證明”不是嚴格的、形式化的，其主要目標是讓學生從事力所能及的邏輯論證。

2.對課堂中“數學證明”過程的剝削

不少教師潛意識里認為“證明”不屬于小學教學內容，尤其是對于中低年級的學生，讓其掌握“證明”無異于揠苗助長，學生只需掌握一些基本的知識或技能會解題足矣，于是把得出結論的證明過程一帶而過，將寶貴的課堂時間大多用于習題訓練和鞏固所學知識，此種做法無異于竭澤而漁。

以蘇教版教材三年級上冊“比較同分子異分母的分數大小”為例，很多學生都能掌握比較分數大小的方法“分子相同時，分母越小分數越大”，尤其在課堂中花大量時間鞏固和練習，一節(jié)課下來學生均“熟能生巧”。殊不知，結論雖然易懂，但其真正價值蘊含于得出結論的過程和方法中：通過畫出二分之一和四分之一的示意圖（如圖1）來佐證兩個分數的大小，其間蘊藏著“數形結合，以形證數”的原生態(tài)的“證明”雛形。

試想一下，若課堂中只注重結論和方法，罔顧證明的過程，長此以往數學課不免枯燥和冰冷。要想學生的思維有深度，那在中低年級這個起步階段，就得在學生心中埋下“知其然還要知其所以然”的種子。

3.對教材中“數學證明”素材的輕視

目前各版本教材或多或少都安排了“證明”的素材，除了顯而易見的公式、定理的推導與證明，在“思考題”“動手做” “你知道嗎”等部分皆有“證明”的身影。但一些教師對于這些素材的處理往往淺嘗輒止，僅僅停留在學生“了解、知道”層面，沒有充分挖掘和激活其內在價值。

以蘇教版教材五年級上冊中的 “你知道嗎”為例（如圖2）：

該內容介紹的是《九章算術》中記載的關于古代三角形面積的計算方法，即“半廣以乘正從”。不少教師只是在課末簡單介紹這部分內容，僅將其作為可有可無的補充，如此有“證明”價值的素材就被一帶而過，可謂是暴殄天物。這個三角形面積的計算方法看似簡單，實則是三角形面積公式的另一種推導和證明的過程，不同方法相互驗證，彰顯數學的嚴密與嚴謹，可以引導學生在原有的基礎上感受證明方法的多樣化，感嘆證明的精妙之處;深挖下去，亦是“轉化”這一數學思想的體現，學生能夠在“證明”中感受數學思想的妙處，構建未知與已知的橋梁，思維得到長足的發(fā)展與提升。

在具體的教學過程中教師只有有效激活相關素材，將其融入課堂教學，而不是使其像“孤島”般游離在學習體系之外，學生才能從內心深處感受到“證明”的價值所在，才能將證明意識根植于心。

4.對小學“數學證明”的評價片面

隨著課改的深入，“數學證明”與數學學習的聯系日益緊密，尤其是中高年級的數學學習，但 “數學證明”考不考？怎么考？考到何種程度？這都是教師面臨的實際問題。

例如，五年級某練習檢測題：你認為[nm]和[n+1m+1]哪個大（m>n>0）？請用你喜歡的方法證明。

有些學生根據直覺胡亂猜測，然后證明過程亦是胡寫一氣;有些學生只寫結論毫無證明過程;更有甚者，完全不會……

筆者對一些學生進行了訪談，他們表示：看到“證明”兩個字不知所措，沒遇到此類題型;只記得老師講過類似的結論，記不清具體為什么;沒有比較過帶有字母的分數的大小，所以看不明白，通分的方法也不會用在這里……其實解答本題只要言之有理，將自己想法解釋清楚即可。

由此可見，考什么就教什么，不考就不教，就給“證明”套上了“應試”的枷鎖，不但慢慢抹殺了“數學證明”本身的價值，而且這種極具功利性和工具性的評價取向，也成為制約“數學證明”進入課堂的一個重要因素。

二、沉思：“數學證明”的意蘊內涵和實踐價值

1.“數學證明”的意蘊內涵

數學是人類智慧的結晶，“證明”就是其靈魂所在。將“數學證明”適時地融入課堂，能讓學生感受數學精巧的方法、奇妙的思想和嚴謹的邏輯。

數學家波利亞曾說：“教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學生想了些什么，學生的思路應該在學生自己的頭腦中產生，教師的作用在于系統地給學生發(fā)現事物的機會?！?因此，在課堂中融入“數學證明”的目的在于改變數學教育只停留在知識技能層面的現狀，使學生對數學的理解深入到思維、能力乃至精神層面，感悟數學的本質，在大膽猜想、勇于探究和嚴謹求證中不斷獲得推理能力、數學思維、創(chuàng)新精神以及理性精神，從而提升數學素養(yǎng)。

2.“數學證明”的實踐價值

（1）有利于激發(fā)學生探秘數學的內在動力

現代認知學習理論認為，充分利用知識本身的一切能引起機體產生動機性行為的外部刺激就是啟動學生認知學習的內在動力，而“數學證明”就蘊含著數學知識本身的“誘因”價值。

以“三角形的內角和”教學為例，課始，教師發(fā)現絕大部分學生都知道了三角形的內角和為180°，于是要求學生證明為何三角形的內角和為180°。學生通過量角度、先撕再拼和折成長方形來說明三角形的內角和是180°，與教材所給出的方法如出一轍。本以為證明過程就此結束，突然有位學生提出疑問：“我也是撕和拼的，為何有的縫隙對不上，得出的角不像是180°的平角?！苯處煵]有以“存在誤差”為理由搪塞過去，而是以此為契機，提出：“既然有誤差，那有沒有更有說服力的證明方法呢？”學生冥思苦想后，得出以下方法：

①一個長方形的四個角都是直角，所以長方形的內角和是360°;畫一條對角線，把長方形分成兩個完 全一樣的三角形，那么一個三角形的內角和就是180°。

②先畫一個三角形 ，然后把三角形慢慢“壓扁”，兩個底角就越來越小，慢慢接近0°，頂角越來越大，逐漸接近平角180°，所以三角形的內角和是180°。

至此，學生大開眼界，感悟到不同的證明方法，甚至極限思想，從而打開了思維的閘門。可見，“數學證明”可以直接驅動學生學習，使學生變得積極、主動，對學生數學學習的興趣、動機、品質都會有積極影響。

（2）有利于學生自主建構知識體系

課程標準要求數學教學過程中要注重學生學習的過程，而知識的學習其實是一個學生自主建構知識體系的過程，“證明”亦是學習探索過程的一種，它能幫助學生探索知識本質，是一種由表及里、由外而內的學習過程。

以“兩位數加兩位數（進位）”教學為例，大部分學生課前都已知曉或接觸過該計算方法，那整節(jié)課都用來訓練鞏固計算方法？當然不是，既然是進位加法，那進位“1”的重要性便不言而喻。教師給學生若干小棒、計數器等學具，讓學生自主證明進位“1”的來歷，最終形成板書（如圖3）。學生在教師的引領下通過“擺小棒（10根小棒為一捆）”“撥計數器”“加法算式”三種方式去證明“滿十進一”這個核心知識點。想必通過學生的自主操作、自主探索和自主證明，“滿十進一”便不再是一句簡單的口訣，學生也深刻理解了進位“1”的來龍去脈。

雖然上述證明過程較為簡單，但足以在低年級學生的心中埋下“證明”的種子，學生能通過操作、觀察去證明 “約定俗成”的口訣或計算方法，建構知識體系，將浮于表面、需要記憶的數學知識內化于心、融會貫通，此乃“證明”之妙處所在。

（3）有利于培養(yǎng)學生的理性精神

數學教育給學生留下的是什么？是概念、公式，還是某次考試？其實，重要的是用數學化的頭腦與眼光看待事物，以及思考問題和觀察世界的能力。融入“證明”的教學就是讓學生在尋找理由和依據的過程中不斷進行深入的思考，潛移默化中培養(yǎng)學生的理性精神。

“籃球隊中小王身高約2米，小張身高約2.0米，2=2.0，所以他們兩人一樣高。你認同么？”這是教學“小數的近似數”時教師拋出的一句話。某學生的表述令人眼前一亮：“雖然2和2.0的大小一樣，但都是近似數，所以取值范圍和精確度不同。”該學生還利用數軸來佐證自己的想法（如圖4）。

數軸激活了學生已有的生活經驗和四舍五入取值經驗，學生結合圖示證明自己的想法，直觀感受近似數2和2.0的取值差異。

看似平平無奇的一句話，看似兩個毫無差別的數據，從數學的角度看卻大有不同。通過“數學證明”，學生能夠認真思考和判斷，能夠理性地看待問題，發(fā)現隱藏的數學秘密， 學生的理性精神得到充分的孕育。

三、實踐：“數學證明”助課堂的策略探究

1.深層剖析教材，發(fā)掘證明素材

數學自身的多元性使其具有豐富的證明素材。每一個數學知識背后都有可挖掘的證明價值，如基本的公式、定理、定律皆不是從天而降的，都是無數數學家經過嚴謹的證明與思考凝練而成的智慧結晶。

例如，教學三角形的面積公式后，教師提出問題：“還記得正方形面積計算的另一個公式‘對角線×對角線÷2嗎？能聯系今天所學，證明這個公式嗎？”學生思考后給出證明過程：將正方形分成兩個相等的三角形，其中一個三角形的底是一條對角線，高是另一條對角線的一半，所以一個三角形的面積就是“對角線×（對角線÷2）÷2”，正方形由兩個這樣的三角形組成，再把一個三角形的面積乘2就得到正方形的面積，“÷2”和“×2”抵消，最終得到這個正方形的面積公式“對角線×對角線÷2”。學生通過證明，加強了公式與公式之間的關聯，感受到每一個數學知識都不是孤立存在的，每一個知識點都有跡可循的。

這些素材雖然沒有完全呈現在教材當中，但只要教師做個有心人，加強自身對于教材和知識的理解，打開自己的數學視野，一定能二度開發(fā)出教材中的價值。俗話說：“巧婦難為無米之炊?！敝挥型诰虺霾煌愋偷淖C明素材，才能在課堂教學中將它們有效激活，才能更有效地引領學生感悟數學的本質。

2.以錯引措，以誤換悟

面對學生五花八門的錯誤以及質疑，教師該如何應對？是呵斥？是置之不理？還是給予充分的回應？其實，錯誤和質疑都是學生最原生態(tài)的思考痕跡，對其探索，定能體現出其中的價值。

對于計算題“1200÷（30+20）”，不少學生受乘法分配律的干擾，將計算過程寫成“1200÷30+1200÷20=100”，他們會提出：“難道沒有除法分配律嗎？”教師隨即將問題拋給學生：“有沒有除法分配律？能證明你的想法嗎？”不少學生采用列舉法證明，得到的結果卻是只有部分成立，他們自己也說不清原因。有一位學生的證明方法特別新穎（如圖5）：第一幅圖里的寬相當于是“公除數” ，第二幅圖雖然面積都是 20 平方厘米，但由于長和寬各不相同，無法拼成一個大長方形， 此處相當于用“公被除數”除以兩個寬的和，“公除數”可以像乘法分配律中的公因數一樣被提取出來，但“公被除數”是不能被提取出來的，所以第二種情況不成立。學生看了這個方法后恍然大悟、茅塞頓開。

由此可見，教師不能避開學生的想法，就知識教知識，要以學生的視角去對待他們的錯誤與質疑，從中挖掘有探索價值的想法。過程比結果更重要，學生在自主思考、自主證明的過程中能獲得對數學知識的感悟，能加強對數學的理解。

3.探本溯源，突破界限

課堂教學首先要做的就是回歸知識的“源”點，讓學生通過“證明”找尋、感悟知識的本源 ，突破對原有知識淺層次的理解，從而加深對數學本質的認知。

以“3的倍數特征”為例，學生通過列舉法很容易發(fā)現3的倍數有哪些特征，但當教師提出“為什么3的倍數具有這樣的特征？”時，學生均陷入沉思，直到一位學生帶著自己的作品上臺講解：我把一個三位數abc改寫成100a+10b+c，再改寫成（99a+9b）+（a+b+c），這時候可以知道99和9都是3的倍數，那只要看a、b、c這幾個數的和是不是3的倍數就可以了，而這幾個數的和就是a+b+c，所以只要看幾個數位上的數的和是不是3的倍數就可以判斷這個數是不是3的倍數了。

如此，利用數學推理與證明，學生在重塑知識的過程中不斷探索，不但推開原有的認知“墻”，突破知識的界限，還在還原本質中發(fā)現更大的世界。

4.多樣證明，活化認知

獲得數學結論的道路不止一條，正所謂“條條大路通羅馬”，“數學證明”亦是如此，教師要引導學生了解多種證明策略，領略“證明”之路的不同風景。

對于“圓的面積”，教材中只編排了將圓轉化成近似長方形的方法。筆者利用多媒體課件展示圓除了可以轉化成長方形，還可以轉化成梯形和三角形（如圖6），以及可以將圓轉化成三角形（如圖7）。隨后通過演示讓學生理解圓的面積公式推導過程并不是單一的。

在課堂教學中，引領學生體會多樣的證明策略，學生在見識多種證明策略的過程中，擴展和延伸自己的知識面，感悟數學知識的本質內涵。這是一種從“一”到“多”的思維沖擊。

（責編 金 鈴）