試解“新高考”2021年數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第21題

汪繼波

(重慶市遠(yuǎn)恒佳重慶公學(xué)高中部 401200)

“新高考”2021年數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷(海南、遼寧、重慶)第21題：

一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，…，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(x=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1，當(dāng)E(x)>1時(shí)，p<1;

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

本題第(1)、第(3)問較易回答，此處不予討論，在此僅討論第(2)問：

求解想法此問關(guān)鍵在于找到這個(gè)關(guān)于x的三次方程的最小正實(shí)根，于是，可以考慮求出它的根(至多3個(gè)實(shí)數(shù)根)，進(jìn)行比較，但縱觀全國高考題的特點(diǎn)，直接求出此方程的所有實(shí)數(shù)根，并非易事！這一來，解題者應(yīng)有心理準(zhǔn)備，討論方程根的特點(diǎn)，比較大小，找到最小正實(shí)根，可嘗試通過分解因式能否找到幾個(gè)根，余下根可根據(jù)限定條件，縮小其取值范圍，進(jìn)而比較方程根的大??；也可以考慮構(gòu)造三次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為討論此函數(shù)的零點(diǎn)，求出值或比較幾個(gè)零點(diǎn)的大小，從而找到原方程的最小正實(shí)根.

解法一由概率分布列的性質(zhì)，知p0+p1+p2+p3=1，p0=1-(p1+p2+p3)，

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

?(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

?x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

①當(dāng)E(x)≤1，即p1+2p2+3p3≤1時(shí)，g(1)=p1+2p2+3p3-1≤0，如圖1，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在[1，+∞)也單調(diào)遞增，據(jù)零點(diǎn)存在性定理，知g(x)在(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)x0，顯然x0≥1，所以，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實(shí)根等于1，于是，p=1.

②當(dāng)E(x)>1，即p1+2p2+3p3>1時(shí)，g(1)=p1+2p2+3p3-1>0，而g(0)<0，如圖2，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理，在(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)x0，且0

綜上所述，當(dāng)E(x)≤1時(shí)，p=1；當(dāng)E(x)>1時(shí)，p<1.

解法二由概率分布列的性質(zhì)，知p0+p1+p2+p3=1，從而p0=1-(p1+p2+p3)，

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

?1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

?(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

?x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

②當(dāng)E(x)<1，即p1+2p2+3p3<1時(shí)，(x1-1)+(x2-1)<0，且(x1-1)(x2-1)<0，因x1≤x2，x1x2<0，故x1<0，x2>1，且|x1-1|>x2-1，此時(shí)，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實(shí)根為1，所以，p=1.

綜上所述，當(dāng)E(x)≤1時(shí)，p=1；當(dāng)E(x)>1時(shí)，p<1.

解法三由概率分布列的性質(zhì)，知p0+p1+p2+p3=1，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x?p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0=0.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，顯然有f(1)=0，函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3p3x2+2p2x+p1-1，如圖3，由p3>0知拋物線f′(x)開口向上，f′(0)=p1-1，由p1<1，知f′(0)<0，于是，f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,不妨設(shè)x1

①若E(x)≤1，即p1+2p2+3p3≤1，則f'(1)=3p3+2p2+p1-1≤0，據(jù)此二次函數(shù)f′(x)的性質(zhì)，知x1<0<1≤x2.

x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f ′(x)+-+f(x)↗↘↗

所以，f(x)在(x2,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0≥x2，因此，1是函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的最小正實(shí)根，從而p=1.

②若E(x)>1，即p1+2p2+3p3>1，則f′(1)=3p3+2p2+p1-1>0，如圖4，據(jù)f′(x)的性質(zhì)，知x1<0

因f(0)=p0>0，f(x2)

綜上所述，當(dāng)E(x)≤1時(shí)，p=1；當(dāng)E(x)>1時(shí)，p<1.

考題通過數(shù)學(xué)與生物學(xué)的融合，倡導(dǎo)了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性.在教學(xué)和學(xué)校管理中，應(yīng)重視學(xué)科間的融合，可鼓勵(lì)學(xué)生關(guān)注以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的交叉學(xué)科或邊緣科學(xué)，比如，生物數(shù)學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、生態(tài)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，等等，不要過早“文理分科”，現(xiàn)在不少地方或?qū)W校過早“選科”，從高一開始要求學(xué)生選定首選和再選科目，沒有選考的科目隨便安排幾節(jié)課或考前突擊式教學(xué)，以應(yīng)付學(xué)業(yè)水平考試！如此過分功利化的學(xué)校教育恐難培養(yǎng)“健全的人”，也不利于國家的長遠(yuǎn)發(fā)展！